第9章-梁的弯曲变形与刚度计算

§9–2梁的挠曲线近似微分方程§9-3积分法计算梁的变形§9-5梁的刚度计算及提高梁刚度的措施第9章梁的弯曲变形与刚度计算§9-1工程中的弯曲变形问题§9-6简单超静定梁§9-7梁的弯曲应变能§9-4叠加法计算梁的变形弯曲构件除了要满足强度条件外,还需满足刚度条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。9.1工程中的弯曲变形问题9.1工程实际中的弯曲变形问题7-19.1工程实际中的弯曲变形问题度量梁变形后横截面位移的两个基本量:挠度和转角挠度(w):横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度(Deflection)。yxABCw(挠度)C1转角():横截面绕中性轴(即Z轴)转过的角度（或角位移）,称为该截面的转角(Sloperotationangle)。(转角)取梁的左端点为坐标原点,梁变形前的轴线为x轴,横截面的铅垂对称轴为y轴,xy平面为纵向对称平面。9.1工程实际中的弯曲变形问题F挠度和转角符号的规定：挠度：在图示坐标系中,向上为正,向下为负。转角：逆时针转向为正,顺时针转向为负。yxABCw(挠度)C1(转角)9.1工程实际中的弯曲变形问题F必须注意:梁轴线弯曲成曲线后,在x轴方向也有线位移。9.1工程实际中的弯曲变形问题yxABCw(挠度)C1(转角)F但在小变形情况下,梁的挠度远小于跨长,横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量,可略去不计。挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程:式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度。()wfxyxABCw(挠度)C1(转角)挠曲线9.1工程实际中的弯曲变形问题F挠度与转角的关系：tan()wfxyxABCw(挠度)C1(转角)9.1工程实际中的弯曲变形问题F9.2挠曲线的近似微分方程1MkEI1()()()MxkxxEI横力弯曲时,M和都是x的函数。略去剪力对梁的位移的影响,则纯弯曲时曲率与弯矩的关系为由几何关系知,平面曲线的曲率可写作3221()()(1)wMxxEIw曲线向上凸时：w’’0,M＜0因此,M与w’’的正负号相同。MMM＜0w’’0OxyM＞0w’’0MM曲线向下凸时：w’’0,M＞0322()(1)wMxEIwOxy322()(1)wMxEIw由于挠曲线是一条非常平坦的曲线,w'2远比1小,可以略去不计,于是上式可写成()MxwEI322()(1)wMxEIw此式称为梁的挠曲线近似微分方程。(Approximatelydifferentialequationofthedeflectioncurve)称为近似的原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了w'2项。再积分一次,得挠度方程上式积分一次得转角方程若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量,上式可改写成()EIwMx1()dEIwMxxC12()ddEIwMxxxCxC式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边界条件和变形的连续性条件来确定。9.3积分法求弯曲变形简支梁悬臂梁边界条件(boundarycondition)ABwA＝0wB＝0ABwA＝0A＝0ABAB连续性条件(Continuitycondition)在挠曲线的任一点上,有唯一的挠度和转角。如:不可能不可能CCwwCCc例1：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角max。ABlxxy解：以梁左端A为原点,取直角坐标系,令x轴向右,y轴向上为正。(1)列弯矩方程()()MxFlxFlFxF(2)列挠曲线近似微分方程并积分()EIwMxFlFx21(a)2FxEIwFlxC2312(b)26FlxFxEIwCxC(3)确定积分常数代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0ABlxxyF在x＝0处,w＝0在x＝0处,＝0()EIwMxFlFxABlxxyF22FlxFxwEIEI2326FlxFxwEIEI(4)建立转角方程和挠度方程将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b),得梁的转角方程和挠度方程分别为：(5)求最大转角和最大挠度自由端B处的转角和挠度绝对值最大。wmaxmax2max2xlFlEI3max3xlFlwwEI所得的挠度为负值,说明B点向下移动;转角为负值,说明横截面B沿顺时针转向转动。xlABqFAFB例2:图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角max。xy解:由对称性可知,梁的两个支反力为2ABqlFF梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为221()()(a)222qlqMxxqxlxx2()()(b)2qEIwMxlxx2()()(b)2qEIwMxlxx231()(c)223qlxxEIwC3412()(d)2612qlxxEIwCxC积分两次xlABqFAFBxy231()223qlxxEIwC3412()2612qlxxEIwCxC简支梁的边界条件是在x＝0处,w＝0在x＝l处,w＝0代入(c)、(d)式确定出积分常数20C3124qlC323(64)24qwllxxEI323(2)24qxwllxxEIxlABqFAFBxy323(64)24qwllxxEI323(2)24qxwllxxEIABqxyABwmaxl/23max24ABqlEI由对称性可知,在两端支座x＝0和x＝l处,转角的绝对值相等且都是最大值4max25|384lxqlwwEI在梁跨中点l/2处有最大挠度值例3：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角。