2019北京中考数学一模16区-分类汇编-07--几何综合(教师版)

第1页共19页072019北京中考分类汇编-几何综合北京初高中数学白杨树工作室西城一模27．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．（1）求证：FB=FD；（2）点H在边BC上，且BH=CE，连接AH交BF于点N．①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值．【答案】27．（1）证明：∵∠ABC=90°，BA=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°．∵AB绕点A逆时针旋转90°得到AD，∴∠BAD=90°，AB=AD．∴∠DAF=∠BAD－∠BAC=45°．∴∠BAF=∠DAF．…………………………………………………………1分∵AF=AF，∴△BAF≌△DAF．∴FB=FD．…………………………………………………………………2分（2）①AH与BF的位置关系：AH⊥BF．……………………………………………3分证明：连接DC，如图．∵∠ABC+∠BAD=180°，∴AD∥BC．∵AB=BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形．∴AB=DC，∠ADC=∠DCB=90°．∴∠ABH=∠DCE．∵BH=CE，∴△ABH≌△DCE．∴∠BAH=∠CDE．∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠ADF．∴∠BAH＋∠ABF=∠CDE＋∠ADF=∠ADC=90°．∴∠ANB=180°－(∠BAH＋∠ABF)=90°．∴AH⊥BF．……………………………………………………………5分②51．…………………………………………………………………………7分第2页共19页海淀一模27．如图，在等腰直角△ABC中，90ABCÐ=°，D是线段AC上一点（2CACD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）若ACEαÐ=，求ABDÐ的大小（用含α的式子表示）；（3）若点G在线段CF上，CGBD=，连接DG．①判断DG与BC的位置关系并证明；②用等式表示DG，CG，AB之间的数量关系为．【答案】27．（本小题满分7分）（1）补全图形，如图．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠BCA=45°．∵∠ACE=α，∴45ECBαÐ=°+．∵CF⊥BD交BD的延长线于点E，∴∠BEF=90°．∴∠F+∠ABD=90°．∵∠F+∠ECB=90°，∴45ABDECBαÐ=Ð=°+．（3）①DG与BC的位置关系：DG⊥BC．证明：连接BG交AC于点M，延长GD交BC于点H，如图．∵AB=BC，∠ABD=∠ECB，BD=CG，∴△ABD≌△BCG．∴∠CBG=∠BAD=45°．∴∠ABG=∠CBG=∠BAC=45°．∴AM=BM，∠AMB=90°．∵AD=BG，∴DM=GM．∴∠MGD=∠GDM=45°．∴∠BHG=90°∴DG⊥BC．②2222CGDGAB=+．第3页共19页通州一模27.如图，在等边ABC△中，点D是线段BC上一点.作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E.连接CE并延长，交射线AD于点F.（1）设BAF，用表示BCF∠的度数；（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明.【答案】27.解：（1）连接AE.∵点B关于射线AD的对称点为E，∴AE=AB，BAFEAF.∵ABC△是等边三角形，∴ABAC，60BACACB.∴602EAC，AEAC.………………1分∴1180602602ACE.∴6060BCFACEACB.………………2分另解：借助圆.（2）AFEFCF证明：如图，作60FCG交AD于点G，连接BF.………………3分∵BAFBCF，ADBCDF，∴60ABCAFC.∴△FCG是等边三角形.∴GF=FC.………………4分∵ABC△是等边三角形，∴BCAC，60ACB.∴ACGBCF.在△ACG和△BCF中，CACBACGBCFCGCF，，，∴△ACG≌△BCF.∴AGBF.………………5分∵点B关于射线AD的对称点为E，∴BFEF.………………6分∴AFAGGF.∴AFEFCF.………………7分另一种证法：作60FAH交FC的延长线于点H，连接BF.第4页共19页东城一模27．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点（不与点B，C重合），连接DE，点C关于直线DE的对称点为Cʹ，连接ACʹ并延长交直线DE于点P，F是AC′中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP，BP，DP三条线段之间的数量关系，并证明．（3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC′的面积最大值．【答案】27.解：（1）由对称可知CD＝C′D，∠CDE＝∠C′DE．在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C′D．又∵F为AC′中点，∴DF⊥AC′，∠ADF＝∠C′DF．……………………………………………………1分∴∠FDP＝∠FDC′＋∠EDC′=12∠ADC＝45°．…………………2分（2）结论：BP＋DP＝2AP．……………………………………………………3分如图，作AP′⊥AP交PD延长线于P′，∴∠PAP′＝90°．在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP′＝∠BAP．由（1）可知∠APD＝45°，∴∠P′＝45°．∴AP＝AP′……………………………………………………4分在△BAP和△DAP′中，BADABAPDAPAPAP，∴△BAP≌△DAP′（SAS）……………………………………………………5分∴BP＝DP′．∴DP＋BP＝PP′＝2AP．（3）2－1……………………………………………………7分第5页共19页朝阳一模27．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，将线段BC绕点B逆时针旋转α°（0α180），得到线段BD，且AD∥BC．