平面向量高考复习(3)高品质版

考纲要求考情分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.1.数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、几何意义、模与夹角、垂直等问题，或运用向量的数量积来判断位置关系、判断三角形的形状、利用数量积求参数的值等．2.从题型看，多以选择题、填空题的形式出现，以中低档题为主；有时也出现在解答题中，主要与函数、解析几何综合在一起命题.一、平面向量的数量积1．b在a上的投影是向量吗？提示：不是，b在a上的投影是一个数量|b|cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0.二、数量积的运算律1．a·b＝.2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)．3．(a＋b)·c＝.b·aa·c＋b·c2．式子(a·b)c＝a(b·c)成立吗？提示：不成立．(a·b)c表示与c共线的向量，a(b·c)表示与a共线的向量，而a、c不一定共线．平面向量的数量积不满足消去律，即由a·b＝b·c得到a＝c不成立．三、与平面向量的数量积有关的结论已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝__________夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝____________a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤__________________x21＋y21x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22x21＋y21x22＋y223．若a∥b，则a与b的数量积有何特点？提示：若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°，∴a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.1．设向量a＝(1,0)，b＝12，12，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a∥bD．a－b与b垂直解析：由题知|a|＝12＋02＝1，|b|＝122＋122＝22，a·b＝1×12＋0×12＝12，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝12－12＝0，故a－b与b垂直．答案：D2．已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为()A．30°B．45°C．90°D．135°解析：设向量a与b的夹角为θ，由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即|a|2－a·b＝0，∴|a||b|cosθ＝|a|2，∴cosθ＝|a||b|＝22，∴θ＝45°.答案：B3．若a，b是两个非零向量，则“(a＋b)2＝a2＋b2”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件解析：∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，∴a·b＝0；反之，当a·b＝0时也成立．答案：C4．已知向量a＝(3,2)，b＝(－2,1)，则向量a在b方向上的投影为________．解析：∵a·b＝|a||ba，b，∴|aa，b＝a·b|b|＝－6＋24＋1＝－45＝－455.答案：－455解析：根据题意，以AD为x轴，DC为y轴，建立平面直角坐标系，如图．∵AD＝2，∴A(－2,0)．∵BC＝1，∴可设B(－1，n)．5．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________．∴点P在DC上运动，∴可设P(0，y)(0≤y≤n)．∴PA→＝(－2，－y)，PB→＝(－1，n－y)，∴PA→＋3PB→＝(－5,3n－4y)．∴|PA→＋3PB→|＝25＋3n－4y2.∴当3n＝4y，即y＝34n时，|PA→＋3PB→|取得最小值5.答案：5【考向探寻】1．与平面向量数量积的定义、性质和运算律有关的问题．2．平面向量数量积的坐标运算．平面向量数量积【典例剖析】(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝A．6B．5C．4D．3(2)(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则DE→·CB→的值为________，DE→·DC→的最大值为________．(3)已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为3π4，求：①(3a－2b)·(a－2b)；②|a＋b|.题号分析(1)由条件得到关于x的方程，解方程即可．(2)利用图形中的直角关系建系用坐标计算．也可以适当选取基向量进行计算．(3)①直接用数量积公式求解；②由|a＋b|2＝(a＋b)2求|a＋b|.(1)解析：8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)，∴(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30，∴x＝4.答案：C(2)解析：方法一：如图所示，以AB，AD所在直线分别为x，y轴建立坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，B(1,0)，C(1,1)，DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，∴DE→·CB→＝1.又∵DC→＝(1,0)，∴DE→·DC→＝t≤1.方法二：选取{AB→，AD→}作为基向量，设AE→＝tAB→，0≤t≤1，则DE→·CB→＝(tAB→－AD→)·(－AD→)＝－tAB→·AD→＋AD→2＝0＋1＝1.DE→·DC→＝(tAB→－AD→)·AB→＝t≤1.答案：1,1(3)解：①∵a·b＝|a||b|cos3π4＝3×4×－22＝－62.a2＝32＝9，b2＝16，∴(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2＝3×9－8×(－62)＋64＝91＋482.②|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－62)＋16＝25－122.∴|a＋b|＝25－122.