98江苏省高等数学竞赛试题

12010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题4分，共32分）1.30sinsinlimsinxxxx2.设函数,f可导，arctantanyfxx，则y3.2cosyx，则ny4.21xxdxxe5.4211dxx6.圆222222042219xyzxyzxyz的面积为7.设2,,xfxyfy可微，123,22,3,23ff，则,2,1xydz8.级数1111!2!nnnnn的和为二．（10分）设fx在0,c上二阶可导，证明：存在0,c，使得300212cccfxdxffcf三．（10分）已知正方体1111ABCDABCD的边长为2，E为11DC的中点，F为侧面正方形11BCCB的中点，（1）试求过点1,,AEF的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点1,,AEF的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD是等腰梯形，//,8BCADABBCCD,求,,ABBCAD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。五（12分）求二重积分22cossinDxydxdy，其中22:1Dxy六．（12分）应用高斯公式计算222axbyczdS，（,,abc为常数）其中222:2xyyz.2七.（12分）已知数列na，123111,2,5,,3nnnaaaaaa2,3,,n记1nnxa，判别级数1nnx的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分）1.0sinsin(sin)limsinxxxx2.22ln(1)1xxyx，/y3.2cosyx，()()nyx4.21xxedxx5.4211dxx6.圆222222042219xyzxyzxyz的面积为7.(2,)xzfxyy，f可微，//12(3,2)2,(3,2)3ff，则(,)(2,1)xydz8.级数11(1)!2!nnnnn的和为.二.（10分）设()fx在,ab上连续，且()()bbaabfxdxxfxdx，求证：存在点,ab，使得()0afxdx.三．（10分）已知正方体1111ABCDABCD的边长为2，E为11DC的中点，F为侧面正方形11BCCB的中点，（1）试求过点1,,AEF的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点1,,AEF的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD是等腰梯形，//,8BCADABBCCD,求,,ABBCAD的3长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。五（12分）求二重积分22cossinDxydxdy，其中22:1,0,0Dxyxy六、（12分）求21xxyedxxydy，其中为曲线22201212xxxyxx从0,0O到1,1A.七.（12分）已知数列na单调增加，123111,2,5,,3nnnaaaaaa2,3,,n记1nnxa，判别级数1nnx的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一填空题（每题4分，共32分）1.0sinsin(sin)limsinxxxx2.2arctantanxyxex，/y3.设由yxxy确定yyx，则dydx4.2cosyx，()()nyx5.21xxedxx6.(2,)xzfxyy，f可微，//12(3,2)2,(3,2)3ff，则(,)(2,1)xydz7设,fuv可微，由22,0Fxzyz确定,zzxy，则zzxy8.设22:2,0Dxyxy，则22Dxydxdy二.（10分）设a为正常数，使得2axxe对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10分）设fx在0,1上连续，且1100()()fxdxxfxdx，求证：存在点0,1，使得0()0fxdx.四.（12分）求广义积分4211dxx4五．（12分）过原点0,0作曲线lnyx的切线，求该切线、曲线lnyx与x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD是等腰梯形，//,8BCADABBCCD,求,,ABBCAD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。七（12分）求二重积分22cossinDxydxdy，其中22:1,0,0Dxyxy2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（民办本科）一填空题（每题4分，共32分）1.0sinsin(sin)limsinxxxx2.2arctantanxyxex，/y3.设由yxxy确定yyx，则dydx4.2cosyx，()()nyx5.21xxedxx6.2140arctan1xxdxx7.圆222222042219xyzxyzxyz的面积为8.(2,)xzfxyy，f可微，//12(3,2)2,(3,2)3ff，则(,)(2,1)xydz二.（10分）设a为正常数，使得2axxe对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10分）设fx在0,1上连续，且1100()()fxdxxfxdx，求证：存在点0,1，使得0()0fxdx.四.（12分）过原点0,0作曲线lnyx的切线，求该切线、曲线lnyx与x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.五．