中国人口控制与优化问题分析

中国人口预测与优化的问题分析中国人口预测与优化的问题分析中国人口预测与优化的问题分析中国人口预测与优化的问题分析摘要：用人口发展方程来预测中国未来人口的数量和结构，通过控制和调整平均每个妇女生育孩子数目来优化未来人口的数量和结构，使最大人口数量不超过15亿，最大老龄化指数不超过0.6。关键词：人口控制与优化，人口发展方程1引言：1.1背景人口是社会经济活动的主体,人口的发展变动趋势,对社会经济发展的影响关系极大,因此人口预测在社会经济实践中占有十分重要的地位。现阶段，中国在享受计划生育政策带来的红利的同时，依然面连着人口结构性失调的严重性问题。如：老龄化进程加速，出生性别比持续走高，乡村人口城镇化加快等等。为了全面落实科学发展观，实现低生育水平，提高人口素质，改善人口结构，引导合理人口分布，人口和经济社会资源环境的协调和可持续发展等目标，对中国未来的人口数量和结构进行全面预测则有着极其重大的作用。中国的人口会有怎样的发展趋势，会达到一个怎样的峰值，我们怎样控制某些变量来控制未来人口的发展，达到适应我国国情的理想峰值？一对夫妇只生一个孩子会不会导致老龄化问题严重？这些问题都摆在我们的面前。1.2基本假设1）人口生存环境为一般常态的自然和社会环境。2）无重大毁灭性自然灾害和疾病，无战争等暴烈活动，即扰动人口发展的因素只有人。3）长期人口预测的参数主要由政策决定。4）中短期内，总和生育率、死亡率和出生性别比不发生大的波动。5）生育模式在预测时间内保持不变，并且假设一胎只生一个孩子。6）忽略国境间的人口流动对人口统计的影响。1.3符号说明r:表示人的年龄；rm：表示人的最高年龄；t:表示时间；F(r,t)：时刻t年龄小于r的人口的分布函数；p(r,t)dr：表示时刻t年龄在区间[r,r+dr)内的人数；p(r,t)=rrrr∂∂∂∂∂∂∂∂FFFF：表示人口密度函数；初始密度函数p0(r)；μμμμ(r,t)：表示时刻t年龄r的人的死亡率；ββββ(t)：表示总和生育率或生育胎次；f(t)：表示婴儿出生率；h(r,t)：表示年龄为r女性的生育加权因子，称生育模式；N(t)：表示人口总数函数；R(t)：表示平均年龄函数；S(t)：表示平均寿命函数；w(t)：表示老龄化指数。2问题分析2.1数据来源数据来自学校图书馆电子资源导航站，其中提供了最近几年的中国人口统计基础数据，包括男女人口数以及性别比、初始人口等数据的图片格式，并且在《2003年中国人口统计年鉴》上获得了中国2003年的出生率、死亡率等数据。2.2分析思路：对于全国的人口增长控制来说，计划生育是一项很有效的政策，但是从长远考虑，计划生育能控制人口的快速增长，但是会进一步加大人口老龄化的程度。在两者之间，我们旨在寻找一种最优策略，能让我国在较长的一段时间里，人口得到控制的同时，实现人口结构的最优化，更利于适应和推动经济社会的全面发展。为了研究问题的方便，以及整个国家的一个总体性和封闭性，预测期间只考虑自然的出生与死亡，不计迁移等社会因素的影响，利用数学思想，构造人口发展模型和生育率和生育模式，来分析问题，从而得出结论。3理论分析3.1人口发展方程使得人口数量和结构变化的因素不外乎出生、死亡和迁移。为简化，预测期间只考虑自然的出生与死亡，不计迁移等社会因素的影响。为研究任意时刻不同年龄的人口数量，引入人口的分布函数和密度函数。时刻t年龄小于r的人口称为人口分布函数，记F(r,t)，其中t，（r≥0），均为连续变量，设F连续、可微，时刻t的人口总数记作N(t)，最高年龄记作rm，理论推导时设rm→∞，于是对非负非降函数F(r,t)有F(0,t)=0，F(rm,t)=N(t)(1)人口密度函数定义：p(r,t)=rrrr∂∂∂∂∂∂∂∂FFFF(2)其中，p(r,t)dr表示时刻t年龄在区间[r,r+dr)内的人数。记μ(r,t)为时刻t年龄r的人的死亡率，其含义是，μ(r,t)p(r,t)dr表示时刻t年龄在[r,r+dr)内单位时间死亡的人数。