八年级下册-第九章-图形的相似

第九章图形的相似第一节成比例线段学习目标1、理解线段的比的含义；2、理解比例线段的含义以及比例的性质。如果选用同一个长度单位量得两条线段𝐴𝐵,𝐶𝐷的长度分别是𝑚、𝑛，那么说这两条线段的比𝐴𝐵:𝐶𝐷=𝑚:𝑛或写成𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑚𝑛.其中，线段𝐴𝐵,𝐶𝐷分别叫做这个线段比的前项、后项.如果把𝑚𝑛表示成比值𝑘,那么𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑘,或𝐴𝐵=𝑘∙𝐶𝐷.𝐴知识点1线段的比𝐵𝐶𝐷𝑚𝑛两条线段的比实际上就是两个数的比。注意：求两条线段的比时，必须要统一单位，最后结果没有单位。例1（1）已知线段𝐴𝐵=1𝑐𝑚，线段𝐶𝐷=30𝑚𝑚，则𝐴𝐵：𝐶𝐷=。（2）已知线段𝐴𝐵，延长𝐴𝐵到𝐶，使𝐵𝐶=2𝐴𝐵，则𝐴𝐶：𝐴𝐵=,𝐴𝐶：𝐵𝐶=.1：33：13：2知识点2成比例线段四条线段𝑎，𝑏，𝑐，𝑑中，如果𝑎与𝑏的比等于𝑐与𝑑的比，即𝑎：𝑏=𝑐：𝑑，那么这四条线段𝑎，𝑏，𝑐，𝑑叫做成比例线段，简称比例线段。判断方法：先将四条线段按从小到大的顺序排列，然后计算前两条线段的比和后两条线段的比，若相等即为比例线段.例2已知四条线段的长度𝑎=1.5𝑐𝑚，𝑏=2𝑐𝑚，𝑐=2.8𝑐𝑚，𝑑=2.1𝑐𝑚，试判断它们是不是成比例线段。解：∵𝑎𝑏=1.52=34𝑑𝑐=2.12.8=34∴𝑎𝑏=𝑑𝑐∴它们是比例线段知识点3比例的性质比例的基本性质：如果𝒂𝒃=𝒄𝒅,那么𝒂𝒅=𝒃𝒄.反过来，如果𝒂𝒅=𝒃𝒄，则𝒂𝒃=𝒄𝒅。知识点3比例的性质等比性质：如果𝒂𝒃=𝒄𝒅=⋯=𝒎𝒏𝒃+𝒅+⋯+𝒏≠𝟎,那么𝒂+𝒄+⋯+𝒎𝒃+𝒅+⋯+𝒏=𝒂𝒃.例3（1）如果2𝑥=5𝑦,那么𝑥𝑦=.52（2）如果𝑎𝑏=12,那么𝑎+𝑏𝑏=.32（3）若𝑎4=𝑏5=𝑐6,且𝑎−𝑏+𝑐=10,则a+b−c的值=.6例4已知𝑏+𝑐𝑎=𝑎+𝑐𝑏=𝑎+𝑏𝑐=𝑘,你能求出𝑘的值吗？解：分情况：①𝑎+𝑏+𝑐≠0时，利用等比性质得：𝑏+𝑐+𝑎+𝑐+𝑎+𝑏𝑎+𝑏+𝑐=𝑘则𝑘=2②𝑎+𝑏+𝑐=0时，则𝑏+𝑐=−𝑎,𝑎+𝑐=−𝑏,𝑎+𝑏=−𝑐.𝑏+𝑐𝑎=𝑎+𝑐𝑏=𝑎+𝑏𝑐=−𝑎𝑎=−𝑏𝑏=−𝑐𝑐=−1所以𝑘=−1或2.随堂练习1、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，则这两条线段之比是。2、在比例尺1：6000000的地图上，测量甲乙两地的距离为15𝑐𝑚，则这两地之间的实际距离为。5:1900km3、下列各组线段中，能成比例线段的是（）𝐴.3𝑐𝑚,6𝑐𝑚,7𝑐𝑚,9𝑐𝑚𝐵.2𝑐𝑚,5𝑐𝑚,0.6𝑑𝑚,8𝑐𝑚𝐶.3𝑐𝑚,6𝑐𝑚,9𝑐𝑚,1.8𝑑𝑚𝐷.2𝑐𝑚,3𝑐𝑚,4𝑐𝑚,5𝑐𝑚𝑪4、已知1，3，2，𝑥成比例线段，则𝑥的值为（）𝐴.23𝐵2𝐶.3𝐷.1−3𝑨5、若𝑥+𝑦𝑦=179,则𝑥𝑦=_____。896、若𝑎𝑏=cd=𝑒𝑓=12,则𝑎−3𝑐+2𝑒2𝑏−6𝑑+4𝑓的值为（）𝐴.12𝐵.13𝐶.14𝐷.15𝑪7、已知𝑥𝑦=𝑚𝑛,则把它改成比例式后错误的是（）𝐴.𝑥𝑛=𝑚𝑦𝐵.𝑦𝑚=𝑛𝑥𝐶.𝑥𝑚=𝑦𝑛𝐷.𝑥𝑚=𝑛𝑦𝑪8、已知𝑎3=𝑏5=𝑐7.求：（1）𝑎+𝑏+𝑐𝑏的值。（2）𝑎+2𝑏−3𝑐a+c的值。9、如图，已知𝐴𝐵AD=𝐴𝐶𝐴𝐸=𝐵𝐶𝐷𝐸=32,且△𝐴𝐵𝐶的周长为36𝑐𝑚，求△𝐴𝐷𝐸周长。𝐴𝐷𝐸𝐵𝐶10、已知𝑥：𝑦∶𝑧=2:3:4，且2𝑥−𝑦+3𝑧=26,求𝑥−2𝑦+𝑧的值。11、已知𝑎,𝑏,𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三条边，𝑎+43=𝑏+32=𝑐+84,且a+b+c=12,试判断△𝐴𝐵𝐶的形状。第二节平行线分线段成比例学习目标理解掌握平行线分线段成比例定理及推论。两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。平行线分线段成比例定理𝐵𝐴𝐶𝐷𝐸𝐹𝑙1𝑙2𝑙3∵𝑙1//𝑙2//𝑙3∴𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐷𝐸𝐷𝐹𝐴𝐶𝐵𝐶=𝐷𝐹𝐸𝐹平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸∆𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸//𝐵𝐶∴𝐴𝐷𝐷𝐵=𝐴𝐸𝐸𝐶例1、如图，已知𝑙1//𝑙2//𝑙3,（1）在图（1）中𝐴𝐵=5,𝐵𝐶=7，𝐸𝐹=4，求𝐷𝐸的长。