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考研数学基础知识复习——线性代数第四章线性方程组一、基本内容(概念、性质、定理)对n个方程n个未知数的线性方程组:,,,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa1、克莱姆法则:如果系数行列式0||AD,则方程组存在唯一解.一、基本内容(概念、性质、定理)特别:系数行列式0||AD时,方程组的唯一解可表示为:DDx11,DDx22,…,DDxnn.1、克莱姆法则:其中jD是把系数行列式D中的第j列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式.一、基本内容(概念、性质、定理)m个方程n个未知数的方程组,,,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa)(当jb不全为零时,称为非齐次线性方程组;2、线性方程组的基本概念当jb全为零时,称为齐次线性方程组.一、基本内容(概念、性质、定理)记:mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211,nxxxx21,mbbbb21,mjjjjaaa21,nj,,2,1.则上述方程组可表示为:矩阵形式:bAx.2、线性方程组的基本概念向量形式:bxxxnn2211.一、基本内容(概念、性质、定理)mmnmmnnbbbaaaaaaaaabAB21212222111211称为非齐次线性方程组)(的增广矩阵.2、线性方程组的基本概念一、基本内容(概念、性质、定理)若在非齐次线性方程组)(中,jb全为零时,方程组化为与)(对应的齐次线性方程组:2、线性方程组的基本概念000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa,)(一、基本内容(概念、性质、定理)m个方程n个未知数的齐次线性方程组,可表示为:矩阵形式:0Ax.2、线性方程组的基本概念向量形式:02211nnxxx.一、基本内容(概念、性质、定理)(1)齐次线性方程组0xAnm一定有解(至少有零解),当nAr)(时,有唯一解(只有零解);3、线性方程组解的判定当nrAr)(时,有非零解,且有rn个线性无关的解向量.一、基本内容(概念、性质、定理)(2)对于非齐次线性方程组bxAnm,当)()(bArAr时,方程组无解(不相容);当rbArAr)()(时,方程组有解.3、线性方程组解的判定并当:nbArAr)()(时,有唯一解;nrbArAr)()(时,有无穷多解;一、基本内容(概念、性质、定理)bxAnm有唯一解0xAnm只有零解bxAnm有无穷多解0xAnm有非零解nAr)(;4、两类方程组解的关系:nrAr)(;一、基本内容(概念、性质、定理)(1)如果21,是0xAnm的解,则21也是0xAnm的解;5、线性方程组解的性质(2)如果是0xAnm的解,则对于任意常数k,k也是0xAnm的解;一、基本内容(概念、性质、定理)由(1)、(2)知:0xAnm的所有解向量组成的n维向量集合S构成一个向量空间,称S为方程组0xAnm的解空间,记为S.5、线性方程组解的性质一、基本内容(概念、性质、定理)(3)如果是bxAnm的一个解,是0xAnm的一个解,则:是bxAnm的解;5、线性方程组解的性质(4)如果21,是bxAnm的两个解,则21是0xAnm的解;一、基本内容(概念、性质、定理)(5)如果s,,,21是bxAnm的s个解,常数skkk,,,21,满足:121skkk,则:5、线性方程组解的性质sskkk2211仍是bxAnm的解;一、基本内容(概念、性质、定理)(1)齐次线性方程组解的结构:若s,,,21是0xAnm的s个线性无关解,而0xAnm的任何一个解均可表示为s,,,21的线性组合,6、线性方程组解的结构则称s,,,21为0xAnm的一个基础解系.一、基本内容(概念、性质、定理)方程组0xAnm的基础解系s,,,21就是方程组0xAnm的解空间S的基.6、线性方程组解的结构方程组0xAnm解空间S的基就称为方程组0xAnm的基础解系.一、基本内容(概念、性质、定理)若nrAr)(,则0xAnm的基础解系包含rn个线性无关的解向量,6、线性方程组解的结构即:方程组0xAnm解空间S的维数为:rnArnSdiv)()(.一、基本内容(概念、性质、定理)若rn,,,21为0xAnm的一个基础解系,则0xAnm的通解为:rnrnkkk2211,其中:rnkkk,,,21为任意常数.6、线性方程组解的结构注:通过例题说明0xAnm的基础解系的求法,一、基本内容(概念、性质、定理)(2)非齐次线性方程组解的结构:6、线性方程组解的结构非齐次线性方程组bxAnm有解时,其任意一个解,均可表示为bxAnm的一个特解与0xAnm的某个解之和.