双曲线及其标准方程完整版

2.3.1双曲线及其标准方程1.椭圆的定义是怎样的？和等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的1F2F0,c0,cXYOyxM,2.引入问题：差等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的新课引入|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0)①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B)，由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a上面两条合起来叫做双曲线同学们：下面观看双曲线形成动画演示①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.（1）2a2c；oF2F1M平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.（2）2a0；双曲线定义思考：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a2c,则轨迹是什么？说明（3）若2a=0,则轨迹是什么？||MF1|-|MF2||=2a(1)两条射线(2)不表示任何轨迹(3)线段F1F2的垂直平分线F2F1MxOy求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程1.建系.以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系2.设点．设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1|-|MF2|=±2a4.化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0,0(12222babyax此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系时,焦点在y轴上呢?看前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上22,yx2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？问题定义方程焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中,a,b,c之间的关系同椭圆中a,b,c之间的关系相同．()(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()××小试牛刀2．双曲线方程为x2－y22＝1，则它的右焦点坐标为()A．(22，0)B．(52，0)C．(62，0)D．(3，0)D3．双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2(－3,0)，2b＝4，则双曲线的标准方程是()A.x25－y24＝1B.y25－x24＝1C.x23－y22＝1D.x29－y216＝14．设双曲线x216－y29＝1的右支上点P到左焦点F1的距离是15，则P到右焦点F2的距离是________．A7据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)两个焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6；(2)a＝4，经过点A(1，－4103)．(链接教材P54例1)[解](1)因为双曲线的焦点在x轴上，设它的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．因为2a＝6,2c＝10，所以a＝3，c＝5，所以b2＝52－32＝16.因此，双曲线的标准方程为x29－y216＝1.(2)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为x216－y2b2＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为y216－x2b2＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，所以所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.方法归纳求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，(先定位再定量）然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点分别为F1(－10,0)，F2(10,0)，且经过点(35，－4)；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．解：(1)由题设知双曲线的焦点在x轴上，且c＝10.所以可设它的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．从而将双曲线的标准方程化为x2100－b2－y2b2＝1，将点(35，－4)代入并化简整理，得b4－39b2－1600＝0，解得b2＝64或b2＝－25(舍去)，故所求双曲线的标准方程为x236－y264＝1.变式训练(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴9m＋0＝1，36m＋9n＝1，解得m＝19，n＝－13.故所求双曲线的标准方程为x29－y23＝1.曲线x2－y212＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，求△PF1F2的面积．[解]已知得2a＝2，又由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2，∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝213，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝62＋42－522×6×4＝0，∴三角形F1PF2为直角三角形．S△PF1F2＝12×6×4＝12.变式训练2.设双曲线x24－y29＝1，F1、F2是其两个焦点，点M在双曲线上．(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？解：(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝13，设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)．由双曲线定义得r1－r2＝2a＝4，两边平方得r21＋r22－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，即4S△F1MF2＝52－16，∴S△F1MF2＝9.(2)若∠F1MF2＝60°，在△F1MF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cos60°，|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，∴r1r2＝36，则S△F1MF2＝12r1r2sin60°＝93.方法归纳双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件||PF1|－|PF2||＝2a(02a|F1F2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用．课后作业作业:课本第60页1、2、3、作业：练习册第66页1、2、此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！