（2）在图（2）中𝐷𝐸=6,𝐸𝐹=7，𝐴𝐵=5，求𝐴𝐶的长。l3l2ABCDEFl1（1）l3l2ABCDEFl1（2）𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹57=𝐷𝐸4𝐷𝐸=207𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹5𝐵𝐶=67𝐵𝐶=356𝐴𝐶=656例2、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC,如果AB=10,AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？BC𝐴𝐸𝐴𝐵=𝐴𝐹𝐴𝐶610=5𝐴𝐶𝐴𝐶=506𝐹𝐶=506−5=206随堂练习1、如图，已知直线𝑎//𝑏//𝑐,直线𝑚,𝑛与直线𝑎,𝑏,𝑐分别交于𝐴，𝐶，𝐸，𝐵，𝐷，𝐹，𝐴𝐶=4，𝐶𝐸=6，𝐵𝐷=3，则𝐵𝐹=（）𝐴.7𝐵.7.5𝐶.8𝐷.8.5𝐶𝐴𝐸𝐵𝐷𝐹𝑎𝑏𝑐𝐵2、如图，已知直线𝐴𝐵//𝐶𝐷//𝐸𝐹,则下列结论正确的是（）𝐴.𝐴𝐷𝐷𝐹=𝐵𝐶𝐶𝐸𝐵.𝐵𝐶𝐶𝐸=𝐷𝐹𝐴𝐷𝐶.𝐶𝐷𝐸𝐹=𝐵𝐶𝐵𝐸𝐷.𝐶𝐸𝐸𝐹=𝐴𝐷𝐴𝐹𝐶𝐴𝐸𝐵𝐷𝐹𝐴3、如图，已知DE//𝐵𝐶,𝐴𝐵//𝐸𝐹,则下列结论错误的是（）𝐴.𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶𝐵.𝐶𝐸𝐶𝐹=𝐸𝐴𝐹𝐵𝐶.𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐷𝐵𝐷𝐷.𝐸𝐹𝐴𝐵=𝐶𝐹𝐶𝐵ABC𝐶4、如图，△𝐴𝐵𝐶中，DE//𝐵𝐶,𝐴𝐵//𝐸𝐹,若𝐴𝐷=2𝐵𝐷，则𝐶𝐹𝐵𝐹（）𝐴.12𝐵.13𝐶.14𝐷.23𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴5、如图，△𝐴𝐵𝐶中，DE//𝐵𝐶,已知𝐴𝐸=6，𝐴𝐷𝐵𝐷=34，则𝐸𝐶长为（）𝐴.4.5𝐵.8𝐶.10.5𝐷.14𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐵6、如图，如果菱形𝐵𝐸𝐹𝐷的顶点在△𝐴𝐵𝐶的边上，已知𝐴𝐵=18，𝐴𝐶=𝐵𝐶=12，则菱形的周长为。𝐴𝐶𝐵𝐷𝐸𝐹𝐵𝐷𝐴𝐵=𝐶𝐹𝐴𝐶𝐶𝐹𝐴𝐶=𝐶𝐸𝐶𝐵𝐵𝐷𝐴𝐵=𝐶𝐸𝐶𝐵𝑥18=12−𝑥12𝑥=36514457、已知平行四边形ABCD,𝐸是𝐵𝐴延长线上的一点，𝐶𝐸交对角线𝐷𝐵于点𝐺，交𝐴𝐷边于点𝐹。求证：𝐶𝐺2=𝐺𝐹∙𝐺𝐸ABCDEFG第三节相似多边形学习目标1、理解相似多边形的含义。2、掌握相似多边形的判定方法。BCADEF请找出形状相同的图形.各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。记作:六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹~六边形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1,其中𝐴𝐵:𝐴1𝐵1的值就是相似比.知识点1相似多边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1知识点2相似多边形的判定两个多边形相似，必须具备以下两个条件：（1）对应角都相等；（2）对应边成比例。注意：边数相同的正多边形一定是相似的。例如：所有的等边三角形、正方形、正五变形……1.观察下面两组图形，图中的两个图形相似吗？为什么？正方形菱形10101212答：不相似。因为虽然它们对应边是成比例的，但它们的对应角不相等。议一议2.图中的两个图形相似吗？为什么？正方形矩形1010812答：不相似。因为虽然它们对应角相等，但它们对应边不成比例。议一议随堂练习1、下列两个多边形一定相似的是（）A.对应边成比例的五边形B.对应角相等的四边形C.对应边分别相等的六边形D.对应边成比例的两个矩形𝐷2、两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，则这两个多边形的相似比是（）𝐴.34𝐵.56𝐶.12𝐷.23𝐷3、一个多边形的边长分别为2,3，4,5,6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为。