第三章-概率与概率分布

第三章概率与概率分布第一节：概率基础知识一、概率的概念二、概率的计算三、概率的分布一、概率基本概念（一）事件定义：在一定条件下，某种事物出现与否就称为是事件。自然界和社会生活上发生的现象是各种各样的，常见的有两类。在一定条件下必然出现某种结果或必然不出现某种结果。确定性事件必然事件（U)(certainevent)不可能事件（V)(impossibleevent)在一定条件下可能发生也可能不发生。随机事件(randomevent)不确定事件(indefiniteevent)为了研究随机现象，需要进行大量重复的调查、实验、测试等，这些统称为试验。（二）频率（frequency）若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)，记为W(A)=m/n。0≤W(A)≤1表3-1玉米种子发芽试验结果种子总数(n)1020501002005001000发芽种子数(m)9194791186458920种子发芽率(m/n)0.9000.9500.9400.9100.9300.9180.920种子发芽与否是不能事先确定的，但从表中可以看出，试验随着n值的不同，种子发芽率也不相同，当n充分大时，发芽率在0.92附近摆动。例：频率表明了事件频繁出现的程度，因而其稳定性说明了随机事件发生的可能性大小，是其本身固有的客观属性，提示了隐藏在随机现象中的规律性。概率（三）概率（probability,P)概率的统计定义：设在相同的条件下，进行大量重复试验，若事件A的频率稳定地在某一确定值p的附近摆动，则称p为事件A出现的概率。P(A)=p抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录实验者投掷次数发生正面朝上的次数频率(m/n)蒲丰404020480.5069K皮尔逊1200060190.5016K皮尔逊24000120120.5005随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生的频率稳定接近0.5，我们称0.5作为这个事件的概率。P(A)=p=lim在一般情况下，随机事件的概率P是不可能准确得到的。通常以试验次数n充分大时，随机事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。mnmnn∝0≤P(A)≤1任何事件P(U)=1必然事件P(V)＝0不可能事件0P(A)1随机事件概率的计算第二部分二、概率的计算（一）事件的相互关系和事件积事件互斥事件对立事件独立事件完全事件系1和事件事件A和事件B中至少有一个发生而构成的新事件称为事件A和事件B的和事件，记作A+B。n个事件的和，可表示为A1+A2+…+An如：随机抽取一样品的出粉率为81%以下，称事件A，另一81-85%为B，现取一新样品出粉率85以下，则其为A和B的和事件2积事件事件A和事件B中同时发生而构成的新事件称为事件A和事件B的积事件，记作A•B。n个事件的积，可表示为A1•A2•…•An如调查田间病害发生情况，棉铃虫发生为事件A，黄萎病发生为B，则棉铃虫与黄萎病同时发生的新事件为A和B的积事件3互斥事件（互不相容事件）事件A和事件B不能同时发生，则称这两个事件A和B互不相容或互斥。n个事件两两互不相容，则称这n个事件互斥。豌豆开红花、白花事件4对立事件事件A和事件B必有一个发生，但二者不能同时发生，且A和B的和事件组成整个样本空间。即A+B=U，AB=V。我们称事件B为事件A的对立事件。B=A生男孩、女孩5独立事件事件A和事件B的发生无关，事件B的发生与事件A的发生无关，则事件A和事件B为独立事件。如果多个事件A1、A2、A3、…、An彼此独立，则称之为独立事件群。如播种两粒玉米，它们的发芽6完全事件系如果多个事件A1、A2、A3、…、An两两互斥，且每次试验结果必然发生其一，则称事件A1、A2、A3、…、An为完全事件系。完全事件系的和事件概率为１，任何一个事件发生的概率为1/n。即：P（A1＋A2＋…＋An）＝１如，抽取一位阿拉伯数字，抽取数字为0、1、2….8、9构成了完全事件系例：玉米田中，一穗株(A)占67.2%，双穗株(B)占30.7%，空穗株(C)占2.1%，试计算一穗株和双穗株的概率。P(A+B)=P(A)+P(B)=0.672+0.307=0.979因为P(A)+P(B)+P(C)=1P(A+B)=1-P(C)=1-0.021=0.979（二）概率的计算法则1互斥事件加法定理定理:若事件A与B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)推理1P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)推理2P(A)=1-P(A)推理3完全事件系的和事件的概率为1。2独立事件乘法定理例:播种玉米，种子的发芽率为90%，每穴两粒，则：A:第一粒种子发芽，P(A)=0.9，P(A)=0.1B:第二粒种子发芽，P(B)=0.9，P(B)=0.1C:两粒种子均发芽，D:一粒种子发芽：D=AB+AB，P(D)＝0.9*0.1+0.1*0.9=0.18E:两粒种子均不发芽：E=AB，P(E)＝P(A)P(B)=0.1*0.1=0.01求：C:两粒种子均发芽D:一粒种子发芽E:两粒种子均不发芽C=AB，P（C)=P(A)P(B)=0.812独立事件乘法定理定理:事件A和事件B为独立事件，则事件A与事件B同时发生的概率为各自概率的乘积。P(AB)=P(A)P(B)推理：A1、A2、…An彼此独立，则P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)三、概率分布（一）离散型变量的概率分布要了解离散型随机变量x的统计规律，必须知道它的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。