第二章(惯性仪器测试与数据分析)器件建模

1惯性仪器测试与数据分析西北工业大学自动化学院严恭敏2015-092第二章机械陀螺与加速度计建模主要内容：•一、预备知识（复习相关基本数学和物理概念）•二、单自由度转子陀螺仪的静态误差模型•三、单自由度转子陀螺仪的动态误差模型•四、石英挠性摆式加速度计输入输出模型•五、激光陀螺仪及其主要误差•六、光纤陀螺仪及其温度漂移误差3一、基本概念回顾1、标量、向量和变换矩阵的习惯表示法4一、基本概念回顾2、向量反对称矩阵概念与应用设对两个三维向量：TzyxzyxkjiωTzyxzyxrrrrrrkjirTzyxzyxvvvvvvkjivkjikjirωv)()()(xyyxxzzxyzzyzyxzyxrrrrrrrrr进行叉乘运算（即外积）：xyyxxzzxyzzyzyxxyxzyzrrrrrrrrr)(0005一、基本概念回顾2、向量反对称矩阵概念与应用若记特殊矩阵：000)(xyxzyzω则有：rωrω)(6一、基本概念回顾2、向量反对称矩阵概念与应用利用反对称矩阵可以将向量叉乘运算看成矩阵与向量的乘法运算，在有些矩阵合并书写过程中可能带来一些方便，例如请解释的含义？rCωrωCrωC)()()(131333rωC()fωrωωr2[()]ωωrC=randn(3);w=randn(3,1);r=randn(3,1);[C*cross(w,r),C*askew(w)*r,cross(C*w,r)]7一、基本概念回顾3、直角坐标系之间的旋转变换矩阵两直角坐标系之间的旋转、无压缩/拉伸变换矩阵是单位正交矩阵，它可由以下三种基本的旋转方式组合而成。)(10xx0y1y0z1z)(10oo1sincos000111cossin0sincos0001zyxzyxrrrrrr10C①③②8一、基本概念回顾3、直角坐标系之间的旋转变换矩阵1x2x)(21yy2z1z)(21oo1cossin111222cos0sin010sin0coszyxzyxrrrrrr21C②①③9一、基本概念回顾3、直角坐标系之间的旋转变换矩阵3x2x2y)(32zz3y)(32oo1cossin2223331000cossin0sincoszyxzyxrrrrrr32C③②①10一、基本概念回顾3、直角坐标系之间的旋转变换矩阵总结基本变换矩阵特点：)(1ijkkCCzyxjik,,,;2,1,011一、基本概念回顾3、直角坐标系之间的旋转变换矩阵（4）组合旋转空间两直角坐标系之间任何复杂的旋转关系总可以由三次有次序的基本旋转组合而成，该三次转角称为欧拉角，假设空间同一物理向量在四个坐标系下的坐标分别为0102132121322323rCCCrCCrCr10213230CCCC0303rCr则有若记则有30C的特点是最先旋转变换的矩阵写最右边，也称矩阵链乘规则。3333222211110000,,,zyxzyxzyxzyxrrrrrrrrrrrrrrrr12一、基本概念回顾3、直角坐标系之间的旋转变换矩阵（4）组合旋转飞行器姿态角飞行器姿态角动画演示yawpitchrollbodynavigationCCCC13一、基本概念回顾3、直角坐标系之间的旋转变换矩阵（5）小角度旋转坐标变换矩阵与向量反对称矩阵之间的关系计算14一、基本概念回顾4、比力与单位质量惯性力的概念FmGmaGFamm比力与单位质量惯性力分析示意图根据牛顿运动第二定律得GaFfm移项整理得f定义为比力（SpecificForce），它表示作用在单位质量物体上的支撑力。根据牛顿运动第三定律，得aGffIG定义为单位质量惯性力，它是重力场下质量物体抵抗支撑力的表现。IGf15一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念mIvωFFrMvmωvrHImFvdtmd)(MHdtdMHωHirrdtd线运动角运动质量速度力动量动量定理哥氏定理惯性张量角速度力矩动量矩动量矩定理欧拉动力学方程rωrrirridtddtd16一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念（1）动量矩与惯性张量VrHddmOω质点/刚体的动量矩dmVO质量微元的动量对点的动量矩为dmdmdmdmdωrrωrVrH2)()(定点转动刚体动量矩VVdmI2)(rO定义为刚体对点的惯性张量ωωrωrHIdmdmVV22)()(17一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念（1）动量矩与惯性张量zyxggzyxgzyxHHHωrH,,zyxVzyxdmyxyzxzyzzxxyxzxyzyHHH222222dmyxyzxzyzzxxyxzxyzyIIIIIIIIIIVzyzxzyzyxyxzxyx222222dmyxIdmzxIdmzyIVzVyVx222222,,dmyzIdmxzIdmxyIVyzVxzVxy,,转动惯量惯性积设各矢量在g坐标系下投影分量定义刚体V在g坐标系下的惯性张量展开得ωrHVdm2)(18一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