(1)平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据定义来计算，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式应根据已知条件的特征来选择．(2)平面向量数量积的计算类似于多项式的运算，解题中要注意多项式运算方法的运用．(1)向量的数量积是一个数，而不是向量．(2)在数量积的计算中要注意平面向量基本定理的应用，选择恰当的基底，以简化运算．【活学活用】1．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16解析：AB→·AC→＝(CB→－CA→)·AC→＝CB→·AC→－CA→·AC→＝AC→2＝16.答案：D(2)(2013·长春模拟)O为△ABC的内切圆圆心，AB＝5，BC＝4，CA＝3，下列结论正确的是()A.OA→·OB→OB→·OC→OC→·OA→B.OA→·OB→OB→·OC→OC→·OA→C.OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→D.OA→·OB→OB→·OC→＝OC→·OA→解析：如图，A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)，则O(1,1)，则OA→＝(－1,2)，OB→＝(3，－1)，OC→＝(－1，－1)，OA→·OB→＝－5，OA→·OC→＝－1，OB→·OC→＝－2.答案：A【考向探寻】1．利用公式求夹角．2．向量垂直的充要条件．3．利用向量垂直的充要条件解决相关的问题．平面向量的垂直与夹角【典例剖析】(1)(2013·衡阳模拟)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于A．－π4B．π6C.π4D．3π4(2)(12分)已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝cosπ2－θ，sinπ2－θ.①求证：a⊥b；②若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb，满足x⊥y，试求此时k＋t2t的最小值．(1)利用数量积公式求夹角．(2)①可通过求a·b＝0证明a⊥b.②由x⊥y得x·y＝0，即求出关于k，t的一个方程，从而求出k＋t2t的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而求出最小值．(1)由条件得2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，设2a＋b与a－b的夹角为α，则cosα＝2a＋b·a－b|2a＋b|·|a－b|＝932·3＝22，又α∈[0，π]，故α＝π4.答案：C(2)①∵a·b＝cos(－θ)cosπ2－θ＋sin(－θ)·sinπ2－θ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0，∴a⊥b.……………………………………………………4分②由x⊥y得，x·y＝0，即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0，∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.………………………………6分又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.………………………………………………8分∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3＝t＋122＋114.…………10分故当t＝－12时，k＋t2t有最小值114.……………………12分(1)求向量的夹角时要应用向量的数量积求解．(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，利用这一结论既可以用来判定垂直，也可以由垂直列方程求解有关参数．数量积的运算中，a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.【活学活用】2．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|＜0，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，化简即得：2t2＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－12.当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此时夹角不是钝角，2te1＋7e2与e1＋te2反向．设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0，可求得2t＝λ7＝λtλ＜0，∴λ＝－14t＝－142.∴所求实数t的范围是－7，－142∪－142，－12.【考向探寻】1．利用公式求向量的模．2．向量数量积的坐标运算与向量的模的综合问题．3．平面向量与函数、三角、平面几何、解析几何的综合问题．向量的模及数量积的综合问题【典例剖析】(1)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大、小值分别是A．42，0B．4,22C．16,0D．4,0(2)(2012·新课标全国高考)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.(3)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量m＝(sinA，sinC)，n＝(cosC，cosA)，m·n＝sin2B.①求角B的大小；②若三边a，b，c成等差数列，且BA→·(AC→－AB→)＝8，求b的值．(1)求出2a－b的坐标，运用三角函数的知识解决．(2)将|2a－b|平方展开，代入|a|，a·b的值，将所得看作关于|b|的方程，解方程即可．(3)①由m·n＝sin2B得cosB，求得B.②由条件及余弦定理得a、b、c的关系式求解．(1)解析：由于|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝8－4(3cosθ－sinθ)＝8－8cosθ＋π6，易知0≤8－8cosθ＋π6≤16，故|2a－b|的最大值和最小值分别为4和0.答案：D(2)解析：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|×|b|cos45°＝22|b|，|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.答案：32(3)解：①m·n＝(sinA，sinC)·(cosC，cosA)＝sinAcosC＋sinC·cosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为m·n＝