基于MATLAB齿轮泵的结构优化设计

基于MATLAB齿轮泵的结构优化设计阮学云，谢加保（安徽理工大学机械系，安徽淮南232001）摘要：本设计以小型齿轮泵为例，在其设计要求和特点基础之上，以体积最小为目标，建立齿轮泵的结构优化设计数学模型。然后,作者利用MATLAB优化工具箱，对目标函数求解最优值。结果证明，与传统解法相比用Matlab优化工具箱可以很方便地求解出最优值。关键词：齿轮泵；优化设计；数学模型；MATLABOptimumDesignofGearPumpBasedonMatlabRuanXue-yun，XieJia-bao(AnhuiUniversityofScienceandTechnology,DepartmentofMechanicalEngineering,Anhui,Huainan232001,China)Abstract：Takingthesmallgearbumpforexample，aimingattheminimumvolume,thisdesigncreatesastructureoptimumdesignmodelofgearpump,basingatwhosedesignrequestsandcharacteristics．Afterwards,theauthorworksouttheoptimumresults,bymakinguseofoptimumtoolboxofMATLAB.Provedbytheresults,itismoreconvenienttosolvetheoptimumquestionsbyusingoptimumtoolboxofMATLABthantraditionalmethods.Keywords：Gearbump；Optimumdesign；Mathematicalmodel；Matlab1前言机械最优化设计，就是在给定的性能参数以及工作环境条件下，在对机械产品的性态、几何尺寸关系或其他因素的限制范围内，选取适当的设计变量，建立目标函数并使其获得最优值的一种新的设计方法。现在已经有很多比较成熟的优化方法程序可供选择，但是，它们各有其特点和适用范围。对于齿轮泵的结构优化设计，传统的方法既复杂又麻烦，出错概率大，往往当泵的设计尺寸、精度等稍加改变，计算过程几乎要从头再来，工作量大。而基于MATLAB语言的优化工具箱则具有以下特点：初始参数简单，求解速度快，适用性强，求解程序应变性强，可随精度、设计尺寸等要求的改变而改变。基于此，本文采用此方法对齿轮泵进行优化设计。2齿轮泵的结构优化设计2.1确定设计变量及目标函数本设计所研究齿轮泵的相关参数如下：齿轮材料：20CrMnTi；工作压力：13MPa；输出流量：40L/min；转速：500r/min；机械效率：91%；容积效率：91%；设计寿命：一年（300天）；初始优化参数：m4，z5，b60mm，d30mm。本设计是以齿轮泵的体积最小为目标，由于齿轮和轴的尺寸是决定齿轮泵体积的依据，因此可按它们的体积最小的原则来建立目标函数。影响齿轮泵体积的因素主要是模数m，齿数z，中心距a，分度圆直径D，齿宽b，轴直径d，壳体内轴的长度，设计变量应是独立的参数，所以选取b，z，m，d，l作为设计变量，取设计变量为x1[x2x3x4xTx]5b[zmdTl]。因为需要优化的齿轮泵的主、从动轮的参数大小相同，即传动比1i。根据齿轮泵几何尺寸及齿轮泵结构尺寸的计算公式，并认为壳体内的轴长等于齿宽，现只考虑一个齿轮及轴的体积，简化后的体积表达式为：22241)(41lddDbV(2.1.1)依据上式化简后建立目标函数：)(41)(52424123221xxxxxxxVxf(2.1.2)2.2确定函数的约束条件1.根切约束按允许轻微根切设计，齿根强度消弱不大，变位系数应满足：01714)(21xxg(2.2.1)取值0.08，代入(2.2.1)式并化简可得：064.12)(21xxg(2.2.2)2.齿宽约束齿宽过大会增大轴承负荷和增高齿面轴向接触精度，所以一般限制齿宽mb9：09)(312xxxg(2.2.3)3.齿顶圆齿厚约束齿轮泵采用正变位齿轮，齿顶趋于变尖，一般要求齿顶圆齿厚s满足：015.0)(33sxxg(2.2.4)取值s6.28mm，代入(2.2.4)式并化简可得：0867.41)(33xxg(2.2.5)4.传动要求动力传动的齿轮的模数应不大于2mm，得：02)(34xxg(2.2.6)5.齿轮啮合径向间隙约束齿轮啮合径向间隙过小，易产生啮合干涉，过大将降低容积效率，所以有：01.0|15.0|)(335xxxg(2.2.7)取值0.08mm，代入(2.2.7)式并化简可得：01.0|15.008.0|)(335xxxg(2.2.8)6.排量约束理论排量Lq应大于给定的公称排量tq：0)(6Ltqqxg(2.2.9)由23212828.22xxxbzmqt，取值LqrL/037.0，代入(2.2.9)式并化简可得：)(6xg01432.762321xxx(2.2.10)7.