任务5--基尔霍夫定律及其应用

任务5基尔霍夫定律及其应用学习目标：1．理解基尔霍夫定律。2．能应用KCL、KVL列出电路方程。1、基尔霍夫定律基尔霍夫定律是电路分析与计算中的重要定律，它包括基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）。为了能更好的了解基尔霍夫定律，在此之前先要学习支路、节点、回路、网孔等几个有关的电路名词，这几个名词的结合统称为集总参数。在一个电路中，若这几个参数都存在，那么这个电路则称之为集总参数电路。（1）什么是支路？由多个电路元件或单个电路元件构成电路的一个分支，并且流经的是同一个电流分支，这样的每一个分支称为支路，如图1.1-14所示的电路中，abc、adc、ac为三条支路。其中abc、adc支路包含电源，称为有源支路；ac支路无电源称为无源支路。（2）什么是节点？由三条或三条以上支路相连接的公共接点称为节点，在图1.1-14中，a、c就是节点，b、d不是节点。（3）什么是回路？电路中由支路构成的任一闭合路径环路称为回路，在图1.1-14中abcda、abca、adca都是回路。（4）什么是网孔？电路中，内部不含任何支路的回路称网孔。在图1.1-14中，abca、adca都是网孔，dabcd就不是网孔。这里我们要知道网孔一定是回路，但回路不一定是网孔。理解了以上几个概念，对学习基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）就较为容易了。图1.1-14电流支路图1.1-15节点电流O图1.1-16例5-12题图2、基尔霍夫电流定律（KCL）基尔霍夫电流定律，简称KCL。它是指任意时刻，流入电路中任一节点的电流之和恒等于流出该节点的电流之和。比如图2.1-15中的节点O，在图示各电流的参考方向下，依KCL得出节点电流方程（简写为KCL方程）：I1+I3+I5=I2+I4或I1+I3+I5—I2—I4=0如果把图中流入节点的电流取正值，那流出节点的电流则为负值。当然也可以做相反的规定，这里各电流前面的正、负号与电流本身参考方向的正、负无关。例1.1-8在图1.1-16所示电路中，已知R1=2，R2＝5，Us=10V，求各支路电流I1、I2、I3。解：首先设定各支路电流的参考方向如图中所示。由于Uab＝Us＝10V，根据欧姆定律，得：I1＝1UabR＝102＝5AI2＝—2UabR＝—105＝—2A对节点a列方程，有：一I1+I2+I3＝0，I3＝I1一I2＝5一(一2)＝7A。3、基尔霍夫电压定律（KVL）基尔霍夫电压定律简称KVL，是指在任意时刻沿电路中任意闭和回路内各段电压的代数和恒为零。比如图1.1-17所示的各电压关系为Ul+U2－U3一U4+U5＝0，简写为U0，该方程称为回路电压方程，简称为KVL方程。在列写KVL方程时，首先应设定一个绕行方向，凡电压的参考方向与绕行方向一致的，则该电压前取“+”号，否则取“一”号，比如图中设定绕行方向为顺时针方向，才能得出Ul+U2－U3一U4+U5＝0的电压方程。图1.1-17基尔霍夫电压定律分析图图1.1-18例2－11题图基尔霍夫电压定律实际上体现的是电路中两点间的电压大小与路径无关，只要参考方向取定即可得出其回路方程。比如在图1.1-17中，如果按abcd方向计算ad间电压，有Uad＝U1＋U2－U3，如果按aed方向计算，有Uad＝－U5＋U4两者结果应当相等，故有：Ul+U2一U3一U4+U5=0与前面的结果完全相同。我们在应用KVL分析电路时，回路的绕行方向是任意设定的，一经设定，回路中各电压前的正、负号也将随之确定，凡与绕行方向一致者取正号，不一致者取负号。应当注意，这与电压本身由参考极性造成的正负无关。例1.1-9如图1.1-18所示的电路中，相关数据已标出，求UR4、I2、I3、R4及US的值。解:设左边网孔绕行方向为顺时针方向，依KVL，有：—US＋2I1＋10=0代入数值后得：US＝2×4＋10＝18VI3＝63＝2V对于节点a，依KCL就有：I2＝I1—I3=4－2＝2A则：R2＝210I＝102＝5对右边网孔设定顺时针方向为绕行方向，依KVL，有：—10＋6＋UR4＝0则：UR4＝10－6＝4VR4＝43RUI＝42＝2五、电阻电路的分析方法电阻电路的分析方法，是将给定的一个电路的组成结构、元件参数及其独立的供电电源条件下，依据电路中元件的特性约束与连接方式的约束，求出电路中的支路电流、电压或其它变量的方法。其分析方法可分为支路电流法、网孔电流法和节点电位法等，现分别予以介绍。1、支路电流法支路电流法的含义是指在进行电路分析时，直接以支路电流作为变量，分别对节点和网孔列写KCL方程和KVL方程而进行求解的方法称为支路电流法。因为组成电路的基石是支路，支路电流与支路电压是电路分析与求解的基本对象。