第八章-阿仑方差

1惯性仪器测试与数据分析西北工业大学自动化学院严恭敏2015-092第八章阿仑(Allan)方差分析主要内容：•一、幂律谱模型•二、频率稳定度和Allan方差概念•三、陀螺随机漂移误差的Allan方差分析时间序列（时域）频谱分析（频域）Allan方差分析（时域）dfeSRjf)()(02)(2)0(dffSRyy0242)π()π(sin)(4)(dffffSy3一、幂律谱模型1、信号的微分与积分的傅里叶变换)()(CTFTjfXtx假设)(2)('CTFTjfXfjtx则有)(21)(21)()0()(CTFT0)0(jfXfjjfXfjfXdxXt)(jfH)(tx)('tx线性系统观点功率谱关系式)()()(2fSjfHfSIO连续时间白噪声，它在整个频率轴上的功率谱都为常值)(tw,fwtSwtwtSffS2')2()(wtwtSffS2)2()(wtS白噪声微分积分4一、幂律谱模型白噪声含义由连续时间随机过程的维纳—辛钦定理，得白噪声的相关函数)(tw000)(dfeSRjfwtwt)0(wtR平均功率无穷大，物理上不可实现。例如，电阻热噪声的功率谱理论计算公式kTRS2其中：k玻尔兹曼常数，T绝对温度，R电阻值，带宽Hz10~013fkTRBSdfRUHf2)0(0133-231010300101.382≈1mV高频电子线路带宽仅为10^9Hz输出电压的均方值为1mV×=0.01mV13910/10噪声电压均方根5一、幂律谱模型S10logf10logwtS'wtSwtSS10logS10logf10logf10logSf双对数图形fkASkk101010log2loglog对白噪声进行k阶随机微分或积分,...)2,1,0(,2kfASkkk即2、1/f噪声6一、幂律谱模型3、幂率谱XX假设独立随机过程之和fhXa)(PSD且则有][PSD][PSDXXfhS即2,1,0,1,2两边取对数HLffffhfhS)log(log)(loglog10101010-2-1012S10logf10logLHff12HLff10LHff10HLff120...............线性功率谱近似合成7一、幂律谱模型几种幂率谱仿真f^-2f^-1f^0f^1f^28一、幂律谱模型幂率谱合成各幂率谱均有表现f^0被掩盖幂率谱分析的意义：9二、频率稳定度和Allan方差概念几种常用时间频率测量的精度1）普通机械手表的误差约为±30秒/日（精度3×10^-4）；2）石英手表的误差是±0.5秒/日（精度6×10^-6）；3）石英晶体振荡器SPXOVCXOTCXOOCXO10-5~10-410-6~10-510-7~10-610-11~10-84）原子钟HP5071A：5×10^-13；实验室型激光冷却铯喷泉频标10^-15；未来频标10^-185）毫秒脉冲星一年周期稳定性与原子钟相当达到10^-14～10^-15；长期稳定性有望超过原子钟10二、频率稳定度和Allan方差概念频标输出准周期信号通用模型)](2sin[)]([)(00tttAAtu理想幅值标称频率幅值起伏相位抖动瞬时频率dttddtttdt)(π21)](π2[π21)(00瞬时相对频率偏差dttdtty)(π21)()(00011二、频率稳定度和Allan方差概念1、频域测量法混频器频谱分析仪滤波放大)(tu被测信号参考信号)(tuR相位起伏功率谱分析原理)(PSD)()(PSD)(tfStyfSy)(PSD)2()(PSD)(PSD)(PSD22txfdttdxtxataxdttdtty)(π21)()(000)()(PSD)π2(π21)(π21PSD)(202200fSftfdttdfSy02)(2)(dffSdffSyyy缺点：测量频率范围小！12二、频率稳定度和Allan方差概念2、时域测量经典方差法)(tyit)(iyitt1it1it......)(1iy)(1iy平均频率偏差起伏频标频率偏差平均值iittidttyy)(1)(平均时间(取样时间)、取样间隔、无间隔取样iiiiiiiiiiiittttttttttttidtdttytydttydttydttydttyy')'()(1')'(])([1')'(1)(1)(222iiiiiiiittttttttidtdttytydtdttytyy')'()(1')'()(1)(222TTTydtTy1limdfdtdtefSdtdtdfefSyiiiiiiiittttttfjyttttttfjyi]')[(1')(1)()'(π22)'(π222dfefSttRttfjy)'(π2)()',(13二、频率稳定度和Allan方差概念2、时域测量经典方差法22)'(π2)π()π(sin'ffdtdteiiiittttttfj022222)π()π(sin)(2)π()π(sin)()(dffffSdffffSyyyi02|)(|)(2)0(dfjfHfSRy)π(Saπ)πsin()(fffjfH)(tht2/2//1其中)(jfH)(fSy22)π()π(sin)(fffSy)(2iy)(ty14二、频率稳定度和Allan方差概念3、时域测量Allan方差法定义Allan方差212)]()([21)(iiyyy)()()(])()(2)()([21)(1212212iiiiiiiyyyyyyyy)(tyit)(iyitt1it1it......)