考研高数总复习两个重要极限(讲义)

1.8两个重要极限一、极限存在准则1.夹逼准则准则Ⅰ如果数列nnyx,及nz满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn那末数列nx的极限存在,且axnnlim.上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′如果当)(00xUx(或Mx)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx那末)(lim)(0xfxxx存在,且等于A.注意:.,的极限是容易求的与并且与键是构造出利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy准则I和准则I'称为夹逼准则.2221111.lim()12nnnnn例22222111121nnnnnnnnn01lim[]xxx例2.求极限1111[]xxx1110(1)[]1110(1)[]xxxxxxxxxxxxxx当时，当时，2.单调有界准则单调有界数列必有极限．12113,3,,3limnnnnxxxxxx例．设有数列求{}{}nnxx先证明数列极限存在：1.　显然是单调递增数列；2.下证该数列有界：用数学归纳法133,3,kxx因设1363kkxx则{}nx从而为单调增加有上界数列，存在极限．AC二、两个重要极限(1)1sinlim0xxx)20(,,xxAOBO圆心角设单位圆,tan,,sinACxABxBDx弧于是有xoBD.ACO，得作单位圆的切线,xOAB的圆心角为扇形,BDOAB的高为,tansinxxx,1sincosxxx即.02也成立上式对于x,20时当xsin011cosxxx2sin22x2)2(2x,22x,02lim20xx00lim(1cos)0limcos1xxxx.1sinlim0xxx0sinlim1.0sin2lim?.2xxx0sin2limxxx例.求00020sin2sin2sin2.limlim22lim22sin2lim2xxxtxtxxxxxxtt解0tan.limxxx例求0000tansin1sin1.limlimlimlim1coscosxxxxxxxxxxxx解例.cos1lim20xxx求解2202sin2limxxx原式220)2(2sinlim21xxx20)22sin(lim21xxx2121.211lim2sin2nnn练习：求302tan2sinlimxxxx练习：求(2)exxx)11(limennn)11(lim1(1)lim(1)xxex先证：[]1nxnxn设，则,1时当x,1][][xxx有,)][11()11()1][11(1][][xxxxxx)][11(lim)][11(lim)][11(lim][1][xxxxxxxx而,e11][][)1][11(lim)1][11(lim)1][11(limxxxxxxxx,e.)11(limexxx,xt令ttxxtx)11(lim)11(limttt)111(lim)111()111(lim1tttt.eexxx)11(lim,1xt令ttxxtx)11(lim)1(lim10.eexxx10)1(lim1lim(1)e10lim(1)e例.)11(limxxx求解xxx)11(1lim1])11[(limxxx原式.1e例.)23(lim2xxxx求解422)211(])211[(limxxxx原式.2e11lim(1)xxx例.求111.lim(1)lim(1)(1)11xxxxxxxxee解212sin0.lim(cos)xxx例求22112sin00.sin,00.1lim(cos)lim(1)yxxyyxxyxye解令当时，所以幂指数函数求极限000()lim(),lim()lim[()]xxxxgxBxxfxAgxBfxA定理：设则0000()lim()0,limln()lnlim()0,limxxxxfxAxxxxfxAfxAfxAee推论:如果则如果则120lim(1sin)xxx例.求11sin2sin2(1sin)[(1sin)]xxxxxx解：由于1sin0lim(1sin)0,xxxe又11220lim(1sin)xxxe所以：0sin1lim22xxx三连续复利本金为Ｐ，年利率为ｒ，按复利计算，若一年分ｍ次付息，则ｔ年末的本利和为：(1)mttrSPm若一年付息一次，则ｔ年末的本利和为：'(1)ttSPr'ttSS显然：lim(1)emtrtmrPPm连续复利公式例：一投资者欲用１千元投资５年，设年利率为6%，试分别按单利，复利，每年分４次复利和连续复利付息方式计算，到第５年末，该投资者应得的本利和Ｓ．解：单利：S=1000×(1+0.06)×5=1300（元）复利：S=1000×（1+0.06)5=1338（元）4*50.0650.061000(1)1346.86()41000*1349.86()SSe每年付息４次：元连续复利：元三、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.;1sinlim10某过程.)1(lim210e某过程,设为某过程中的无穷小思考题求极限xxxx193lim思考题解答xxxx193limxxxxx111319limxxxxx313311lim9990e.__________3cotlim40xxx、一、填空题:._________sinlim10xxx、.__________3sin2sinlim20xxx、.__________2sinlim5xxx、._________)1(lim610xxx、练习题.__________cotlim30xxx、arcxxx2tan4)(tanlim2、._________)1(lim72xxxx、._________)11(lim8xxx、xxxxsin2cos1lim10、xxaxax)(lim3、二、求下列各极限:nnnn)11(lim42、5、nnnn1)321(lim三、利用极限存在准则证明数列,......222,22,2的极限存在，并求出该极限.一、1、；2、32；3、1；4、31；5、0；6、e；7、2e；8、e1；二、1、2；2、e1；3、ae2；4、1e；5、3.三、2limnxx.练习题答案作业：第63页1(偶),2(奇),5,7,9