2004D饮酒驾车-讲解

温州医科大学-刘婷2004年全国大学生数学建模竞赛D题饮酒驾车问题的探讨讲解人：刘婷注意：本人版权所有，心血结晶，不得外传温州医科大学-刘婷赛题背景•据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。•针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准。温州医科大学-刘婷新标准•驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车•血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车温州医科大学-刘婷问题1:•大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准•在吃晚饭时他又喝了一瓶啤酒，凌晨2点检查时却被定为饮酒驾车•为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？解释此现象！–分析：第二次喝酒的初始状态是第一次喝酒的酒精残余，故造成第二次超标–先用题目所给数据拟合出浓度随时间变化的函数温州医科大学-刘婷喝了3瓶啤酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，请下列情况下回答该问题：•酒是在很短时间内喝的；–直接用第一问的模型求解•酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的–分析：此处模型需在快速喝酒模型基础上改进问题2:温州医科大学-刘婷问题3•怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高–需分析酒量的影响，饮酒时间的影响–给出图表对比结果问题4•根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车–可做适当的设定，每天何时喝，喝多少问题5•根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告–此处仅需在前面几问的结果基础上给出适当总结和建议，不需花太多时间温州医科大学-刘婷所给数据（1）体液占体重的65%～70%，血液占体重的7%左右，药物或酒精在血液或体液中浓度基本一致–由此可估算血液体积，建立房室模型–实际上通过后面的计算发现，此数据可直接拟合得到准确值，而无需根据百分比估计（2）体重约70kg的短时2瓶啤酒后，血液中酒精浓度的测量数据为温州医科大学-刘婷本题特征：•数据量不大，有类似模型•问题的信息不完全，需要补充（啤酒酒精量等）•没有用到太深的数学知识（虽然有微分方程，但是有类似的套用，并用软件求解）•不需要更专业的计算机编程技术（基本上是相应的函数调用，无需自己编相应的算法程序）温州医科大学-刘婷选择主要模型——两房室模型(假设身体分成两部分)•吸收室、中心室•其中吸收室是肠胃，中心室是血液和体液•酒精进入吸收室，由吸收室进入中心室，中心室向外排出酒精•有一些也直接简化为一室，即中心室，需要检验其正确性温州医科大学-刘婷吸收室()中心室给酒ft1()xt1k1(),ctV2k吸收排出符号说明：t——时刻(小时)1()xt——t时刻吸收室的酒精量1k——中心室的酒精吸收速率系数2k——中心室的酒精排出速率系数0g——短时1瓶啤酒进入吸收室的酒精量1()yt——t时刻中心室的酒精量()ct——t时刻中心室的酒精浓度V——中心室的容积(百毫升)温州医科大学-刘婷模型假设2、酒精从吸收室进入中心室的速率与吸收室的酒精量成正比，比例系数为k15、考虑到大李6点接受检查不可能立刻喝酒，故假设大李晚饭喝酒时间为晚8点1、中心室的容积V不变3、酒精从中心室向外排出的速率与中心室的酒精量成正比，比例系数为k24、适度饮酒的前提下，k1、k2与饮酒量无关，是常数温州医科大学-刘婷吸收室酒精的减少速度与酒精量成正比，比例系数为k1，则11110()(),(0)dxtkxtxNgdt=−=其中，g0为1瓶啤酒的酒精量，N为瓶数对于中心室，其酒精的减少速度与酒精量(考虑到此处既有吸收也有排出)成正比，比例系数为k2，则111211()()(),(0)0dytkxtkytydt=−=问题1模型建立与求解:温州医科大学-刘婷11110()(),(0)dxtkxtxNgdt=−=111211()()(),(0)0dytkxtkytydt=−=若手算，则先把上式求解出x1(t)再代入下式中y1(t).或直接利用matlab求微分方程符号解的函数求解：[x1,y1]=dsolve('Dx1=-k1*x1','Dy1=k1*x1-k2*y1','x1(0)=N*g0','y1(0)=0')[y,how]=simple([x1,y1])%化简表达式问题1模型建立与求解:执行得到X1=(N*g0)/exp(k1*t)y1=-(N*g0*k1*(1/exp(k1*t)-1/exp(k2*t)))/(k1-k2)温州医科大学-刘婷11110()(),(0)dxtkxtxNgdt=−=111211()()(),(0)0dytkxtkytydt=−=将解用数学符号解表示为：110()ktxtNge−=2101112()()ktktNgkeeytkk−−−=−则血液中酒精浓度函数为：210112()()()ktktNgkeectVkk−−−=−问题1模型建立与求解:温州医科大学-刘婷问题1模型建立与求解:210112()(),()ktktNgkctkeekVkk−−=−=−其中用题目所给的喝两瓶啤酒的浓度数据作出拟合，由拟合效果来验证此模型的有效性f=@(k,x)k(3).*(exp(-k(2).*x)-exp(-k(1).