2011年高考数学总复习系列》——高中数学必修五

《2011年高考数学总复习系列》——高中数学必修五第一章解三角形一、基础知识【理解去记】在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a,b,c分别表示它们所对的各边长，2cbap为半周长。1．正弦定理：CcBbAasinsinsin=2R（R为△ABC外接圆半径）。推论1：△ABC的面积为S△ABC=.sin21sin21sin21BcaAbcCab推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足)sin(sinabaa，则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=Cabsin21；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论4，由正弦定理BbAasinsin，所以)sin()sin(sinsinAaAa，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于21[cos(-A+a)-cos(-A-a)]=21[cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0-A+a，-a+A.所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosAbcacbA2cos222，下面用余弦定理证明几个常用的结论。（1）斯特瓦特定理【了解】：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=.22pqqpqcpb（1）【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosADB，所以c2=AD2+p2-2AD·pcos.ADB①同理b2=AD2+q2-2AD·qcosADC，②因为ADB+ADC=，所以cosADB+cosADC=0，所以q×①+p×②得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=.22pqqpqcpb注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式.222222acbAD（2）海伦公式：因为412ABCSb2c2sin2A=41b2c2(1-cos2A)=41b2c21614)(1222222cbacb[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里.2cbap所以S△ABC=).)()((cpbpapp二、基础例题【必会】1．面积法例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足QORPOQ,，另外OP，OQ，OR的长分别为u,w,v，这里α，β，α+β∈(0,)，则P，Q，R的共线的充要条件是.)sin(sinsinwvu【证明】P，Q，R共线ORQOPQOPRΔPQRSSSS0sin21uv(α+β)=21uwsinα+21vwsinβvuwsinsin)sin(，得证。2．正弦定理的应用例2如图所示，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。【证明】过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。所以EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证：例3如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。【证明】延长PA交GD于M，因为O1GBC，O2DBC，所以只需证.21AEAFAOAOMDGM由正弦定理sin)2sin(,sin)1sin(AEPAAFAP，所以.sinsin2sin1sinAFAE另一方面，2sinsin,1sinsinPMMDPMGM，所以sinsin1sin2sinMDGM，所以AEAFMDGM，所以PA//O1G，即PABC，得证。3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x,y,z，则a=y+z,b=z+x,c=x+y.例4在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.【证明】令a=y+z,b=z+x,c=x+y，则abc=(x+y)(y+z)(z+x)zxyzxy8=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.4．三角换元。例5设a,b,c∈R+，且abc+a+c=b，试求131212222cbaP的最大值。【解】由题设bacca1，令a=tanα,c=tanγ,b=tanβ,则tanβ=tan(α+γ),P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤31031031sin32，当且仅当α+β=2，sinγ=31，即a=42,2,22cb时，Pmax=.310例6在△ABC中，若a+b+c=1，求证:a2+b2+c2+4abc.21【证明】设a=sin2αcos2β,b=cos2αcos2β,c=sin2β,β2,0.因为a,b,c为三边长，所以c21,c|a-b|，从而4,0，所以sin2β|cos2α·cos2β|.因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β=41[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]=41+41cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)41+41cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=41.所以a2+b2+c2+4abc.21三、趋近高考【必懂】1．（全国10高考）在△ABC中，cos210922ccbA，c＝5，求△ABC的内切圆半径．【解析】：∵c＝5，1092ccb，∴b＝4又cos2ccbAA22cos12∴cosA＝cb又cosA＝bcacb2222∴cbbcacb2222∴b2＋c2-a2＝2b2∴a2＋b2＝c2∴△ABC是以角C为直角的三角形．a＝22bc＝3∴△ABC的内切圆半径r＝21(b＋a-c)＝1．2．（全国10高考）R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cosAcosB，则外心位于△ABC的外部．【解析】：∵ab＜4R2cosAcosB由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB∴4R2sinAsinB＜4R2cosAcosB∴cosAcosB＞sinAsinB∴cosAcosB-sinAsinB＞0∴cos(A＋B)＞0∵cos(A＋B)＝-cosC∴-cosC＞0∴cosC＜0∴90°＜C＜180°∴△ABC是钝角三角形∴三角形的外心位于三角形的外部．3．（全国10高考）半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(3a-b)sinB．(1)求角C；(2)求△ABC面积的最大值．【解析】：(1)∵RCcBbAa2sinsinsinRbBRcCRaA2sin,)2(sin,)2(sin2222∵2R(sin2A-sin2C)＝(3a－b)sinB∴2R［(Ra2)2-(Rc2)2］＝(3a-b)·Rb2∴a2-c2＝3ab-b2∴232222abcba∴cosC＝23，∴C＝30°(2)∵S＝21absinC＝21·2RsinA·2RsinB·sinC＝R2sinAsinB＝-22R［cos(A＋B)-cos(A-B)］＝22R［cos(A-B)＋cosC］＝22R［cos(A-B)＋23］当cos(A-B)＝1时，S有最大值第二章数列*******毋庸置疑，数列是历年各省市解答题中必出的内容。因此同学要熟练百倍！一、基础知识【理解去记】定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1,a2,a3,…，an或a1,a2,a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。定理1若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1,当n1时，an=Sn-Sn-1.定义2等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a,b,c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d,则a=b-d,c=b+d.定理2*****【必考】等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=dnnnaaann2)1(2)(11；3）an-am=(n-m)d，其中n,m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+a-q；5）对任意正整数p,q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3等比数列，若对任意的正整数n，都有qaann1，则{an}称为等比数列，q叫做公比。定理3*****【必考】等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=qqan1)1(1；当q=1时，Sn=na1；3）如果a,b,c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a,c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。定义4极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的0，存在M，对任意的nM(n∈N),都有|an-A|，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作.limAann定义5无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为qa11（由极限的定义可得）。定理4数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。【补充知识点】定理5第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。定理6对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1,c2由初始条件x1,x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2)αn-1，其中c1,c2的值由x1,x2的值确定。二、基础例题【必会】1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。例1试给出以下几个数列的