4.2调和函数的基本性质

1,0dSnu性质1(12)4.2调和函数的基本性质设函数它在上连续，且不为常数，),,(zyxu则内的调和函数，是区域性质3它的最大值、最小值只能在边界上达到(极值原理)。.41)(20dSuaMua性质2(13)2性质3.41)(20dSuaMua性质2(13)若存在一点则由函1M以,RK为心，事实上，用反证法.假定函数u1M达到最大值，在某点在区域中，).()(1MuMu记任意长R为半径作球(极值原理)使它完全落RK的球面为,RS则在RS上满足,M使得邻域，),()(1MuMu数的连续性，必可找到此点在球面RS上的一个因此，即使在此邻域中也有).()(1MuMu在球面RS的其余部分上满足也有),()(1MuMudSMudSMuRRSS)()(13性质3.41)(20dSuaMua性质2(13)1M以,RK为心，用反证法.假定函数u1M达到最大值，在某点在区域中，).()(1MuMu记任意长R为半径作球(极值原理)使它完全落RK的球面为,RS则在RS上满足dSMuRdSMuRRRSS)(41)(41122),(1Mu),()(4112MudSMuRRS但由平均值公式(13)得矛盾。).()(1MuMu则在球面RS上满足事实上，4性质3.41)(20dSuaMua性质2(13)1M以,RK为心，用反证法.假定函数u1M达到最大值，在某点在区域中，).()(1MuMu记任意长R为半径作球(极值原理)使它完全落RK的球面为,RS则在RS上满足同理，1M在以为心，任意)(Rrr为半径的球面上，也有).()(1MuMuRK因此，在整个球中恒有).()(1MuMu5性质3.41)(20dSuaMua性质2(13)现在证明对于,l中的所有点都成立在区域中作连接.d任取一点,N到区域(极值原理)折线NM,1两点的边界的最小距离为).(1Muul记折线d1MNl1K1S2M2K2S3MnKnMnS由于点N的任意性，上满足整个区域).()(1MuMu就得到与题设矛盾。则极值原理得证。6设函数它在上连续，且不为常数，),,(zyxu则内的调和函数，是区域性质3它的最大值、最小值只能在边界上达到(极值原理)。.41)(20dSuaMua性质2(13)设且在上连续，vu,则在内的调和函数，都是区域推论若在且只有在vu时，(比较原理),vu边界上成立不等式内该不等式同样成立，内等号才成立。在7解的惟一性。利用极值原理证明狄利克雷问题),,(|zyxfu,),,(,0),,(zyxzyxu(14)设.0|u并且由极值原理知21,uu21uuu故在则是问题(14)的两个解，在这就证明了狄氏问题解的惟一性。,0u即,0u内既不能大于0，又不能上有u内的调和函数，即小于0，是.21uu8格林函数对于在区域有一阶连续偏导数的函数我们有等式在边界还不能直接由(8)式求出。此积分表达式表示函数但狄利克雷问题或诺依曼问题的解上的数值表示出来。nu中为调和函数，在,u及其法向导数上具u.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)内部的数值在区域可以用函数u94.2格林函数对于在区域有一阶连续偏导数的函数我们有等式由于在边界因此比如，对于狄利克雷问题，上狄利克雷问题的解是惟一的，上的值就不知道，的值就不能再任意给定了。nu中为调和函数，在,u而上具u.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)上的值是已在给定的，在边界nu比如，对于狄利克雷问题，而u上的值是已在