速度约束为防止气蚀，减小振动和噪声，齿顶圆速度应小于允许的极限值maxv，要求：060000)(max7vmznxg(2.2.11)取值maxv20sm/，3.142和n500min/r，代入(2.2.11)式并化简可得：020026.0)(327xxxg(2.2.12)8.轮齿强度约束齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得：0][)(8HHxg(2.2.13)0][)(9FFxg(2.2.14)接触应力H和弯曲应力F的计算公式分别为：325.2dKTZZdEuH(2.2.15)232zmYKTYdSFF(2.2.16)式(2.2.15)及(2.2.16)中，][H—H的许用值，取][H1282.5MPa；][F——F的许用值，取][F385.7MPa；K—载荷系数，取K2.225；uZ—齿数比系数，取uuZu11.414；EZ—材料系数，取EZ189.8；d—齿宽系数，取d1；FY—齿形系数，取FY3；SY—齿根应力集中系数，取SY1.5；T—传动扭矩，取T150N·mm。将上述数值代入式(2.2.13)及(2.2.14)中并化简可得：)(8xg0812.12134x(2.2.17))(9xg01789.73322xx(2.2.18)9.轴的强度约束轴在危险截面处的弯曲应力不大于许用值][1，得：0][)(110xg(2.2.19)将3463221023.1)(10xdTMMPa，60][1MPa代入(2.2.19)式并化简得：011006.2)(34410xxg（2.2.20）10.关于壳体内轴长度的约束002.0)(5111xxxg（2.2.21）2.3确定齿轮泵的结构优化模型优化模型为：min)(41)(52424123221xxxxxxxVxf（2.3.1）0)(xgi（111i）(2.3.2)3利用MATLAB优化工具箱求解最优值3.1编写约束函数m文件，并以confun.m的文件名保存在Matlab目录下的word文件夹里。function[c,ceq]=confun(x)c=[12.64-x(2)；x(1)-9*x(3)；x(3)-41.867；2-x(3)；abs(0.08-0.15*x(3))-0.1*x(3)；76.432*x(1)*x(2)*x(3)^2-1；0.026*x(2)*x(3)-20；1/(x(4)^3)-12.812；7.789/((x(2)^2)*x(3)^3)-1；20600/x(4)^3-1；1/x(4)^3-12.812；(2.06*10^4)/x(4)^3-1；x(1)-x(5)+0.02]；ceq=[]；3.2在Matlab的command窗口中编写优化程序命令clearx0=[60,15,4,30,60.5]；fun='3.142*(x(1)*x(2)^2*x(3)^2-x(1)*x(4)^2+x(4)^2*x(5))/4'；lb=[55,12,3,25,55]；ub=[80,25,8,50,70]；options=[]；[x,fval,exitflag,output]=fmincon(fun,x0,[],[],[],[],lb,ub,'confun',options)3.3最终的运行结果x=52.869415.00003.730630.000060.5000fval=1.3544e+005exitflag=1output=iterations:2；funcCount:20；stepsize:1；algorithm:'medium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-search'对参数进行圆整，得到如下优化前后的的对比列表：齿宽（mm）齿数模数齿轮轴直径壳体内轴长优化前参数601543060.5优化后参数53153.753060.54结束语从上面的结果可以看出，经优化以后该型号齿轮泵的尺寸，在保证其各方面性能以及约束的前提下，得到了明显的优化。由此可以看出，应用MATLAB优化工具箱进行优化设计问题求解，编程工作量小，初始参数输入简单，符合工程没计语言，提高了设计效率。尤其是对于某些工程问题，用一种预先选定的方法很可能得不到最优解，运用MATLAB语言优化工具箱来求解优化问题就显得简单方便。同时，与传统的求解结果相比较不仅提高了设计精度，而且优化工具箱的优化算法更加具有可靠性。参考文献：［1］梁尚名．现代机械优化设计方法[M]．北京：化学工程出版社，2005［2］刘惟信．机械最优化设计(第二版)[M]．北京：清华大学出版社，2002［3］李人厚．精通MATLAB综合辅导与指南[M]．西安：西安交通大学出版社，1998［4］昊宗泽．机械设计手册(上册)[M]．北京．机械工业出版社，2002［5］宋俊，王淑莲等．液压元件与优化[M]．北京：机械工业出版社，1999作者简介：阮学云（1978—），男，安徽枞阳人，讲师，2003硕士毕业于安徽理工大学，现在其母校任教，主要从事液压元件设计、计算机CAD及虚拟设计,参与省内教学研究项目一件及参与横向课题一项。联系方式：Tel:[phone]Home：0554-6632975Email:[e-mail]