【南师附中】2018-2019学年第二学期高一数学期中试卷及答案

南京师大附中2018-2019学年度第2学期高一年级期中考试数学试卷一、单选题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把答案写在答．卷纸相应．．．．位置上．．．）1.sincos1212的值为（）.A．14B.34C.12D.1【答案】A；【解析】原式11sin264==故选A．2.在正方体1111ABCDABCD−中，直线BD与11AC的位置关系是（）.A.平行B.相交C.异面但不垂直D.异面且垂直【答案】D；【解析】在正方体中11//BDBD所以两直线异面垂直故选D.3.在ABC中，角,,ABC所对边的长分别为,,abc，若2coscbA=，则ABC的形状一定是（）.A．等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】B；【解析】利用正弦定理可得sin2sincosCBA=利用CAB=−−可得()sin2sincosABBA+=即()sin0AB−=，AB=故选B.4.已知三条直线,,lmn，三个平面,,，下列四个推理正确的是（）.A.,//⊥⊥B.//,////mlmlC.,//mnmn⊥⊥D.//,////mnmn【答案】C；【解析】A,可能相交；Bl可能在面内D两直线可能相交，异面故选C．5.若,为锐角，且满足()45cos,cos513=+=，则sin的值为（）.A.1665B.3365C.5665D.6365【答案】B【解析】因为,为锐角所以()312sin,sin513=+=所以()33sinsin65=+−=故选D6.在ABC中，角,,ABC所对边的长分别为,,abc，若ABC的面积为S，且()22Sabc+=+，则cosA的值为（）A.45B.45−C.1517D.1517−【答案】D【解析】根据1sin2SbcA=可得2221sin22cos22bcAbcabcbcAbc=+−+=+即sin4cos4AA=+解得15cos17A=−故选D7.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，ABC是等腰三角形，1,2,3BABCACCC===，D是AC的中点，点F在侧棱1AA上，若要使1CF⊥平面BDF，则1AFFA的值为（）A.1B.12或2C.22或2D.13或3【答案】B；C1B1A1FDBCA【解析】要使1CF⊥平面BDF只需1CFDF⊥在面11AACC内，F为1AA三等分点时11DAFFAC即112AFFA=或2故选B．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案写在答卷纸相应位置上．．．．．．．．）8.ABC中，已知5,7,60acC===，则b=．【答案】8；【解析】2222coscbaabC=+−，即249255bb=+−解得8b=．9.若()tan2+=，则tan2的值为．【答案】43−；【解析】依题可得tan2=22tan4tan21tan3==−−．10.直线,mn及平面,,有下列关系：①m=；②//mn；③//；④n=.把其中一些关系作为条件，另一些作为结论，组成一个正确的推理应是．【答案】①③④②；【解析】根据面面平行性质定理若两平面平行，第三个平面与这两个平面的交线互相平行可得结论．11.如图，已知四面体ABCD的棱长均为2，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为．【答案】36；【解析】取AD中点F，连接,EFCF因为//EFBD，所以异面直线CE与BD所成角为CEF，由于3,1CECFEF===ECABD所以3cos6CEF=．12.在ABC中，已知sin9sinsinABC=，cos9coscosABC=，则tanA的值为．【答案】10；【解析】两式做差可得()cossin9cos9cosAABCA−=+=−，所以tan10A=．13.若sin3cos1xxm++在02x上有解，则实数m的最小值为．【答案】2；【解析】sin3cos12sin13xxx++=++，02x时2x=时有最小值2所以m的最小值为2．14.已知实数0a，若函数()()sincossincosfxaxxxxa=+−−()xR的最大值为92，则a的值为．【答案】525+；【解析】令sincos,2,2txxt=+−，则函数可化为2211222ttyataata−=−−=−++−，又因为对称轴为ta=，①2a时，2t=时最大，即()192122a−−=解得()521a=+；②02a时，ta=时最大，即219222aa−+=解得4a=或2−，均不符；综上，525a=+．15.在ABC中，角,,ABC所对边的长分别为,,abc，若ABC是锐角三角形，且2coscaBa=+，则()sinsinsinBAAB−的取值范围是．【答案】231,3；【解析】结合正弦定理可得sin2sincossinCABA=+因为CAB=−−所以()sin2sincossinABABA+=+，所以()sinsinBAA−=则()sin1sinsinsinBAABB−=因为,0,2AB所以,22BA−−所以BAA−=，即2BA=又因为322CABB=−−=−所以32B，3sin,12B所以()sin1231,sinsinsin3BAABB−=．