高数下期末考试试题和答案解析

WORD文档可编辑技术资料专业分享2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共3页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中．1．已知a与b都是非零向量，且满足abab，则必有（）.(A)0ab(B)0ab(C)0ab(D)0ab2.极限2222001lim()sinxyxyxy().(A)0(B)1(C)2(D)不存在3．下列函数中，dff的是().（A）(,)fxyxy（B）00(,),fxyxycc为实数（C）22(,)fxyxy（D）(,)exyfxy4．函数(,)(3)fxyxyxy，原点(0,0)是(,)fxy的().（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点（C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点5．设平面区域22:(1)(1)2Dxy，若1d4DxyI，2d4DxyI，33d4DxyI，则有（）.（A）123III（B）123III（C）213III（D）312III6．设椭圆L：13422yx的周长为l，则22(34)dLxys（）.(A)l(B)l3(C)l4(D)l127．设级数1nna为交错级数，0()nan，则（）.(A)该级数收敛(B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8.下列四个命题中，正确的命题是（）.（A）若级数1nna发散，则级数21nna也发散（B）若级数21nna发散，则级数1nna也发散（C）若级数21nna收敛，则级数1nna也收敛（D）若级数1||nna收敛，则级数21nna也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030xyzxyza与z轴相交，则常数a为.2．设(,)ln(),yfxyxx则(1,0)yf___________.3．函数(,)fxyxy在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为.4．设22:2Dxyx，二重积分()dDxy=.5．设fx是连续函数，22{(,,)|09}xyzzxy，22()dfxyv在柱面坐标系下的三次积分为.6.幂级数11(1)!nnnxn的收敛域是.7.将函数21,0()1,0xfxxx以2为周期延拓后，其傅里叶级数在点x处收敛于.题号一二三四总分得分阅卷人得分题号12345678答案阅卷人得分三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………WORD文档可编辑技术资料专业分享三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设(,)xuxfxy，其中f有连续的一阶偏导数，求ux，uy．解：2．求曲面e3zzxy在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程．解：3.交换积分次序，并计算二次积分0sinddxyxyy．解：4．设是由曲面1,,xxyxyz及0z所围成的空间闭区域，求23dddIxyzxyz.解：5．求幂级数11nnnx的和函数()Sx，并求级数12nnn的和．解：阅卷人得分三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………WORD文档可编辑技术资料专业分享四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解2．计算积分22()dLxys，其中L为圆周22xyax(0a)．解：3．利用格林公式，计算曲线积分22()d(2)dLIxyxxxyy，其中L是由抛物线2yx和2xy所围成的区域D的正向边界曲线．4．计算dxS，为平面1zyx在第一卦限部分.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分ddddddxyyzzxS++蝌，其中为圆锥面222zxy介于平面0z及1z之间的部分的下侧.解：阅卷人得分三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………xO2yx2xyyDWORD文档可编辑技术资料专业分享2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．已知a与b都是非零向量，且满足abab，则必有（D）(A)0ab；(B)0ab；(C)0ab；(D)0ab．2.极限2222001lim()sinxyxyxy(A)(A)0；(B)1；(C)2；(D)不存在.3．下列函数中，dff的是(B)；（A）(,)fxyxy；（B）00(,),fxyxycc为实数；（C）22(,)fxyxy；（D）(,)exyfxy.4．函数(,)(3)fxyxyxy，原点(0,0)是(,)fxy的(B).（A）驻点与极值点；（B）驻点，非极值点；（C）极值点，非驻点；（D）非驻点，非极值点.5．设平面区域D：22(1)(1)2xy，若1d4DxyI，2d4DxyI，33d4DxyI，则有（A）（A）123III；（B）123III；（C）213III；（D）312III．