[研究生入学考试]线性代数考研复习-行列式

考研数学基础知识复习线性代数考研数学要求及线性代数要求1、考研数学分数学一、数学二、数学三；包括：高等数学（微积分）；线性代数；概率论与数理统计.考研数学要求及线性代数要求2、数学一（56%、22%、22%）；数学三（56%、22%、22%）；3、数学二（78%、22%、0%）要求：线性代数一~六章全部内容特别：数学二、三对向量空间和坐标变换不做要求）；线性代数的六大部分内容行列式、矩阵、向量及向量空间、线性方程组、特征值和特征向量、二次型章节2013年新大纲2012年大纲变化情况对比行列式考试内容行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。考试内容行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。对比无变化，按原计划复习第一部分行列式332211aaa.322311aaa322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa333231232221131211aaaaaaaaa.2112221122211211aaaaaaaaD二阶行列式的定义：三阶行列式的定义：一、行列式的基本内容——1、二、三阶行列式定义注：对角线法则对n(＞3)阶行列式一般不再成立。余子式与代数余子式：把行列式中元素所在的行元素和列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原来的排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为。称为元素的代数余子式。nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111nijijMijjiijMA)1(ijaijaija一、行列式的基本内容——2、n阶行列式的定义对于n阶行列式),()det(ijijaaD，定义元素ija的余子式为ijM，代数余子式ijjiijMA)1(，则有：,0,22111DAaAaAaAanknjkjkjikijni.kjkj,0,22111DAaAaAaAanknjkjkjikijni.kjkj一、行列式的基本内容——3、行列式的基本性质(1);(2);(3);(4):;(5);(6)TijiijijijijijDDrrrkrrkabcrkr不必会证明，但要会熟练运用。（1）主（次）对角行列式；.0000002121nn..)1(000000212)1(21nnnn一、行列式的基本内容——4、重要结论（2）上（下）三角行列式：.000221122211211nnnnnnaaaaaaaaa..000221121222111nnnnnnaaaaaaaaa（3）范德蒙行列式：)(111111211222212222121ijnjinnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxV.共有2)1(1)2()1(nnnn个括号相乘.——5、解线性方程组的克莱姆法则如果线性方程组：)1(22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即,0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以表为：.,,,,332211DDxDDxDDxDDxnn其中：nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111,111,111定理1如果线性方程组（1）的系数行列式不为零，则（1）一定有解,且解是唯一的.定理2如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.对于齐次线性方程组：2000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理3如果齐次线性方程组（2）的系数行列式不为零，则齐次线性方程组（2）没有非零解（只有零解）.定理4齐次线性方程组（2）有非零解的充分必要条件为：系数行列式为零.二、行列式计算技巧归纳题型I：抽象行列式的计算题型II：一些低阶行列式的计算题型III：行列式的计算方法设33||ijaD，ijA为ija的代数余子式，且ijijaA(3,2,1,ji)，011a，求证：.0D.例——题型I：抽象行列式的计算已知四阶行列式D的第二行元素分别为：4,2,0,1，第四行元素对应的余子式依次为：4,,10,5a，求a.例1112131111121321222321212223313233313132334231,423.423aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa若求例例.601504321D计算——题型II：一些低阶行列式的计算计算行列式323995212983312031D.例232113302112312314例24例计算行列式0532004140013202527102135D设3256411222245233355554321||A，ijA为元素ija（5,4,3,2,1,ji）的代数余子式.求（1）333231AAA；（2）3534AA.例求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA,00103010021321nnDn设n阶行列式例例计算行列式1111111111111111xxxx.方法一：化三角形行列式法12111111(0)111ninaaDaa例——题型III：行列式的计算方法112111100naaaaa11211221110000niiinacciianaaaaa解（法1）原式=111(1)nniiaaannnnaaaaaaaaaaaaaaa11111111111111132132132121原式解（法2）方法二：拆项法解：原式=112211011111011111111naaaaa1211nnnaaaaD12112212()nnnnnaaaaaaaaD222244441111abcdDabcdabcd例计算22222333334444411111()abcdxabcdxfxabcdxabcdx解：构造（这是一个范德蒙行列式）方法三：升阶法=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)另外f(x)按最后一列展开，可得2341525354555()fxAAxAxAxAx上两式是恒等式，故同次幂系数相等。而D=-A45，故D=(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)方法四：降阶法（行列式中某一行（列）只有一、二个非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）1221100001000001nnnnxxDxaaaaxa例求证法一：按最后一行展开证法二：按第一列展开，得Dn=xDn-1+an再根据上面的递推公式或数学归纳法可得结果。方法五：递推法1121112210100001000001nncxcxcnnnnnnDxxxaxaaaaxa证法三：按第一列展开即可得结果。方法六：数学归纳法例证明cos100012cos100012cos000002cos100012coscos.nnD证对阶数n用数学归纳法.,2,1,,2cos1cos22cos11cos,cos221结论成立时当所以因为nnDD得展开按最后一行现将的行列式也成立于阶数等于下证对的行列式结论成立假设对阶数小于,.,Dnnn1cos100012cos100012cos00(1)0002cos000011cos100012cos100012cos002cos0002cos100012cosnnnD,)2cos(,)1cos(,1nDn2nnD由归纳假设;cos)2cos(])2cos([cos)2cos()1cos(cos2nnnnnnDn.结论成立所以对一切自然数n.cos221DDDnnn例计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn三、典型题型举例提示：用化三角形、递推法行列式计算计算2n阶行列式：nnnnnnnnnabababbababaD111111112例计算n阶行列式1112212221212121nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxD.例求n阶行列式abbababaDn000000000000.例计算n阶三对角行列式00000000000000nD.例1210001001001111nnaaaaD，其中0110naaa.例nDn222232222222221.例48解82324223832262324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1232212332122321D54708104018502321527854145290971190921111812,324三、克莱姆法则解线性方程组例49,6282D,3243D,6284D12382124321823261D12302120321023218108045032118,324同理，,11x,22x,13x.24x所以50当k取何值时方程组0200321321321xxxxkxxxxkx只有零解。解1121111kkD02201111kkkk2211)1(kk,)4)(1(kk所以当4k且1k时方程组只有零解。例