1–2-质点运动的描述

上页下页末页退出首页上页下页末页退出首页一、位置矢量和位移运动方程1．位置矢量kzjyixr大小：||rr222zyx方向：rxcosrycosrzcos1coscoscos222xyzP(x,y,z)γβαOr上页下页末页退出首页2．位移和路程xyzOABBrArrs位移：ABrrrΔ在直角坐标系中亦可写成kzzjyyixxrABABAB)()()(将由起始点A指向终点B的有向线段AB称为点A到点B的位移矢量，简称位移（displacement）。kΔzjΔyiΔx上页下页末页退出首页222zyxr位移的大小为：位移的方向余弦为rxαcosryβcosrzγcos路程（）:s质点实际运动轨迹的长度。上页下页末页退出首页位移与路程（B）一般情况,位移大小不等于路程。（D）位移是矢量,路程是标量。（C）什么情况？sr不改变方向的直线运动;当时。0tsr（A）P1P2两点间的路程是不唯一的,可以是或而位移是唯一的。rssxyzOABBrArrssr讨论上页下页末页退出首页3．运动方程ktzjtyitxtr)()()()()(txx)(tyy)(tzz分量式从中消去参数得轨迹方程0),,(zyxftxyzP(x,y,z)γβαOrxyzP(x,y,z)γβαOr如果轨迹是直线，则是直线运动；如果轨迹是曲线，则是曲线运动。上页下页末页退出首页二、速度1．平均速度(averagevelocity)xyzOABBrArrs)()(trttrr在时间内,质点从点A运动到点B,其位移为tt时间内,质点的平均速度trvktzjtyitxkjizyxvvv平均速度与同方向。rv上页下页末页退出首页平均速度大小222)()()(tztytxv平均速率也可定义为：tsv2．瞬时速度(InstantaneousVelocity)当时平均速度的极限值叫做瞬时速度，简称速度0ttrtrtddlim0vjiyxvvvjtyitxddddv上页下页末页退出首页rv0ttrr0t速度等于位矢对时间t的一阶导数。速度的时，平均速度或的极限时，位移趋于轨道的切线方向。方向就是当方向。当r所以，质点在任一时刻的速度方向总是和这个时刻质点所在处的轨道曲线相切，并指向运动方向。ktzjtyitxttt000limlimlimvkjizyxvvvtxxddvtyyddvtzzddv上页下页末页退出首页瞬时速率：速度的大小称为速率v222222ddddddtztytxzyxvvvvtstrddd|d|||vv0tsrd|d|因为时，，所以速率也可表示为1－3有人认为质点的瞬时速度是无穷短时间内的平均速度；瞬时速度为10m/s，表示质点在1s内走过10m。这些看法对吗？上页下页末页退出首页三、加速度xOyzABArBrAvBvBvAvv时间间隔：t速度增量：ABvvv平均加速度：tav瞬时加速度：220ddddlimtrttatvv质点在某时刻的加速度等于该时刻质点的速度对时间的一阶导数，或者是位矢对时间的二阶导数。上页下页末页退出首页在直角坐标系中kajaiaktzjtyitxktjtittazyxzyx222222ddddddddddddddvvvv)(txx)(tyy22yxr)(trrtrddv22ddtra1－4质点作平面运动，已知其运动方程的直角坐标分量为,。在计算质点的速度和加求出再由和求得结果，你认为这种做法速度的大小时，有人先由，对吗？如果不对，错在什么地方？上页下页末页退出首页1–5有人认为：由于加速度等于速度的变化率，。因此，在质点作直线运动时，加速度为正，必作加速运动；加速度为负时，必作减速运动。这些看法正确吗？tddva1–6质点作匀变速直线运动。设时，质点的位置，初速度。试推导出在中学学过的质点作匀变速直线运动的公式：at0vv20021attxvx)(20202xxavv上页下页末页退出首页1–7一个十字交叉路口，宽30.0m。当交通指示灯变为绿灯时，一辆小车从静止开始运动，并以2.00m/s2的加速度加速通过此交叉路口，如图1-5所示，求其所需的时间为多少？a=2.0m/s2x0=0v0=0x=30.0m上页下页末页退出首页jtitrπ2cos4π2sin5s25.0ts1t【例题1－1】已知质点的运动方程为求：（1）到时间内的位移和平均速度；（米）（2）质点在1s末的速度和加速度；（3）质点的轨道方程。