（12分）已知正方体1111ABCDABCD的边长为2，E为11DC的中点，F为侧5面正方形11BCCB的中点，（1）试求过点1,,AEF的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点1,,AEF的平面截正方体所得到的截面的面积.六、（12分）已知ABCD是等腰梯形，//,8BCADABBCCD,求,,ABBCAD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。七（12分）求二重积分22cossinDxydxdy，其中22:1,0,0Dxyxy2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（专科）一填空题（每题4分，共32分）1.0sinsin(sin)limsinxxxx2.2arctantanxyxex，/y3.设由yxxy确定yyx，则dydx4.2cosyx，()()nyx5.21xxedxx6.2140arctan1xxdxx7.圆222222042219xyzxyzxyz的面积为8.级数11(1)!2!nnnnn的和为二.（10分）设a为正常数，使得2axxe对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10分）设fx在0,1上连续，且1100()()fxdxxfxdx，求证：存在点0,1，使得0()0fxdx.四.（12分）求广义积分4211dxx五．（12分）过原点0,0作曲线lnyx的切线，求该切线、曲线lnyx与x6轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.六.（12分）已知正方体1111ABCDABCD的边长为2，E为11DC的中点，F为侧面正方形11BCCB的中点，（1）试求过点1,,AEF的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点1,,AEF的平面截正方体所得到的截面的面积.七（12分）已知数列na单调增加，123111,2,5,,3nnnaaaaaa2,3,,n记1nnxa，判别级数1nnx的敛散性.2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分）1.a=，b=时，2limarctan2xaxxxbxxp+=--2.a=，b=时()ln(1)1xfxaxbx=-++在0x®时关于x的无穷小的阶数最高。3.2420sincosxxdxp=ò4.通过点()1,1,1-与直线,2,2xtyzt===+的平面方程为5.设222,xzxy=-则(2,1)nnzy¶¶=6.设D为,0,1yxxy===围成区域，则arctanDydxdy=蝌7.设G为222(0)xyxy+=?上从(0,0)O到(2,0)A的一段弧，则()()xxyexdxexydyG++-ò=8.幂级数1nnnx¥=å的和函数为，收敛域为。二．（8分）设数列{}nx为1223,33,,33(1,2,)nnxxxxn+==-=-+=LL证明：数列{}nx收敛，并求其极限7三．（8分）设()fx在[],ab上具有连续的导数，求证/1max()()()bbaxbaafxfxdxfxdxba＃?-蝌四．（8分）1）证明曲面:(cos)cos,sin,(cos)sinxbayazbaqjqqjS=+==+()02,02qpjp＃＃()0ab为旋转曲面2）求旋转曲面S所围成立体的体积五．（10分）函数(,)uxy具有连续的二阶偏导数，算子A定义为(),uuAuxyxy抖=+抖1）求(())AuAu-；2)利用结论1）以,yxyxxh==-为新的自变量改变方程222222220uuuxxyyxxyy抖?++=抖抖的形式六．（8分）求26001limsin()ttxtdxxydyt+®蝌七．（9分）设222:1(0)xyzzS++=?的外侧，连续函数222(,)2()()()((,)2)zzzfxyxyxzedydzyzedzdxzfxyedxdyS=-+++++-蝌求(,)fxy八．（9分）求23(3)()(1)(13)xxfxxx-=--的关于x的幂级数展开式2008年江苏省高等数学竞赛题（专科）一．填空题（每题5分，共40分）1.a=，b=时，2limarctan2xaxxxbxxp+=--2.()11lim2nnkkk==+å。3.设()()()()12100fxxxxx=---L，则()100f¢=84.a=，b=时2()1xfxaxxbx=+++在0x®时关于x的无穷小的阶数最高。5.22121xdxx6.点2,1,1关于平面25xyz的对称点的坐标为7.通过点()1,1,1-与直线,2,2xtyzt===+的平面方程为8.幂级数1nnnx¥=å的和函数为，收敛域为。二．（8分）设数列{}nx为111,6(1,2,)nnxxxn+==+=L，证明：数列{}nx收敛，并求其极限三．（8分）设()fx在[],ab上连续0a，()0bafxdx=ò，求证存在,ab，使得()()afxdxfxxx=ò。四．（8分）将xoy面上的曲线2220xbyaab绕直线3xb旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积。五．（8分）（8分）求25001limsin()tttxdtt+®ò六．（10分）在平面:220xyz内作直线，使直线过另一直线221:343xyzLxyz与平面设的交点，且与L垂直，求直线的参数方程。七（8分）判别级数()()11131nnn¥+=--å的敛散性（绝对收敛？条件收敛？发散？）八．（10分）求222()(1)(12)xfxxx+=-+的关于x的幂级数展开式，并指出收敛域。2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一.填空（每题5分，共40分）1.3xfxa，41limln12nfffnn92.25001lim1xtxxedtx3.1202arctan1