三、解答题（本大题共5小题，共计75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）16.（本小题满分14分）已知函数()()22sincos23sin3,fxxxxx=++−R．⑴若()0fx=，且,2x，求x的值；⑵求函数()fx的单调增区间．【答案】⑴34；⑵5,,1212kkk−++Z．【解析】⑴()1sin23cos212sin23fxxxx=+−=+−令()0fx=，即1sin232x−=−因为,2x所以34x=；⑵22,2,322xkkk−−++Z时，函数单调递增即函数单调递增区间为5,,1212kkk−++Z．17.（本小题满分14分）如图，在正方体1111ABCDABCD−．⑴求证：//AB平面11ABCD；⑵求直线1AB和平面11ABCD所成的角．【答案】⑴证明见解析；⑵6．【解析】⑴因为1111ABCDABCD−为正方体，所以11AABB为正方形所以11//ABAB又因为11AB平面11ABCD，AB平面11ABCD所以//AB平面11ABCD；⑵连结1BC交1BC于O点，连结1OA，设正方体棱长为a正方体中11AB⊥平面11BBCC因为BO平面11BBCC所以11ABBO⊥又因为11BBCC为正方形所以1BOBC⊥又因为1111ABBCB=，111ABBC平面11ABCD所以BO⊥平面11ABCD所以1AO为直线1AB在平面11ABCD的射影所以1BAO为所求角又因为122,2ABaOBa==且1BOAO⊥所以11cos2BAO=B1C1D1A1CABDB1C1D1A1OCABD所以16BAO=．18.（本小题满分15分）如图，,,ABC三地有直道相通，其中ABBC、为步行道，AC为机动车道，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向63千米处，某校展开步行活动，从A地出发，经B地到达C地，中途不休息．⑴媒体转播车从A出发，沿AC行至点P处，此时45ABP=，求PB的距离；⑵媒体记者随队步行，媒体转播车从A地沿AC前往C，两者同时出发，步行的速度为6千米/小时，为配合转播，转播车的速度为12千米/小时．记者和转播车通过专用对讲机保持联系，转播车开到C地后原地等待，直到记者到达C地．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，求他们通过对讲机能保持联系的总时长．【答案】⑴9236−千米；⑵332+小时.【解析】⑴因为6,63ABBCABBC==⊥所以60A=所以sinsinPBABAAPB=所以6sin609236sin75PB==−⑵设记者步行了t小时①01t时，记者在AB上记为M点，转播车在AC上，记为N点在AMN中，6,12AMtANt==22222cos108MNAMANAMANAt=+−=令281MN解得302t时长为32小时；②113t+时，记者在BC上记为M点，转播车位于C点()61BMt=−，6366CMt=+−令9CM解得231132t−+北CBAP时长为32小时所以总时长为332+小时．19.（本小题满分16分）如图①，已知直角梯形ABCD中，//ABCD，ABAC⊥，2AB=，1BC=，4CD=，过A作AECD⊥，垂足为E，现将ADE沿AE折叠，使得DEEC⊥，如图②.⑴求证：BCDE⊥；⑵若,FG分别为,AEDB的中点．（I）求证：//FG平面DCE；（II）求证：平面DBF⊥平面DBC图①图②【答案】⑴证明见解析；⑵（I）证明见解析；（II）证明见解析．【解析】⑴因为,,,,DEAEDECEAECEEAECE⊥⊥=平面ABCE所以DE⊥平面ABCE又因为BC平面ABCE；所以BCDE⊥⑵（I）取DC中点H，连结,GHEH因为,GH为,DBDC的中点EDACBGCBEADF所以1//2GHBC又因为F为AE中点所以1//2EFBC所以//GHEF所以GHEF为平行四边形所以//FGEH又因为EH平面DEC，FG平面DEC所以//FG平面DCE（II）因为,,,,BCDEBCCEDECEEDECE⊥⊥=平面DEC所以BC⊥平面DEC又因为EH平面DEC所以BCEH⊥因为//FGEH所以BCFG⊥又因为2,DEECDEEC==⊥，H为DC中点所以EHDC⊥又因为//FGEH所以DCFG⊥又因为,,BCDCCBCDC=平面DCB所以FG⊥平面DCB又因为FG平面DBF所以平面DBF⊥平面DBC．20.（本小题满分16分）在ABC中，角,,ABC所对边的长分别为,,abc，且abc．⑴若abc为连续正整数，求cosB的最大值；⑵若2bac=+，6ac，且2CA−=，求ABC周长的最小值．【答案】⑴1116；⑵37．【解析】⑴()()()()()22222222211213cos221122221bbbacbbBacbbbb−++−+−+====++−−−所以cosB随着b的增大而减小又因为11bbb+−+所以2b，即3b所以3b=时cosB最大，为1116；⑵结合正弦定理可得2sinsinsinsinsinsincos2BACAAAA=+=++=+又因为22BCAA=−−=−所以2cos2sincosAAA=+所以1cossin2AA−=又因为ABC，即222AAA−+所以06A所以71sin4A−=，71cos4A+=，3cossin24BA==又因为()22222223cos1222acbacacbbBacacac+−−+−===−所以273212bac=，所以7b周长为337abcb++=.