84、已知矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=1，在𝐵𝐶上取一点E，沿𝐴𝐸将△𝐴𝐵𝐸向上折叠，使点𝐵落在𝐴𝐷上，若四边形𝐸𝐹𝐷𝐶与矩形𝐴𝐵𝐶𝐷相似，则𝐴𝐷=（）𝐴.5−12𝐵.5+12𝐶.3𝐷.2𝐴𝐶𝐷𝐵𝐸𝐹𝐵第四节探索三角形相似的条件学习目标1、理解相似三角形的概念。2、掌握相似三角的形的判定方法一。第一课时相似三角形的判定（一）知识点1相似三角形三角相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。CAB𝑪′𝑨′𝑩′表示为：△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴′𝐵′𝐶′注意：1、在写两个三角形相似时应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。2、对应边的比叫做相似比，相似比为1时，两个三角形全等。3、所有的等边三角形、等腰直角三角形相似。∠𝑨=∠𝑨′、∠𝑩=∠𝑩′、∠𝑪=∠𝑪′𝐴𝐵𝐴′𝐵′=𝐵𝐶𝐵′𝐶′=𝐶𝐴𝐶′𝐴′例1已知△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴′𝐵′𝐶′，若△𝐴𝐵𝐶的三边边长分别为3𝑐𝑚,4𝑐𝑚,5𝑐𝑚,且的最大边长为15𝑐𝑚，试求△𝐴′𝐵′𝐶′的面积。知识点2相似三角形的判定方法一两角对应相等的两个三角形相似。CAB𝑪′𝑨′𝑩′符号语言：∵∠𝐴=∠𝐴′，∠𝐵=∠𝐵′∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴′𝐵′𝐶′常见的相似三角形的图形：𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐷𝐸//𝐵𝐶△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐷𝐸𝐵𝐶常见的相似三角形的图形：𝐷𝐸//𝐵𝐶△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐶𝐵𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐶𝐵𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸常见的相似三角形的图形：∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐶𝐵𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐶𝐵𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐴𝐵𝐶𝐷常见的相似三角形的图形：𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵∽𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶∽𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐵𝐶𝐷2=𝐴𝐷∙𝐵𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷𝐵𝐶2=𝐵𝐷∙𝐵𝐴𝐶𝐴2=𝐴𝐷∙𝐴𝐵例2如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐸平分∠𝐷𝐵𝐶交𝐶𝐷边于点𝐸，将△𝐵𝐶𝐸绕点𝐶顺时针旋转到△𝐷𝐶𝐹位置，并延长𝐵𝐸交𝐷𝐹于点𝐺。（1）求证：△𝐵𝐷𝐺∽△𝐷𝐸𝐺（2）若𝐸𝐺∙𝐵𝐺=4，求𝐵𝐸的长。𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐺𝐹随堂练习1、下列说法正确的有：（）①两个全等的三角形一定相似；②两个锐角三角形一定相似；③两个不相似的三角形一定不是全等三角形；④两个全等的三角形不一定是相似三角形。A.1个B.2个C.3个D.4个B2、若△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′相似，∠𝐴=55°,∠𝐵=100°,那么∠𝐶′的度数为（）A.55°B.100°C.25°D.不能确定D3、若△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴=40°,∠𝐵=60°,△𝐷