定解问题和本征值问题分解

1典型方程与定解问题许多物理规律、过程和状态都可以用微分方程来表述。根据物理规律建立方程——泛定方程（共性）根据边界及初始状况建立——定解条件（个性）边界条件：物理系统与外部的相互作用初始条件：物理系统过去的历史求一个微分方程的解使之满足一定的初始条件和边界条件的问题  问题泛定方程定解条件定解220u220uaut220ttuau波动方程描述现象：声波、电磁波等波动过程输运方程描述现象：热扩散、物质扩散等扩散过程稳定场方程描述现象：电势、稳定温度场分布等与时间无关的稳定场。一、常见的偏微分方程3一般情况稳定态输运方程u不随t变化泊松方程拉普拉斯方程波动方程u不随t变化泊松方程拉普拉斯方程即u随t周期的变化k=w/a为波数亥姆霍兹方程2uuft2222uauft2/uf20:0fu20:0fu22/ufa22(,,,)(,,)0ituxyztvxyzevkv4二、定解条件初始条件：输运方程：波动方程：0(,)|()turtr初始分布00(,)|()(,)()tturtrurtrt初始位移分布初始速度分布5边界条件第一类边界条件：直接规定了所研究物理量在边界上的数值。第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值。第三类边界条件（混合边界条件）：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。1|uf2ufn3uuHfn6例1：长为l的均匀杆的导热问题（1）杆的两端温度保持零度；（2）杆的两端均绝热；（3）杆的一端恒温零度，另一端绝热。三种情况下的边界条件分别为：设u(x,t)为杆的温度函数以上均为齐次边界条件。00,0xxluu（1）00,0xxluuxx（2）000,00,0xxlxlxuuuuxx（3）或722220uaut例2：弦振动问题¶-?¶初始条件：边界条件：初始时刻的位移初始时刻的速度00(,)|()(,)()tturtrurtrt0001(,)|(,)|0203()xxlxlxluxtuxtuxYSuuutkx或、、、两端固定端点受力弹性受力8衔接条件：反映两种介质交界处物理状况的条件。II,CuIIII,Cu交界面上电学问题：电位连续，电位移矢量法向分量连续；热传导问题：热流强度矢量法向分量连续；扩散问题：扩散流强度矢量法向分量连续。IIIIIIIIIuuuuCCxx9例3：两种电介质的界面/上的电势。连接条件：（电势连续）（电位移矢量的法向分量连续）121212uuuunn10其它边界条件有限性条件：在没有源处，物理量一般有界无穷远条件：周期性单值条件lim0ru=或有限数(2)()uu11=-本征值、本征函数和本征值问题''0(0)()0XXXXl？()0a()xxXxCeDe00llCDCeDe代入边界条件：00CD00CDl代入边界条件：()0b()XxCDx00CD仅有零解仅有零解12()0c()cossinXxCxDx0sin0CDl代入边界条件：0sin0Dl或2()sin()(1,2,3,)nnnXxDxnl，其中仅有零解(1,2)lnn''0(0)()0XXXXl可见：的取值不是任意的，只能取某些特定的数值才有满足条件的非零解。这些特定的值称为本征值，相应的非零解称为本征函数。求本征值和相应的本征函数的问题称为本征值问题。132sin()''0(1,2,3,)(0)()0xnXXXlnlX本例题中本征值问题：本征函数：本征值：