6．设椭圆L：13422yx的周长为l，则22(34)dLxys（D）(A)l；(B)l3；(C)l4；(D)l12．7．设级数1nna为交错级数，0()nan，则（C）(A)该级数收敛；(B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)该级数绝对收敛．8.下列四个命题中，正确的命题是（D）（A）若级数1nna发散，则级数21nna也发散；（B）若级数21nna发散，则级数1nna也发散；（C）若级数21nna收敛，则级数1nna也收敛；（D）若级数1||nna收敛，则级数21nna也收敛．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030xyzxyza与z轴相交，则常数a为3。2．设(,)ln(),yfxyxx则(1,0)yf_______1_____3．函数(,)fxyxy在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为24．设22:2Dxyx，二重积分()dDxy=．5．设fx是连续函数，22{(,,)|09}xyzzxy，22()dfxyv在柱面坐标系下的三次积分为22392000dd()dfz6.幂级数11(1)!nnnxn的收敛域是(,).7.函数21,0()1,0xfxxx，以2为周期延拓后，其傅里叶级数在点x处收敛于22.题号12345678答案DABBADCDWORD文档可编辑技术资料专业分享三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设(,)xuxfxy，其中f有连续的一阶偏导数，求ux，uy．解：12uxfxffxy………………4分222uxfyy.………………7分2．求曲面3zezxy在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程．解：令,,e3zFxyzzxy，………………2分(,,)(,,e1)zxyzFFFyxn，(2,1,0)(1,2,2)n，………………4分所以在点(2,1,0)处的切平面方程为(2)2(1)20xyz，即2240xyz；………………6分法线方程为21122xyz.………………7分3.交换积分次序，并计算二次积分0sinddxyxyy；解：0sinddxyxyy=00sinddyyyxy………………4分=0sind2yy………………7分4．设是由曲面1,,xxyxyz及0z所围成的空间区域，求23dddIxyzxyz解：注意到曲面zxy经过x轴、y轴，………………2分={(,,):0,0,01}xyzzxyyxx………………4分故12323000ddddddxxyIxyzxyzxyxyzz=3641．………………7分5．求幂级数11nnnx的和函数()Sx，并求级数12nnn的和．解：11()nnSxnx，(0)1S，由已知的马克劳林展式：11,||11nnxxx，………………2分有11()()(1)1nnSxxx=21(1)x，||1x，………………5分12nnn=11122nnn=11()22S=2………………7分四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解设两个直角边的边长分别为x，y，则221xy，周长1Cxy，需求1Cxy在约束条件221xy下的极值问题．………………2分设拉格朗日函数22(,,)1(1)Lxyxyxy，………………4分令22120,120,1,xyFxFyxy解方程组得22xy为唯一驻点，………………6分又最大周长一定存在，故当22xy时有最大周长.………………7分2．计算积分22()dLxys，其中L为圆周22xyax(0a)．解：L的极坐标方程为cosa，22；………………2分则22d()ddsa，………………4分所以3222322222()ddcosd2Laxysaa．………………7分或解：L的形心(,)(,0)2axy，L的周长a，22()dLxys=dLaxs=axa=32a3．利用格林公式，计算曲线积分22()d(2)dLIxyxxxyy，其中L是由抛物线2yx和2xy所围成的区域D的正向边界曲线．解：22()d(2)dLIxyxxxyyDdxdy………………3分210ddxxxy………………5分13………………7分4．计算dxS，为平面1zyx在第一卦限部分.解：在xoy面上的投影区域为)0,0(1:yxyxDxy，………………2分xO2yx2xyyDWORD文档可编辑技术资料专业分享又,1,1,1:yzxzyxz故dxdydS3，………………4分所以11003336xyxDxdSxdxdydxxdy.………………7分或解：由对称性，113()336xdSxyzdSdS5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分ddddddxyyzzxS++蝌，其中为锥面222zxy介于平面0z及1z之间的部分的下侧。解：补曲面22:1,1Dxyz（取上侧），………………2分由高斯公式知ddddddDxyyzzxS+++蝌＝0，………………4分故ddddddxyyzzxS++蝌＝ddddddDxyyzzx-++蝌＝22{1}xydxdy=………………7分