为得到p(r,t)满足的方程，考察时刻t年龄在[r,r+dr)内的人到时刻t+dt的情况。他们中活着的那一部分人的年龄变为[r+dr1,r+dr+dr1)，这里dr1=dt。而在dt这段时间内死亡的人数为μ(r,t)p(r,t)drdt。于是p(r,t)dr-p(r+dr1,t+dt)dr=μ(r,t)p(r,t)drdt(3)变为：[p(r+dr1,t+dt)-p(r,t+dt)]+[p(r,t+dt)-p(r,t)drdt=-μ(r,t)p(r,t)drdtdr1=dt可得：)))),,,,(((()))),,,,((((ttttppppppppttttrrrrppppttttrrrrrrrrµµµµ−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂++++∂∂∂∂∂∂∂∂(4)即人口密度函数p(r,t)的一阶偏微方程，死亡率μ(r,t)为已知函数。方程（4）有两个定解条件：初始密度函数记为p(r,0)=p0(r)，是已知函数;单位时间出生的婴儿数记为p(0,t)=f(t),是婴儿出生率。故所得模型为：)))),,,,(((()))),,,,((((ttttppppppppttttrrrrppppttttrrrrrrrrµµµµ−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂++++∂∂∂∂∂∂∂∂p(r,0)=p0(r)t,r0(5)p(0,t)=f(t)∫∫∫∫====rrrrdsdsdsdsttttssssppppttttrrrrFFFF0000)))),,,,(((()))),,,,(((((6)方程(5)求解过程比较复杂，在这儿只给出一种特殊情况求解。社会安定且不太长的时间内，死亡率大致与时间无关，故可近似的设μ(r,t)=μ(r)，可得(5)的解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧∫∫∫∫−−−−−−−−≤≤≤≤≤≤≤≤∫∫∫∫−−−−−−−−−−−−====rrrrttttrrrrdsdsdsdssssseeeerrrrttttffffrrrrttttrrrrttttrrrrdsdsdsdssssseeeettttrrrrppppttttrrrr,,,,0000))))(((())))((((0000,,,,))))(((())))(((()))),,,,((((pppp0000µµµµµµµµ(7)这个解在Otr平面上有一个前线的解释：图中对应的对角线r=t将Otr面的第一象限分为两部分，tr区域内，p(r,t)完全有年龄为r-t的人口初始密度p0(r-t)和这些人的死亡率μ(s)(r-t≤st)决定；tr区域内，p(r,t)则由未来的生育状况f(t-r)和死亡率μ(s)(0≤sr)决定。3.2生育率和生育模式(5)或(7)中p0(r)和μ(r)可从人口统计数据中得到，μ(r,t)也可从μ(r,0)粗略得到。这样，为了预测和控制人口的发展状况，人们主要关注和可以用作控制手段的就是婴儿出生率f(t),以下对f(t)进一步分解：记女性性别比函数为k(r,t),即时刻t年龄在[r,r+dr)的女性人数为k(r,t)p(r,t)dr,将这些女性单位时间内平均美人的生育数记为b(r,t),设育龄区间为[r1,r2],则：∫∫∫∫====22221111)))),,,,(((()))),,,,(((()))),,,,(((())))((((ffffrrrrrrrrdrdrdrdrttttrrrrppppttttrrrrkkkkttttrrrrbbbbtttt(8)定义:b(r,t)=β(t)h(r,t)(9)于是∫∫∫∫====22221111)))),,,,(((())))((((rrrrrrrrdrdrdrdrttttrrrrbbbbttttββββ(11)∫∫∫∫====22221111)))),,,,(((()))),,,,(((()))),,,,(((())))(((())))((((ffffrrrrrrrrdrdrdrdrttttrrrrppppttttrrrrkkkkttttrrrrhhhhttttttttββββ(12)由(11)可以看出，β(t)的直接含义是时刻t单位时间内平均每个育龄女性的生育数。