控制工程清华大学版第三章时域分析

控制工程基础第三章第三章时域分析法一、典型输入信号二、一阶系统的时间响应三、二阶系统的时间响应四、高阶系统的时间响应五、误差分析和计算六、稳定性分析七、时域特性的计算机辅助分析八、小结一、典型输入信号时域分析的目的在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。优点：直观、简便第三章时域分析法典型输入信号第三章时域分析法一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动，扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时其函数形式也不可能事先获得。在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。对典型输入信号的要求第三章时域分析法形式简单，便于解析分析；能够使系统工作在最不利的情形下；实际中可以实现或近似实现。第三章时域分析法常用的典型输入信号Asint正弦信号1(t)，t=0单位脉冲信号单位加速度信号t，t0单位速度(斜坡)信号1(t)，t0单位阶跃信号复数域表达式时域表达式名称s121s31s22sA0,212tt第三章时域分析法能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；典型输入信号的选择原则如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。第三章时域分析法二、一阶系统的时间响应一阶系统（惯性环节）一阶系统的单位阶跃响应ssXi1)(TsssTssXsGsXio111111)()()(11)(TssG极点（特征根）：-1/T第三章时域分析法0,1)(tetxTto10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)tTtoetx/1)(63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T第三章时域分析法一阶系统单位阶跃响应的特点响应分为两部分瞬态响应：Tte表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）稳态响应：1表示t时，系统的输出状态xo(0)=0，随时间的推移，xo(t)指数增大，且无振荡。xo()=1，无稳态误差；第三章时域分析法xo(T)=1-e-1=0.632，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；Tdttdxto1)(0时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。第三章时域分析法将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：即ln[1-xo(t)]与时间t成线性关系。该性质可用于判别系统是否为惯性环节，以及测量惯性环节的时间常数。)(1txeoTt)(1ln1txtTotln[1-xo(t)]0第三章时域分析法一阶系统的单位速度响应21)(ssXiTsTsTssTssXsGsXio11111)()()(220,)(tTeTttxTto第三章时域分析法0txo(t)xi(t)xo(t)=t-T+Te-t/Te()=TT第三章时域分析法一阶系统单位速度响应的特点瞬态响应：Te–t/T；稳态响应：t–T；经过足够长的时间(稳态时，如t4T)，输出增长速率近似与输入相同，此时输出为：t–T，即输出相对于输入滞后时间T；系统响应误差为：TeeTtxtxteTtoi)()1()()()(第三章时域分析法一阶系统的单位脉冲响应1)(sXiTsTsGsXo111)()(0,1)(teTtxTtoxo(t)1/T0t0.3681T斜率xo(t)T21T第三章时域分析法一阶系统单位脉冲响应的特点瞬态响应：(1/T)e–t/T；稳态响应：0；xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。201)(Tdttdxto第三章时域分析法线性定常系统时间响应的性质系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系统的动态特性。注意到：tdtdttdtdt)(1)(1)(第三章时域分析法TtotTtoTtoTeTttxetxeTtx)(1)(1)(1对一阶系统：)()()()(11txdtdtxtxdtdtxotooo即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。第三章时域分析法同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。这种输入－输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立。第三章时域分析法三、二阶系统的时间响应二阶系统222222121)(nnnssTssTsG其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期，为阻尼比；n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。第三章时域分析法二阶系统的特征方程：0222nnss极点（特征根）：122,1nnp欠阻尼二阶系统（振荡环节）：01具有一对共轭复数极点：dnnnjjp22,11系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：tjttjdndneee)(第三章时域分析法临界阻尼二阶系统：＝1具有两个相等的负实数极点：np2,1其中，称为阻尼振荡频率。21nd系统包含两类瞬态衰减分量：ttnntee,第三章时域分析法过阻尼二阶系统：1具有两个不相等的负实数极点：122,1nnp系统包含两类瞬态衰减分量：tnn1exp2零阻尼二阶系统：＝0具有一对共轭虚极点：njp2,1负阻尼二阶系统：0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。系统时域响应含有复指数振荡项：tjne第三章时域分析法第三章时域分析法三、二阶系统的时间响应二阶系统222222121)(nnnssTssTsG其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期，为阻尼比；n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。第三章时域分析法二阶系统的特征方程：0222nnss极点（特征根）：122,1nnp欠阻尼二阶系统（振荡环节）：01具有一对共轭复数极点：dnnnjjp22,11系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：tjttjdndneee)(第三章时域分析法临界阻尼二阶系统：＝1具有两个相等的负实数极点：np2,1其中，称为阻尼振荡频率。21nd系统包含两类瞬态衰减分量：ttnntee,第三章时域分析法过阻尼二阶系统：1具有两个不相等的负实数极点：122,1nnp系统包含两类瞬态衰减分量：tnn1exp2零阻尼二阶系统：＝0具有一对共轭虚极点：njp2,1负阻尼二阶系统：0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。系统时域响应含有复指数振荡项：tjne第三章时域分析法二阶系统的单位阶跃响应第三章时域分析法ssXi1)()2()()()(222nnniossssXsGsX欠阻尼（01）状态0),sin(11)(2ttetxdton其中，21ndarccos12arctg第三章时域分析法欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tp=0.2=0.4=0.6=0.8t第三章时域分析法欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点xo()=1，无稳态误差；瞬态分量为振幅等于的阻尼正弦振荡，其振幅衰减的快慢由和n决定。阻尼振荡频率；21tne21nd振荡幅值随减小而加大。第三章时域分析法临界阻尼（=1）状态0,)1(1)(tettxtnon10txo(t)特点单调上升，无振荡、无超调；xo()=1，无稳态误差。第三章时域分析法过阻尼（1）状态0)11(21)11(211)()1(22)1(2222teetxttonn，01txo(t)特点单调上升，无振荡，过渡过程时间长xo()=1，无稳态误差。第三章时域分析法无阻尼（=0）状态0,cos1)(tttxno210txo(t)特点频率为n的等幅振荡。第三章时域分析法负阻尼（0）状态0txo(t)-10t0xo(t)-1-10：输出表达式与欠阻尼状态相同。-1：输出表达式与过阻尼状态相同。特点：振荡发散特点：单调发散第三章时域分析法几点结论二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：0时，阶跃响应发散，系统不稳定；1时，无振荡、无超调，过渡过程长；01时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快，=0时，出现等幅振荡。第三章时域分析法一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。第三章时域分析法二阶系统的单位脉冲响应1：012)(11222teetxttnonn=1：0,)(2ttetxtnon01：0,sin1)(2ttetxdtnon=0：0,sin)(tttxnno第三章时域分析法二阶系统的单位速度响应1：0,1212121212122)(1222122222teettxtntnnonn=1：0,21122)(tetttxtnnnon第三章时域分析法01：1212,10),sin(12)(222arctgttettxnddtdnon=0：0,sin1)(ttttxnno第三章时域分析法例题例1单位脉冲信号输入时，系统的响应为：求系统的传递函数。toetx657)(解：由题意Xi(s)=1，所以：]57[)]([)()()()(6tooioeLtxLsXsXsXsG)6(422657sssss第三章时域分析法例2解：1）单位阶跃输入时已知系统传递函数：求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。2)1(12)(sssG11)1(11)1(12)()()(22sssssssXsGsXio从而：ttooetesXLtx1)]([)(第三章时域分析法2）单位脉冲输入时，由于)](1[)(tdtdt因此：ttooteetxdtdtx2)()(1第三章时域分析法二阶系统的性能指标控制系统的时域性能指标控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N。第三章时域分析法10tMp允许误差=0.05或0.02trtpts0.10.9xo(t)控制系统的时域性能指标