*x));x=[0.25,0.5,0.75,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16];y=[30,68,75,82,82,77,68,68,58,51,50,41,38,35,28,25,18,15,12,10,7,7,4];k0=[2,1,80];%初始值的选取上可以先代一个点坐标，看几个参数之间的关系，取符合的作为初值，比随机初值要好k=nlinfit(x,y,f,k0)%也可用lsqcurvefit，调用格式不同而已plot(x,y,‘k+’,0:0.01:18,f(k,0:0.01:18),‘k’),axis([0,18,0,90])温州医科大学-刘婷拟合出的参数依次为：2.00790.1855114.43250.18552.0079()114.4325()ttctee−−=−决定系数R=0.9857，拟合度很高，证明了模型的有效性温州医科大学-刘婷现在来验证第一问的两种情况、作出解释：0.18552.0079()57.2163*N*()ttctee−−=−0112kN()NgkkVkk=−又因为中，与成比例，故注意：刚才得到的表达式是以2瓶啤酒的数据拟合的，将t=6代入得血液酒精浓度(6)18.799320c=故第一次检测未超标温州医科大学-刘婷第二次检测时，不仅有晚饭喝过酒的酒精，也有中午喝过酒的酒精残余，则累加可得(6)(14)18.79934.262423.061720cc+=+=故第二次检测超标这是简单的处理手法，如果用模型解决，则修改模型初始值即可11110()(),(0)dxtkxtxNgdt=−=111211()()(),(0)0dytkxtkytdty=−=10ksNge−+210112()ksksNgkeekk−−−+−其中：s为距离上次喝酒的时间温州医科大学-刘婷21220()(),(0)dxtkxtdtxNg=−=212222()()(),(0)0dytkxtkytdty=−=10ksNge−+210112()ksksNgkeekk−−−+−二次喝酒模型求解程序为：[x2,y2]=dsolve(‘Dx2=-k1*x2’,‘Dy2=k1*x2-k2*y2’,‘x2(0)=N*g0*(1+exp(-k1*s))’,‘y2(0)=-(N*g0*k1*(1/exp(k1*s)-1/exp(k2*s)))/(k1-k2)’);[y,how]=simple([x2,y2])结果为：(N*g0*(1/exp(k1*s)+1))/exp(k1*t),-(N*g0*k1*(1/exp(k1*(s+t))-1/exp(k2*(s+t))+1/exp(k1*t)-1/exp(k2*t)))/(k1-k2)]温州医科大学-刘婷21220()(),(0)dxtkxtdtxNg=−=212222()()(),(0)0dytkxtkytdty=−=10ksNge−+210112()ksksNgkeekk−−−+−二次喝酒模型整理得：1120()(1)ksktxtNgee−−=[phone]()((1)(1))ksktksktNgkyteeeekk−−−−=+−+−注意：这里的参数都是已知的，即比例系数是不变的温州医科大学-刘婷221101212()((1)(1))()ksktksktNgkcteeeekkV−−−−=+−+−则由此解出二次喝酒t小时后的酒精浓度为：0112121,57.2163,2.0079,0.1855,8,6()gkNkkkstkkV=======−将如下各参数和变量代入得到2(6)23.0618c=注意：由表达式和计算结果均可验证叠加计算的简便方法是正确的，但是不代表此方法应该舍弃，此模型在第四问每天喝酒模型中有应用温州医科大学-刘婷第一问的结果效果图：温州医科大学-刘婷喝了3瓶啤酒后多长时间内驾车就会违反上述标准•酒是在很短时间内喝的；–直接用第一问的短时喝酒模型求解问题2的模型建立与求解:0.18552.0079()57.2163**()3,()2011.5888ttctNeeNctt−−=−===在模型中，令求解方程得即若短时喝下3瓶啤酒，则11.59小时内驾车都会超标程序：t=2:0.01:20;c=57.2163*3*(exp(-0.1855.*t)-exp(-2.0079.*t))-20;plot(t,c)%通过画图观察方程解的大概位置%得到方程求解时初值可取为11fsolve('ff',11)functionf=ff(t)%函数是另存为函数文件的f=57.2163*3*(exp(-0.1855.*t)-exp(-2.0079.*t))-20;温州医科大学-刘婷喝了3瓶啤酒后多长时间内驾车就会违反上述标准•酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的–分析：此处模型需在快速喝酒模型基础上改进问题2的模型建立与求解:11110()(),(0)dxtkxtxNgdt=−=111211()()(),(0)0dytkxtkytydt=−=快速喝酒模型假设酒是在一段时间T内匀速喝下，则速率为0,0()0,NgtTftTtT⎧≤⎪=⎨⎪≥⎩温州医科大学-刘婷•酒是在T小时内喝的，则0tT时，模型改进为：问题2的模型建立与求解:1111()()(0)dxtkxtdtx=−=111211()()(),(0)0dytkxtkytdty=−=0,NgT+0,程序：[x1,y1]=dsolve(‘Dx1=-k1*x1+N*g0/T’,‘Dy1=k1*x1-k2*y1’,‘x1(0)=0’,‘y1(0)=0’)[y,how]=simple([x1,y1])%化简表达式结果：-(N*g0*(1/exp(k1*t)-1))/(T*k1),(N*g0*(k1-k2-k1/exp(k2*t)+k2/exp(k1*t)))/(T*k2*(k1-k2))温州医科大学-刘婷1011()(1)ktNgxteTk−=−21011122111()()()ktktNgkeeytTkkkk−−−−=−−则血液中酒精浓度函数为：2101122111()()()ktktNgkeectTkkVkk−−−−=−−问题2的模型建立与求解:•酒是在T小时内喝的，则0tT时，模型改进为：1111()()(0)dxtkxtdtx=−=111211()()(),(0)0dytkxtkytdty=−=0,NgT+0,整理得：温州医科大学-刘婷血液中酒精浓度函数为：2101122111()()()ktktNgkeectTkkVkk−−−−=−−问题2的模型建立与求解:•酒是在T小时内喝的，则0tT时，01121