s25.0ts1t解：（1）分别将和代入运动质点运动方程得ir51jr42s25.0ts1t到的位移为)m(4512jirrrΔ上页下页末页退出首页s25.0ts1t到时间内的平均速度为)1620(31250145ji.jitrvm/s（2）质点在任意时刻的速度为jtittrπ2sinπ8π2cosπ10ddvm/s1s末的速度为m/s10iv质点在任意时刻的加速度为222m/sπ2cosπ16π2sinπ20ddjtttiav上页下页末页退出首页1s末的加速度为22m/sπ16ja质点的运动方程为1452222yx上页下页末页退出首页【例题1－2】图1－6是牛头刨机构的示意图。求：（1）滑块B的运动规律；（2）滑块B的速度和加速度。hHωαθABOO′RC解：（1）选杆OB在OO′位置为起始位置，t图形几何关系可得，则由tRhtRRhRcossincossintan故滑块B的运动规律为设CB的长度为x，则有Hxtan，tRhtRHxcossin上页下页末页退出首页（2）滑块B的速度为2)cos()sin(ddtRhthRRHtx滑块B的加速度为)cos2()cos(sindd223222tRhhRtRhtRHtx上页下页末页退出首页四、法向加速度与切向加速度OAnenetete什么是“自然坐标系”？AB△vOCDEteneAvBvAvBv1v2v21vvvttatt2010limlimvv所谓自然坐标系是沿质点的运动轨道建立的坐标系。下面在自然坐标系中讨论质点运动的切向加速度和法向加速度。tat10nlimv上页下页末页退出首页A点的法向加速度的大小为tttattt0010nlimlim||lim||vvvtsstddddddvv2v曲率半径：dds矢量形式：n2neav法向加速度是描述速度方向变化的物理量。因此，法向加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。（有关曲率半径的计算见教材）上页下页末页退出首页tat20tlimvA点的切向加速度的大小为tttattddlimlim||020tvvv将上式用矢量形式表示出来有ttddetav总结：ttatt2010limlimvvn2neavttddetav上页下页末页退出首页n2neavttddetavttddetav圆周运动n2neRav（向心加速度）在自然坐标系中，加速度的大小可表示a2222t2ndd||taaaavv方向；tnarctanaaanata上页下页末页退出首页利用自然坐标,一切运动可以根据切向、法向加速度来分类：an=0at=0匀速直线运动an=0at0变速直线运动an0at=0匀速曲线运动an0at0变速曲线运动1－8质点在什么情况下作直线运动？在什么情况下作曲线运动？anata上页下页末页退出首页1－9作曲线运动的质点必定有加速度。那么，是否必定有切向加速度？速度大小不变的运动，是否加速度一定为零？例质点作半径为R的变速圆周运动的加速度大小为：（1）（2）（3）（4）tddvR2vRvv2tdd22)()dd(Rvv2t上页下页末页退出首页【例题1－3】一质点沿半径为R的圆周运动。质点所经过的弧长与时间的关系为,其中b、c是大于零的常量，求从t=0开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间。221ctbtStsddvctb解：质点任一时刻的速率为质点任一时刻的切向加速度和法向加速度和大小分别为ctaddtvRctbRa22n)(v上页下页末页退出首页cRctb2)(cbcRt从而解出从t=0开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间为由题给条件当切向加速度与法向加速度的大小相等时，有上页下页末页退出首页五、圆周运动的角量表示1．角坐标与角位移oyxBAs设t时刻质点在A点，t+⊿t时刻运动到B点（如图）。:角坐标:角位移2．角速度平均角速度：t瞬时角速度：ttttddlimlim00上页下页末页退出首页3．角加速度平均角加速度：t瞬时角加速度：220ddddlimtttt由此可见，角加速度等于角速度对时间的一阶导数或等于角坐标对时间的二阶导数。在国际单位制中，角坐标、角位移的单位为弧度（rad），角速度的单位为弧度每秒（rad/s），角加速度的单位为弧度每二次方秒（rad/s2）。上页下页末页退出首页oyxBAsts设质点作圆周运动的半径为R，在时间内质点的角位移为，则路程和角速度之间的关系为4．线量与角量的关系RstRtRtsttt000limlimlim0ttRtsddddRvtRtddddvRatRa2nv代入2nRa