念（1）动量矩与惯性张量OXIHZXY陀螺转子转动惯量举例假设：转子半径=1cm，质量=100g（克），转动角速率=600r/s，不妨假设质量集中在转子边缘上，则转动惯量：2522101100)1(mkggcmmrIXsmkgsrmkgIHX/038.02/600101225动量矩19一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念（2）关于动量矩定理的理解1）刚体定轴转动，外力矩与角动量同轴时zzzzzMIdtId)(Fma20一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念（2）关于动量矩定理的理解2）刚体定轴转动，外力矩与角动量垂直时①匀速圆周运动OFmωvvra2mvmaFvωFm向心加速度（标量）向心力（标量）向心力的矢量②陀螺进动Mω干扰力矩与进动角速度关系HωMMHωHirrdtdOMΩHIωΩ21一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念（3）陀螺仪进动演示22一、基本概念回顾5、与刚体转动有关的理论力学基本概念（3）陀螺仪进动演示23一、基本概念回顾6、弹性变形与弹性变形张量（1）弹簧胡克定律LkF刚性系数kfkmFkL/1/1柔性系数k/124一、基本概念回顾6、弹性变形与弹性变形张量（2）三维物体弹性变形定律OxFxyzxδmxcFxcδ物体弹性变形受x轴方向作用力xF受力点位移TzxyxxxxδδδδxcFxcδ将比例关系记为弹性变形系数（或称柔性系数）),,(,zyxiCix)/(),/(),/(xzxzxxyxyxxxxxxmfδCmfδCmfδC弹性变形系数代表沿方向比力引起的质量块沿方向的变形位移),,(zyxiCixxi25一、基本概念回顾6、弹性变形与弹性变形张量（2）三维物体弹性变形定律00000000xzxyxxxzxyxxxxfCCCmδδδδ00000000yzyyyxyzyyyxyyfCCCmδδδδzzzyzxzzzyzxzzfCCCmδδδ00000000δ),,,()(zyxjiCijC弹性变形张量代表沿方向比力引起的质量块沿方向的变形位移jiCfδδδδmfffCCCCCCCCCmzyxzzzzzxyzyyyxxzxyxxzyx26二、单自由度陀螺仪静态误差模型1、单自由度陀螺仪模型（1）基本组成：基座、框架、转子；再平衡回路——信号器、放大器、电流表、力矩器；陀螺电机（导线）、阻尼器；AukikmkiD0dM27二、单自由度陀螺仪静态误差模型1、单自由度陀螺仪模型（2）坐标系定义：测量坐标系（基座坐标系），简记B：陀螺组件坐标系，简记G：两坐标系之间关系：仅绕oy轴差α角IOSoGGGzyxo（3）运动参数假设：转子相对于框架角速率Ω，角动量陀螺组件（框架加转子）绕输出轴转动惯量基座输入轴oI角速率T00HHoI（4）沿输出轴oy的动力学方程：dcmdIoMMDHI惯性力矩陀螺力矩阻尼力矩反馈控制力矩干扰力矩miucmdkkkMIAukikmkiD0dM28二、单自由度陀螺仪静态误差模型2、单自由度陀螺仪静态漂移物理模型（1）陀螺仪理想无干扰力矩稳态方程：dcmdIoMMDHIcmdIMH0HMcmdI（2）陀螺仪干扰力矩引起漂移定义：HMdd（3）干扰力矩组成：210ddddMMMM与比力无关的干扰力矩对比力二次方敏感的干扰力矩对比力一次方敏感的干扰力矩29二、单自由度陀螺仪静态误差模型2、单自由度陀螺仪静态漂移物理模型（4）与比力无关的干扰力矩：（5）与比力有关的干扰力矩：基座与转子电机之间连接的供电软导线弹性约束、电磁干扰等因素δrOmlfδlOSI陀螺组件质心偏心示意图工艺误差偏心比力引起弹性变形附加质量偏心TSOIllllTSOIffffCfδm30二、单自由度陀螺仪静态误差模型2、单自由度陀螺仪静态漂移物理模型（5）与比力有关的干扰力矩：质量总偏心引起绕点的干扰力矩为rOfCfflfδlM)()()(2mmmf展开，取第二分量（即输出轴oy分量），分离出和，得总漂移误差公式如下：…1dM2dM22222220SISISIISIISSSOIOOISOSIISdddfHCmfHCmffHCCmffHCmffHCmfHmlfHmlHMHM（6）单自由度陀螺仪静态漂移误差物理模型31二、单自由度陀螺仪静态误差模型2、单自由度陀螺仪静态漂移物理模型OΩ1cm1cm头发丝m=100gH=0.038kg.m2/s（7）干扰力矩影响举例：HMdd01）常值干扰力矩影响假设头发丝1cm长，抗弯曲力10mg×9.8N/kg，则距转子1cm处产生力矩Md0=1cm×10mg×9.8N/kg≈10e-6N·m，引起陀螺漂移ieddsradsmkgmNHM4/103/038.01042602）质量偏心影响ISdfHml假设0.1º/h，=9.8m/s^2，则反算质量偏心dIfnmmfHlIdS20)/(32二、单自由度陀螺仪静态误差模型3、单自由度陀螺仪静态漂移数学模型22222220SISISIISIISSSOIOOISOSIISdddfHCmfHCmffHCCmffHCmffHCmfHmlfHmlHMHM