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19.2菱形第19章矩形、菱形和正方形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.菱形的性质第1课时菱形的性质学习目标1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.2.探索并证明菱形的性质定理.(重点)3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.(难点)导入新课情景引入欣赏下面图片,图片中框出的图形是你熟悉的吗?欣赏视频,前面的图片中出现的图形是平行四边形,和视频中菱形一致,那么什么是菱形呢?这节课让我们一起来学习吧.平行四边形矩形前面我们学习了平行四边形和矩形,知道了矩形是由平行四边形角的变化得到,如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.有一个角是直角讲授新课菱形的性质一思考如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?平行四边形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.菱形一组邻边相等菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.知识要点活动1如何利用折纸、剪切的方法,既快又准确地剪出一个菱形的纸片?观看下面视频:活动2在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图),并回答以下问题:问题1菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.是,两条对角线所在直线都是它的对称轴.问题2根据上面折叠过程,猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?猜想1菱形的四条边都相等.猜想2菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.已知:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB=BC=CD=AD;(2)AC⊥BD;∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等).又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD.ABCOD证一证(2)∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形.又∵四边形ABCD是菱形,∴OB=OD(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵OB=OD,∴AO⊥BD,AO平分∠BAD,即AC⊥BD,∠DAC=∠BAC.同理可证∠DCA=∠BCA,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD.ABCOD菱形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性:是轴对称图形.边:四条边都相等.对角线:互相垂直,且每条对角线平分一组对角.角:对角相等.边:对边平行且相等.对角线:相互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质归纳总结例1如图,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B,试求出∠B的大小,并说明△ABC是等边三角形.解:在菱形ABCD中,AB=BC∠B+∠BAD=180°又已知∠BAD=2∠B可得∠B=60°所以△ABC是一个角为60°的等腰三角形,即为等边三角形.ABCD典例精析例2如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=12cm,AC=6cm,求菱形的周长.解:因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,AO=AC,BO=BD.因为AC=6cm,BD=12cm,所以AO=3cm,BO=6cm.在Rt△ABO中,由勾股定理得所以菱形的周长=4AB=4×3=12(cm).121222223635cm.ABAOBO55例3如图,在菱形ABCD中,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,求证:AE=AF.证明:连接AC.∵四边形ABCD是菱形,∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC.∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴∠AEC=∠AFC=90°.又∵AC=AC,∴△ACE≌△ACF.∴AE=AF.菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴,每条对角线平分一组对角.归纳1.如图,在菱形ABCD中,已知∠A=60°,AB=5,则△ABD的周长是()A.10B.12C.15D.20C练一练2.如图,菱形ABCD的周长为48cm,对角线AC、BD相交于O点,E是AD的中点,连接OE,则线段OE的长为_______.(提示:三角形中两边中点所连线段的长等于第三边的长)第1题图第2题图6cm思考:菱形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么?菱形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心.由于菱形是平行四边形,因此O做一做:把图中的菱形ABCD沿直线DB对折(即作关于直线DB的轴对称),点A的像是______,点C的像是_____,点D的像是_____,点B的像是_____,边AD的像是_____,边CD的像是_____,边AB的像是_____,边CB的像是_____.点C点A边CD点B点D边AD边CB边AB想一想:你能得到什么结论?菱形是轴对称图形,两条对角线所在直线都是它的对称轴.菱形的面积二问题1菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积?ABCD思考前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?能.过点A作AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=底×高=BC·AE.E问题2如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.ABCDO解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.12121212你有什么发现?菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半例4如图,在菱形ABCD中,点O为对角线AC与BD的交点,且在△AOB中,OA=5,OB=12.求菱形ABCD两对边的距离h.解:在Rt△AOB中,OA=5,OB=12,所以S△AOB=OA·OB=×5×12=30,所以S菱形ABCD=4S△AOB=4×30=120.因为又因为菱形两组对边的距离相等,所以S菱形ABCD=AB·h=13h,所以13h=120,得h=.222251213,ABAOBO121212013菱形的面积计算有如下方法:(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积;(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍);(3)两条对角线长度乘积的一半.归纳练一练如图,已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm,则这个菱形的高DE为()A.2.4cmB.4.8cmC.5cmD.9.6cmB1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等C2.如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则△ABD的周长等于()A.18B.16C.15D.14当堂练习B3.根据下图填一填:(1)已知菱形ABCD的周长是12cm,那么它的边长是______.(2)在菱形ABCD中,∠ABC=120°,则∠BAC=_______.(3)菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm,则菱形的边长是_______.3cm30°ABCOD5cm(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm,则菱形的周长为______.44cm(5)菱形的面积为64平方厘米,两条对角线的长度比为1∶2,那么菱形最短的那条对角线长为_______.8厘米ABCOD4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠AED=90°,(2)菱形ABCD的面积∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE5.如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证:∠AFD=∠CBE.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB=CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE=∠DCE.又CE=CE,∴△BCE≌△DCE(SAS).∴∠CBE=∠CDE.∵在菱形ABCD中,AB∥CD,∴∠AFD=∠FDC.∴∠AFD=∠CBE.ADCBFE课堂小结菱形的性质菱形的性质有关计算边1.周长=边长的四倍2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半角对角线1.两组对边平行且相等;2.四条边相等两组对角分别相等,邻角互补1.两条对角线互相垂直平分;2.每一条对角线平分一组对角
本文标题:19.2.1-第1课时-菱形的性质
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