如果所有育龄女性在育龄期所及的时刻都保持这个生育数，那么β(t)也表示平均每个女性一生的总和生育数。所以β(t)称为总和生育率或生育胎次。从(9)(10)和b(r,t)的含义可以看出，h(r,t)是年龄为r女性的生育加权因子，称生育模式。在稳定环境下可以近似的认为与t无关，即h(r,t)=h(r)。h(r)表示了在那些年龄生育率高，那些年龄生育率低。右图给出了h(r)的示意图，表明r=rc附近生育率最高。人口统计资料可知当前实际的h(r,t)。理论分析时人们常采用的h(r)的一种形式是借用概率论中的Γ分布:111111111111,,,,))))(((())))(((())))((((1111rrrrrrrreeeerrrrrrrrrrrrhhhhrrrrrrrrΓΓΓΓ−−−−====−−−−−−−−−−−−ααααθθθθααααθθθθαααα(13)并取θ=2，α=n/2,此时有：rc=r1+n-2(14)可以看出，提高r1意味着晚婚，而增加n意味着晚育。这样，人口发展方程(5)和单位时间出生的婴儿数f(t)的表达式(12)，构成了我们的连续型人口模型。模型中死亡率函数μ(r,t)、性别比函数k(r,t)和初始密度函数p0(r)可以有人口统计资料直接得到，或在资料的基础上估计，而生育率β(t)和生育模式h(r,t)则是可以用于控制人口发展过程的两种手段，β(t)可以控制生育的多少，h(r,t)可以控制生育的早晚或疏密。在上面的模型分布函数F(r,t)固然是人口发展过程最完整的描述，但使用起来并不方便。下面定义一些人口指数的及它们与p(r,t)等数量之间的关系。1)人口总数N(t)∫=mrdrtrptN0),()(（15）2)平均年龄R(t)∫=mrdrtrrpTNtR0),()(1)(（16）3)平均寿命S(t)它表示时刻t出生的人不论活到什么时候，死亡率都是按时刻t的μ(r,t)计算，这些人的平均存活时间∫∞−∫=−tdrtrdetStrτµ0),()(（17）S(t)实际上是预估寿命。通常说目前平均寿命已达多少岁，是指今年出生婴儿的预估寿命，即S(0)。根据统计资料得到当前的死亡率μ(r,0)后就可以算出S(0).4)老龄化指数w(t)定义：)()()(tStRt=ω（18）显然，平均年龄R(t)越大w(t)越大；对于R(t)相同的两个国家或地区，平均寿命S(t)大的，表示健康水平高，一个人能工作的时间一生中占得比例越大，于是老龄化的指数w(t)较小。4实验步骤4.1参数的确定4.1.14.1.14.1.14.1.1初始密度函数初始密度函数初始密度函数初始密度函数pppp0000(r)(r)(r)(r)的确定的确定的确定的确定初始密度选择的是2000年的人口数据。之所以没有选择最近的数据，是因为这样更方便对预测数据的检验。2000年人口数据表年龄0~45~910~1415~1920~2425~2930~3435~39人口数65016838551191061012918281899287127501125285年龄40~4445~4950~5455~5960~6465~6970~7475~79人口数8095994579765695412745790402102996818321年龄80~8485~8990~人口数960134761191注：人口数单位为注：人口数单位为注：人口数单位为注：人口数单位为（千人）（千人）（千人）（千人）4.1.24.1.24.1.24.1.2死亡率函数死亡率函数死亡率函数死亡率函数μμμμ(r,t)(r,t)(r,t)(r,t)的确定的确定的确定的确定在社会和平，不出现大的瘟疫等突发情况下，可认为人口的死亡率基本不变。我们分别对1998--2003年