(1iy)(1iy022221)π()π(sin)(2)()(dffffSyyyiidfefffSyyfjyiiπ22221)π()π(sin)(1)()(024242224π2222)π()π(sin)(4)π()π(sin)(2)π()π2sin()π(sin)()π()π(sin)(2)1()π()π(sin)()(dffffSdffffSdfffffSjdffffSdfefffSyyyyfjyy15二、频率稳定度和Allan方差概念3、时域测量Allan方差法024242)π()π(sin)(4)π()π(sin)(2)(dffffSdffffSyyy022|)(|)(2)(dfjfHfSAyy)π()π(sin2)(2ffjfHA)(thAt2121矩形脉冲偶)π()π(sin2)2(21)1(21)1(2121)21()]([CTFT)(200ffjeejejejdtedtethjfHjjjjtjtjAA平均滤波f|)(|2jfH|)(|1jfHf差分滤波方差统计)(ty)(2y|)(|jfHAf)(iy2)()(1iiyyAllan方差信号处理过程21212]2)()([)]()([21)(iiiiyyyyy16二、频率稳定度和Allan方差概念3、时域测量Allan方差法)π()π(sin2)(2ffjjfHAxxx/)(sin)(Al2xxx/)sin()(Sa)4/(π|)(Al|02ndxnx2/π|)(Sa|02dxxwtwtyiSdfffSdfjfHfSy02222)π()π(sin2|)(|)()(wtwtAyySdfffSdfjfHfS02422)π()π(sin4|)(|)(2)(白噪声的经典方差Allan方差+(1.171,0.725)17三、陀螺随机漂移误差的Allan方差分析1、各噪声源及其Allan方差（1）量化误差（QN,QuantizationNoise）假设量化当量采样频率0/1sf方差（或平均功率）12/2量化白噪声功率谱（角度增量）2/~2/ssfff20212/)(QffSs量化噪声系数12/Q角速率的功率谱220)2()(fQfS043200242202)π()π(sinπ16)π()π(sin)2(4)(fdfQdffffQQN0242)π()π(sin)(4)(dffffSyy对应Allan方差2/π03202/π043204sin3212sin4183π16sinπ16ssffxxxQxdxQ223202/π03203)02/π83(π1683π16QfQxQsfs18三、陀螺随机漂移误差的Allan方差分析1、各噪声源及其Allan方差两边取对数2223)(QQN101010log3log)(logQQN（2）角度随机游走（ARW，AngularRandomWalk）角速率功率谱为常值（白噪声）2)(NfS角度随机游走系数N2024202422)π()π()π(sinπ4)π()π(sin4)(NfdffNdfffNARW对应Allan方差0242)π()π(sin)(4)(dffffSyy19三、陀螺随机漂移误差的Allan方差分析1、各噪声源及其Allan方差（3）角速率随机游走（RRW，RateRandomWalk）角加速度功率谱为常值（白噪声）2)(KfS角速率随机游走系数K随机积分后得角速率功率谱22)2/()(fKfS3)π()π()π(sinπ)π()π(sin)2(4)(20442024222KfdffKdffffKRRW对应Allan方差0242)π()π(sin)(4)(dffffSyy20三、陀螺随机漂移误差的Allan方差分析1、各噪声源及其Allan方差（4）零偏不稳定性噪声（BI，BiasInstability）零偏不稳定性噪声又称闪变噪声或噪声，其角速率功率谱f/1)2/()(2fBfS零偏不稳定性系数B94)π()(π)π(sinπ2)π()π(sin2π4)(2034202422BfdffBdffffBBI0242)π()π(sin)(4)(dffffSyy对应Allan方差（5）速率斜坡（RR，RateRamp）假设角速率误差与测试时间t之间呈线性关系（线性趋势项，非随机误差！）Rtt)0()(速率斜坡系数（常值角加速度误差）R21三、陀螺随机漂移误差的Allan方差分析1、各噪声源及其Allan方差根据Allan方差计算过程2)0(2)]()0([])0([)(RRttRRtyiiii23)0(2)]2()0([)]()0([)(1RRttRtRyiiii2)(21)]()([21)(222