几何体的外接球

几何体的外接球南昌高中数学教研室命题工作坊几何体外接球问题的是高考的高频考点，重点考查学生的空间想象能力，难点在于准确寻找外接球的球心。我们要抓住几何体外接球球心的本质特征：（1）外接球球心是任意两条直径的交点；（2）外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上；（3）外接球的球心在经过几何体任意一个平面的外心且与此平面垂直的垂线上。所以如何交出球心是关键，一般是先找几何体某一特征平面的外心，再作经过此外心的作特征平面的垂线，空间问题转化为平面问题，然后在平面上利用球的几何性质作图交出球心。下面结合实例的应用进行说明。1．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．2aB．273aC．2113aD．25a1．B【解析】∵三棱柱内接于球，且各棱都相等，则上下底面的截面圆的圆心连线过球心O，且12ONa，N为截面圆的圆心且为底面正三角形的中心，则有2333ANAEa，∴球半径2222712OAANONa，∴球的表面积为22743OAa．【点评】寻找直棱柱的外接球球心，只要找到直棱柱上、下底面的外心，两外心连线即与底面垂直，此线段中点即为外接球的球心．2．三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，2PAPBPC，PAPB，三棱锥PABC的外接球的表面积为________．2．12【解析】∵三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，2PAPBPC，∴PABPACPBC．∵PAPB，∴PAPC，PBPC．以,,PAPBPC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥PABC外接球．∵长方体的对角线长为32222222，∴球直径为32，半径3，因此，三棱锥PABC外接球的表面积是12)3(4422R．【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，补形构造正方体或长方体，通过补形将四点共球转化为八点共球．3．已知四面体PABC中，4PAPB，2PC，25AC，PB平面PAC，则四面体PABCD外接球的表面积为．3．36【解析】由4PA2PC，25AC，∴222PAPCAC，可得PAPC；又∵PB平面PAC，,PAPC⊂平面PAC，∴PBPA，PBPC，以,,PAPBPC为长、宽、高，作长方体如图所示：则该长方体的外接球就是四面体PABC的外接球，∵长方体的对角线长为2224426，∴长方体外接球的直径26R，得3R；因此，四面体PABC的外接球体积为36V．【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，等效于一个“墙角”，可将“墙角”补形构造正方体或长方体，通过补形将四点共球转化为八点共球，在长方体中确定直径解决外接问题．4．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC，则此三棱锥的体积为（）A．14B．24C．26D．2124．C【解析】根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为1O，则1OO平面ABC，延长1CO交球于点D，则SD平面ABC．由1233323CO，116133OO，得高12623SDOO，而ABC是边长为1的正三角形，则34ABCS，得1326343V26．【点评】外接球球心与几何体任意平面的外心连线垂直于该平面．5.已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在的平面互相垂直，3AB，3AC，23BCCDBD，则球O的体积为（）A．43B．433C．323D．365.C【解析】如图，由条件知ABC是以BC为直径的直角三角形，取BC的中点1O，知112rOABC3，又DBC为等边三角形，ABC所在的小圆面与平面DBC垂直，得1OD平面ABC，即球心O在1OD上，且13OD，设球半径为R，则222(3)(3)RR，可得2R，故球O的体积为3432233．【点评】如果三棱锥的面是直角三角形，直角三角形斜边中点到三角形各顶点距离相等，即为外心.6.已知在梯形ABCD中，CDAB//，ABAD，2AB，1CDAD，将梯形ABCD沿对角线AC折叠成三棱锥ABCD，当二面角BACD是直二面角时，三棱锥ABCD的外接球的体积为.6.43【解析】如图，由条件知ABC是以AB为直径的直角三角形，取AB的中点1O，知1112rOCAB，又1CDAD，取AC的中点E，则1222OEBC，22DE，又二面角BACD是直二面角，知12OED，所以12212OD，所以11OD111OCOAOB，即1O为三棱锥ABCD的外接球的的球心，1R，故三棱锥ABCD的外接球的体积为344133.7．在四面体SABC中，,2,ABBCABBC2SASC，6SB，则该四面体外接球的表面积是（）A．86B．6C．24D．67．D【解析】因为,2,ABBCABBC所以2ACSASB，设AC的中点为D，连接AD，O1BCDAOO3O2O2ACBSOO1则三角形SAC的外心1O为在线段AD上，且11333DOSD，又三角形ABC的外心为D，又,SDACBDAC，所以AC平面SDB，过D垂直于平面ABC的直线与过1O垂直于平面SAC的直线交于点O，则O为四面体外接球的球心，在三角形SDB中，由余弦定理得3cos3SDB，所以13sinsin()cos23ODOSDBSDB，所以1116tan6OOODODO，设外接圆半径为R，则2221132RSOOO，所以246SR.【点评】外接球球心在与棱AC垂直的的平面SBD中，然后在平面SBD中可以通过平面SAC的外心1O作垂线与过平面ABC的外心D并垂直平面ABC的垂线DF相交出外接球球心，也可以通过棱SB的中垂线与过平面ABC的外心D并垂直平面ABC的垂线DF相交出外接球球心．8．已知边长为23的菱形ABCD中，60BAD，沿对角线BD折成二面角ABDC为120的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）A．25B．26C．27D．288．D【解析】如图所示，设两三角形外心分别为23,OO,球心为O，1120AOC,故132,3OOOO，球的半径为22237OC，故球的表面积为28.【点评】外接球球心在与棱BD垂直的的平面1AOC中，使空间问题平面化．9．点S、A、B、C在半径为2的同一球面上，点S到平面ABC的距离为12，3ABBCCA，则点S与ABC中心的距离为（）A．3B．2C．1D．129．B【解析】设球心为O,ABC中心为1O，ABC外接圆半径3313r，依题意，1OO平面ABC，∴2211OORr．作21SOOO，垂足为2O，则1212OO，∴2O为1OO的中点，∴12SOSOR．【点评】几何体的外接球问题的作图有时可不画出球，直接在原图形上建立几何直观，避免复杂作图．10．在四面体SABC中，SA平面ABC，o120BAC，2SAAC，1AB，则该四面体的外接球的表面积为1040..7.11.33ABCD10．D【解析】如图所示，以A为原点建系，则13C(2,0,0),B(,,0)22，设球心为(1,,1)Oy，则OBOCR，即2223311()()122yy，解得23y，从而外接球表面积210404433SR【点评】外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上。利用坐标法建立空间直角坐标系，得外接球球心两条棱AC（x轴）、AS（z轴）的中垂面上，故可设球心坐标(1,,1)Oy，通过代数计算求解外接球半径，避免复杂作图与空间想象．