一、基本内容(概念、性质、定理)当非齐次线性方程组bxAnm有无穷多个解时,它的通解可表示为:rnrnkkkx22110.6、线性方程组解的结构其中0为bxAnm的一个特解,rnkkk,,,21为任意常数,rn,,,21为0xAnm的一个基础解系.二、典型题型分析及举例•题型I:基本概念题(解的判定、性质、结构)二、典型题型分析及举例——题型I:基本概念题已知方程组03121232121321xxxaa无解,则a;例4.1二、典型题型分析及举例——题型I:基本概念题设方程组211111111321xxxaaa有无穷多个解,则a.例4.2——题型I:基本概念题(1)已知21,是bAx的两个不同的解,21,对应的齐次方程组0Ax的基础解系,21,kk是任意常数,则bAx的通解为().(A)2)(2121211kk;(B)2)(2121211kk;(C)2)(2112211kk;(D)2)(2121211kk;例4.3——题型I:基本概念题设A是n阶矩阵,是n维列向量,若)(0ArArT,则().(A)Ax必有无穷多解;(B)Ax必有唯一解;(C)00yxAT仅有零解;(D)00yxAT必有非零解.例4.4——题型I:基本概念题设四元齐次线性方程组)(I为004221xxxx,又已知某齐次线性方程组)(II的通解为:TTkk)1,2,2,1()0,1,1,0(21,求:(1))(I的基础解系;(2))(I、)(II有无非零公共解?若有,求出所有非零公共解;若没有,说明理由.例4.5——题型I:基本概念题设bAx是四元齐次线性方程组,3)(Ar,321,,为其解向量,且01231,131232,求方程组的通解.例4.6——题型I:基本概念题已知向量20111,41122,113543,是方程组,53,34,23443221244322114433211dxcxxcxdxbxxbxdxaxaxxa的三个解,求该方程组的通解.例4.7二、典型题型分析及举例•题型II:含参数的线性方程组解的讨论说明:要求掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件;掌握非齐次线性方程组有解(无解、唯一解、无穷解)的充分必要条件.——题型II:含参数的线性方程组解的讨论k为何值时,线性方程组4243212321321xxxkxkxxkxxx有唯一解,无解,有无穷多组解?若有解时,求出其全部解.例4.8——题型II:含参数的线性方程组解的讨论讨论为何值时,线性方程组23213213211xxxxxxxxx有解?求其全部解.例4.9——题型II:含参数的线性方程组解的讨论线性方程组3221934443522134321432143214321xxxxaxxxxxxxxxxxx,当a为何值时有解?并求解.例4.10——题型II:含参数的线性方程组解的讨论设101102121tttA,且方程组0Ax的解空间的维数为2,求0Ax的解.例4.11——题型II:含参数的线性方程组解的讨论设有三维列向量1111,1112,1113,20,问取何值时,(1)可由321,,唯一线性表示;(2)可由321,,不唯一线性表示;(3)不能由321,,线性表示.例4.12——题型II:含参数的线性方程组解的讨论设有向量组:)(I20211,41122,22603a;:)(II22811,21302a,at101743;已知)(I是方程组0Ax的基础解系,问t取何值时,)(II也是方程组0Ax的基础解系.例4.13——题型II:含参数的线性方程组解的讨论设3211aaa,3212bbb,3213ccc,则三直线000333222111cybxacybxacybxa(其中3,2,1,022ibaii)交于一点的充分必要条件是:().(A)321,,线性相关;(B)321,,线性无关;(C)),(),,(21321rr;(D)321,,线性相关,21,线性无关.例4.14二、典型题型分析及举例•题型III:有关基础解系的证明及其他说明:s,,,21为n元齐次方程组0Ax的基础解系,要求满足:(1)s,,,21均为0Ax的解;(2)s,,,21线性无关;(3))(Arns.——题型III:有关基础解系的证明及其他方程组000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的系数行列式0||A,而系数矩阵A中某元素的代数余子式0ijA,试证明:TiniiAAA),,,(21是该方程组的一个基础解系.例4.15——题型III:有关基础解系的证明及其他设s,,,21为线性方程组0Ax的一个基础解系,22111tt,322
本文标题:线性代数考研习题归类汇总--方程组1005
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