xlABFabFAFBD解:求出梁的支反力为AFbFlBFaFl将梁分为I和II两段,其弯矩方程分别为1(0)AbMFxFxxal2()()bMFxFxaaxllIII梁段I(0xa)梁段II(axl)11bEIwMFxl两段梁的挠曲线方程分别为22()bEIwMFxFxal2112bxEIwFCl31116bxEIwFCxDl2222()22bxFxaEIwFCl33222()66bxFxaEIwFCxDl积分一次得转角方程再积分一次得挠曲线方程挠曲线方程注意：在对梁段II进行积分运算时,对含有(x-a)的弯矩项不要展开,而以(x-a)作为自变量进行积分,这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。D点的连续条件：在x=a处,1＝2,w1＝w2边界条件:在x=0处,w1＝0在x=l处,w2＝0代入方程可解得:021DD2212()6FbCClblxlABFabFAFBDIII梁段I(0xa)梁段II(axl)将积分常数代入得222111[()]23FbwlbxlEI2221[]6FbxwlbxlEI转角方程挠曲线方程2222221[()()]23FblwxaxlblEIb33222[()()]6FblwxaxlbxlEIb将x=0和x=l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当ab时,右支座处截面的转角绝对值为最大10()|6AxFablblEI2()|6BxlFablalEImax()6BFablalEIxlABFabFAFBDIII221(2)33lbaabx简支梁的最大挠度应在w'＝0处。研究第一段梁,令w'1＝0得1223max1()93xxFbww|lblEI当ab时,x1a,最大挠度确实在第一段梁中222111[()]023FbwlbxlEIxlABFabFAFBDIII在极端情况下,当b非常小,以致b2与l2项相比可以略去不计时1223max1()93xxFbww|lblEI221(2)33lbaabx由讨论1:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？xlABFabFAFBDIII则：当F从梁中点位置向B支座移动时，b值减小时，x从0.5L向0.577L趋近（F接近B点时）；此时最大挠度的位置离梁中点最远，梁中点挠度与最大挠度应该差距较大。22max0064293FblFblw.EIlEI梁中点C处的挠度为结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的。略去b2项,得2212|(34)48ClxFbwwlbEI220.062516CFblFblwEIEI223babxLaa22即但当b时有：x即x不在ＤＢ段，即在DB段无=0的点。讨论2:BD段上有无θ=0的点？'2222221()()023PbLwxaxLbLEIb2当时，w有最大值xlABFabFAFBDIII条件：由于梁的变形微小,梁变形后其跨长的改变可略去不计,且梁的材料在线弹性范围内工作,因而,梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。9.4按叠加原理计算梁的挠度和转角在这种情况下,梁在几项载荷(如集中力、集中力偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角,就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。此即为叠加原理。例1：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角A,B。BAqlMeC解：将梁上荷载分为两项简单的荷载。CCqCM24e538416MlqlEIEIAAqAM3e243MlqlEIEIBBqBM3e246MlqlEIEI例2:试利用叠加法,求图示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC。Bql/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解：该梁上荷载可视为正对称载荷与反称对载荷两种情况的叠加。(1)正对称载荷作用下4415(2)5384768CqlqlwEIEI(2)反对称荷载作用下在跨中C截面处,挠度wC2等于零。BACq/2q/220Cw(3)将相应的位移进行叠加,即得4125768CCCql（）例3用叠加法求梁中点处的挠度。设b＜l/2。l/2lABqbxdx解：将均布荷载看作许多微集中力dF组成2222ddw(34)48d(34)48CFxlxEIqxxlxEIdF=qdx2222203(34)()48482bCqqbwxlxdxlbEIEIdFC当b=l/2时,2422(/2)35[(/2)]482768CqlqlwllEIEI结果与例2一致.例4叠加法（逐段刚化法)抗弯刚度为EI，求B处的挠度与转角、C处的转角。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价PL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMw2PL1L2ABCMPL1L2ABCBCPL2w12122223BCPLLwLEI3213BPLwEI221212()3BBBPLLL21223CBPLLEI21212(23)6BBBPLLLEI212112033CCCPLLPLLEIEI1222BPLEI10Cmaxwwmax一、梁的刚度条件：、校核刚度：、设计载荷。maxmaxww其中[]称为许用转角；[w]称为许用挠度