下面对图1.1-19所示的复杂电路进行分析。假定各电阻和电源电压值均为已知，求各支路电流。图1.1-19线性电阻电路支路电流从电路可看出，共有四个节点、六条支路、三个网孔、七个回路，其中六条支路电流的参考方向如图中所示，根据KCL可对四个节点列出四个KCL方程：节点a：I1＋I2—I5＝0；节点b：I3＋I6＝I2；节点c：I4＋I5＝I6；节点d：—I1—I2—I3＝0由这几个方程很容易发现，任何一个方程都可以由其余三个方程相加并改变符号后得到，因而它们并不是相互独立的，因此我们得出一个结论：对具有四个节点的电路只能列出三个独立的KCL方程，则只能有三个独立节点，余下的一个节点称为非独立节点。比如选图中节点a、b、c为独立节点，则d为非独立节点。推而广之，对n个节点的电路，只能有（n一1）个独立节点，也只能列出（n－1）个独立的KCL方程。当然我们要求解出六个支路电流，显然三个方程是不行的，还须再补充三个独立方程，那就是KVL方程。2、网孔电流法网孔是指不含有任何支路的回路，由前面的支路分析图1.1-19中，既然要确保补充方程的独立性，因此每次选择的回路中至少应包含一条以前没有被用过的新支路。在此前提下，选用哪些回路是任意的。实践证明：对于列写KVL方程，独立方程的个数正好等于网孔的个数。据此，只要对三个网孔列出KVL方程即可，按顺时针方向绕行并结合欧姆定律可得：网孔I：R1I1＋R5I5—R4I4＝US1网孔Ⅱ：一R2I2—R5I5一R6I6＝一Usl网孔Ⅲ：—R3I3+R4I4+R6I6＝－US3除此三个方程以外的其它KVL方程，不难证实不再是独立的，比如选取最大回路列写KVL方程，则有：R1I1—R2I2—R3I3＝US1—US2—US3该方程是由网孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三项相加而得到，因此，它不是独立的。同样，如果再取别的回路，也不会得到其它独立KVL方程。取节点方程中的任意三项与网孔方程联立求解，即可得出六个支路电流。综上所述，对支路电流为待求量的任何线性电路，运用KCL和KVL，总能列写出足够的独立方程，从而可求出各支路电流，首先用支路电流法来分析，再看网孔分析。例1.1-10求图1.1-20所示电路中的各支路电流。图1.1-20例1.1-10题图解：（1）假定各支路电流方向如图中所示。（2）由于该电路只有两个节点，故只能列一个KCL独立方程，选节点b为参考点，则节点a：I1＋I2—I3＝0（3）按顺时针方向列出两个网孔的KVL独立方程：2I1—4I2＝15—10＝54I2＋12I3＝10（4）联立求解上面三个方程，得：I1＝1.5AI2＝—0.5AI3＝1A其中I2为负值，说明假定方向与实际方向相反。（5）为验证所求正确与否，可选取一个未曾用过的回路列KVL方程，把求得的电流值代入方程中，若方程两边相等，说明所求值正确。取最大回路，则有：2I1+12I3＝15将I1和I3数值代入，得：左边=2×1.5＋12×1＝3+12＝15＝右边。说明求出的值正确无误，通过对支路电流法分析虽然可以求解复杂电路，列写方程也很容易，但当电路的支路较多时需要求解的方程也很多，明显不容易计算。因此，有必要寻找更简单的方程来求解支路电流的方法，这种方法就是网孔电流法。实际上，在网孔中流动的电流称为网孔电流，直接以设想的网孔电流为变量，对各网孔列写KVL方程对电路进行求解的方法称为网孔电流法，如图1.1-21（a）所示。图1.1-21网孔电流法分析电路对于图1.1-21（b）所示电路，先对每个网孔列写KVL方程。在列方程前，首先应设定各网孔电流的参考方向。为了使所列方程有规律且容易写出，通常设定所有网孔电流的参考方向都是顺时针（或都是逆时针），并且回路的绕行方向取成与网孔电流的参考方向一致，于是可得：网孔I：（R1+R2+R3）I1—R2IⅡ一R3IⅢ＝USl一US2—US3网孔Ⅱ：一R2I1+（R2+R4+R6）IⅡ一R6IⅢ＝Us2一US4网孔Ⅲ：－R3I1一R6IⅡ+（R3+R5+R6）IⅢ＝US3—US5以上各方程称为图1.1-21中各网孔的电压方程，简称网孔方程。显然，网孔电流的个数以及所列KVI方程的个数等于网孔数。求解式以上即可得出各网孔电流I1、I2、I3，剩下的问题就是如何求各支路电流了。设各支路电流的参考方向如图1.1-21（b）所示。对照1.1-21（a）和1.1-21(b)中各网孔电流与各支路电流之间的关系，可以看出，所有支路电流都可以由网孔电流来表示，即：I1＝I1，I2＝IⅡ—I1，I3＝IⅢ—I1，I4＝IⅡ，I5＝—IⅢ，I6＝IⅡ—IⅢ。由此可见，只要能求出各网孔电流，就可进一步求出各支路电流。提示：由于节点电位法不在考试大纲范围内，这里不做介绍。