对离散型变量x的一切可能值xi(i=1,2,3…),及其对应的概率piP(x=xi)=pi,i=1,2,3…例：表3-2某鱼群的年龄组成年龄(x)1234567频率(W)0.45970.33350.12540.05070.02150.00800.0012此表给出了该鱼群年龄构成的全部，我们称之为该鱼群年龄的概率分布。表婴儿的性别情况表性别(x)0（男）1（女）概率(P)0.5170.483此表列出了性别变量的取值及相应值的概率，揭示了观察婴儿性别试验的统计规律。用随机变量的可能取值及取相应值的概率来表示随机试验的规律称为随机变量的分布律或概率函数。例：表3-3离散型变量的概率分布变量(x)x1x2x3x4……..xn概率(P)p1p2p3p4…….pnP(x=xi)=pi,i=1,2,3…设离散型变量x的所有一切可能值xi(i=1,2,3…),取相应值的概率为pi，则P(x=xi)称为离散型随机变量x的概率函数。离散型变量的概率分布的特点1≥Pi≥0(i=1,2,…)1iPi=1（二）连续型变量的概率分布当试验资料为连续型变量，一般通过分组整理成频率分布表。如果从总体中抽取样本的容量n相当大，则频率分布就趋于稳定，我们将它近似地看成总体概率分布。图3.1鲢鱼体长的频率分布图354045505560657075808590直方图中同一组内的频率是相等的。0.05一0.10一0.15一0.20一0.25一频率密度直方图中每一矩形的面积就表示该组的频率。当n无限大时，频率转化为概率，频率密度也转化为概率密度，阶梯形曲线也就转化为一条光滑的连续曲线，这时频率分布也就转化为概率分布了，此曲线为总体的概率密度曲线，曲线函数f(x)称为概率密度函数。对于一个连续型随机变量x，取值于区间[a,b]内的概率为函数f(x)从a到b的积分，即：badxxfbxaP)()(连续型随机变量的概率由概率分布密度函数所确定。ab1)()(dxxfxP概率密度函数f(x)曲线与x轴所围成的面积为1。三、大数定律几种常见的理论分布随机变量的概率分布(probabilitydistribution)离散型变量(非连续变量资料)连续型变量二项分布泊松分布正态分布变量第二节：几种常见的理论分布一、二项分布离散型随机变量的分布哺乳动物种子穗子生物个体雄性雌性发芽不发芽有芒无芒成活死亡对立事件一、二项分布的概率函数•二项总体:这种“非此即彼”的事件构成的整体•二项分布:二项总体的概率分布一、二项分布设有一随机试验,每次试验结果出现且只出现对立事件A与之一，这两种结果是互不相容的，在每次试验中出现A的概率是p(0p1)，则出现对立事件的概率是1-p=q，则称这一串重复的独立试验为n重贝努里试验，简称贝努里试验。AA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA在种子发芽试验中，设事件A为“种子发芽”，则A为“种子不发芽”。取4粒种子（n=4）来做试验，求有2粒种子发芽(x=2)的概率。在贝努里试验中，独立将此试验重复n次，求在n次试验中，一种结果A出现x次的概率P(x)是多少。在4次试验中，事件A发生2次的方式有以下种：24C又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按概率的加法法则，在4粒种子中正好有2粒种子发芽的概率为：P4(2)=P()+P()+…+P()=4321AAAA4321AAAA4321AAAA24224qpC一般，在n重贝努利试验中，事件A恰好发生x(0≤x≤n)次的概率为x=0,1,2…，nknkkknqpCkP)(x1qpqpCqpCniniinxnxxn公式称作二项分布概率函数,其中，p0，q0，p+q=1，x是一个离散型随机变量，取值为0，1，2，…，n。p(x)＝Cnxpxqn-xCnx＝n!x!(n-x)!n=试验次数（或样本含量）n=4x=在n次试验中事件A出现的次数x=2p=事件A发生的概率（每次试验是恒定的）p=0.91-p=事件A不发生的概率1-p=0.1p(x)=X的概率函数=P(X=x)P(2)则4粒种子有两粒发芽的概率为：P(x)=p2q4-2=6×0.92×0.12=0.048624C例：现已求出某事件发生的概率，若试验N次，则该事件发生的理论次数为：理论次数＝NP(x)二项分布的概率累积函数为：F(x)=ΣP(x)=1二项总体试验只有两个对立结果，记为A和A，出现概率分别为p和q=1-p。重复性：每次试验条件不变时，事件A出现为恒定概率p；独立性：任何一次试验中事件A的出现与其余各次试验结果无关。二项分布的两个条件：3:1若每次观察4株，共观察100次，问红花为0、1、2、3、4株的概率各为多少？（二）二项分布的计算例：豌豆F1为红花和白花，杂交后F2红花：白花＝3：1F1F2概率函数Cnxpxqn-xP(x)F(x)NP(x)P(0)C40p0q40.00390.00390.39P(1)C41p1q30.04690.05084.69P(2)C42p2q20.21090.261721.09P(3)C43p3q10.42190.683642.19P(4)C44p4q00.31641.00031.64合计1.000100表观察4株出现红花的概率分布表(p=0.75q=1-p=0.25)概率函数Cnxpxqn-xP(x)F(x)NP(x)P(0)C50p0q50.000010.000010.01P(1)C51p1q40.000450.000460.45P(2)C52p2q30.00810.008568.1P(3)C53p3q20.07290.0804672.9P(4)C54p4q10.328050.40951328.05P(5)C55p5q00.590491.0000590.49孵化小鸡的概率分布表(p=0.90q=0.10)例2：鸡蛋孵化率为0.9，每次选5个进行孵化，试求孵出小鸡的各种可能概率，若做1000次试验，其理论次数分别为多少？二项分布概率函数概率的计算样本容量的确定p(x)＝Cnxpx(1-p)n-x例：某小麦品种在田间出现自然变异的概率为0.0045，（1)调查100株，获得两株或两株以上变异植株的概率是多少？（2)期望有0.99的概率获得1株或1株以上的变异植株，至少应调查多少株？(1