（1）依题意补全图形；（2）求满足条件的α的值；（3）若AB=2，求AD的长．【答案】27．解：（1）满足条件的点D有两个，补全图形如图1所示．………………………………………2分（2）如图2，过点B作BE⊥D1D2于点E．由题意可知，BD1=BD2=BC，AE∥BC．∴∠AEB=90°．∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠EAB=∠ABC=45°．∴在Rt△ABE中，22BEAB，在Rt△ABC中，22ABBC．∴11122BEBCBD．……………………………………………………………………4分∴∠D1=∠D2=30°．∵D1D2∥BC，∴30或150．……………………………………………………………………………5分（3）∵AB=2，∴2BEAE．∴D1E=D2E=6．∴AD的长为62或62．………………………………………………………7分图1图2第6页共19页丰台一模27．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，点E为AC延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交CB的延长线于点F．（1）求证：BF=CE；（2）若CE=AC，用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明．【答案】27.解：（1）连接CD.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥BD,CD=BD=DA................1分∵DF⊥DE，∴∠BDF=∠CDE.∵∠F=∠E，∴△DBF≌△DCE.∴BF=CE...................3分（2）52DFAB...................4分理由如下：由（1）知△DBF≌△DCE，∴DF=DE...................5分连接BE.∵CE=CA，∴BA=BE.∴∠A=∠BEA=45°.∴∠ABE=90°.设AD=BD=a，∴AB=BE=2a.∴5DFDEa.∴52DFAB..........................7分FAECDB第7页共19页石景山一模27．如图，在等边△ABC中，D为边AC的延长线上一点()CDAC，平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：AG=CD；（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明．【答案】27．（1）补全的图形如图1所示．……………1分（2）证明：△ABC是等边三角形，ABBCCA．60ABCBCACAB．由平移可知ED∥BC，ED=BC．…………2分60ADEACB．90GMD，2DGDMDE．……………3分DEBCAC，DGAC．AGCD．……………4分（3）线段AH与CG的数量关系：AH=CG．……………5分证明：如图2，连接BE，EF．,EDBCED∥BC，BEDC四边形是平行四边形．BECDCBEADEABC，．GMED垂直平分，EFDF．DEFEDF．ED∥BC，BFEDEFBFHEDF，．BFEBFH．BFBF，BEFBHF△≌△．……………6分BEBHCDAG．ABAC，AHCG．……………7分图1图2第8页共19页门头沟一模27．如图，∠AOB=90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F．（1）根据题意补全图1，并证明PE=PF；（2）如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明；（3）如图2，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系．图1图2【答案】27．（本小题满分7分）解：（1）补全图形（如图1）；………………………………1分证明：略.………………………………………3分（2）线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF+OE=2OP.………………………………4分证明：如图2，作PQ⊥PO交OB于Q.∴∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°.∴∠1=∠3.又∵OC平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠4=∠5=45°.又∵∠5+∠6=90°，∴∠6=45°，∴∠4=∠6.∴PO=PQ.∴△EPO≌△FPQ.………………………5分∴PE=PF，OE=FQ.又∵OQ=OF+FQ=OF+OE.又∵OQ=2OP，∴OF+OE=2OP.………………………6分（3）线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF-OE=2OP.…………………………7分图2图1第9页共19页房山一模27.已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.(1)如图1，点D是BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE.若∠BAD=α，求∠DBE的大小(用含α的式子表示)；(2)如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE.①依题意补全图2；②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明.图1图2【答案】27.（1）解:依题意，∠CAB=45°，∵∠BAD=α，∴∠CAD=45.∵∠ACB=90°，BE⊥AD，∠ADC=∠BDE，∴∠DBE=∠CAD=45.…………………………………2分（2）解：①补全图形如图…………………………………4分②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB-EA=2EC.…………………………………5分证明：过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F.∵∠ACB=90°，∴