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基于MATLAB齿轮泵的结构优化设计阮学云,谢加保(安徽理工大学机械系,安徽淮南232001)摘要:本设计以小型齿轮泵为例,在其设计要求和特点基础之上,以体积最小为目标,建立齿轮泵的结构优化设计数学模型。然后,作者利用MATLAB优化工具箱,对目标函数求解最优值。结果证明,与传统解法相比用Matlab优化工具箱可以很方便地求解出最优值。关键词:齿轮泵;优化设计;数学模型;MATLABOptimumDesignofGearPumpBasedonMatlabRuanXue-yun,XieJia-bao(AnhuiUniversityofScienceandTechnology,DepartmentofMechanicalEngineering,Anhui,Huainan232001,China)Abstract:Takingthesmallgearbumpforexample,aimingattheminimumvolume,thisdesigncreatesastructureoptimumdesignmodelofgearpump,basingatwhosedesignrequestsandcharacteristics.Afterwards,theauthorworksouttheoptimumresults,bymakinguseofoptimumtoolboxofMATLAB.Provedbytheresults,itismoreconvenienttosolvetheoptimumquestionsbyusingoptimumtoolboxofMATLABthantraditionalmethods.Keywords:Gearbump;Optimumdesign;Mathematicalmodel;Matlab1前言机械最优化设计,就是在给定的性能参数以及工作环境条件下,在对机械产品的性态、几何尺寸关系或其他因素的限制范围内,选取适当的设计变量,建立目标函数并使其获得最优值的一种新的设计方法。现在已经有很多比较成熟的优化方法程序可供选择,但是,它们各有其特点和适用范围。对于齿轮泵的结构优化设计,传统的方法既复杂又麻烦,出错概率大,往往当泵的设计尺寸、精度等稍加改变,计算过程几乎要从头再来,工作量大。而基于MATLAB语言的优化工具箱则具有以下特点:初始参数简单,求解速度快,适用性强,求解程序应变性强,可随精度、设计尺寸等要求的改变而改变。基于此,本文采用此方法对齿轮泵进行优化设计。2齿轮泵的结构优化设计2.1确定设计变量及目标函数本设计所研究齿轮泵的相关参数如下:齿轮材料:20CrMnTi;工作压力:13MPa;输出流量:40L/min;转速:500r/min;机械效率:91%;容积效率:91%;设计寿命:一年(300天);初始优化参数:m4,z5,b60mm,d30mm。本设计是以齿轮泵的体积最小为目标,由于齿轮和轴的尺寸是决定齿轮泵体积的依据,因此可按它们的体积最小的原则来建立目标函数。影响齿轮泵体积的因素主要是模数m,齿数z,中心距a,分度圆直径D,齿宽b,轴直径d,壳体内轴的长度,设计变量应是独立的参数,所以选取b,z,m,d,l作为设计变量,取设计变量为x1[x2x3x4xTx]5b[zmdTl]。因为需要优化的齿轮泵的主、从动轮的参数大小相同,即传动比1i。根据齿轮泵几何尺寸及齿轮泵结构尺寸的计算公式,并认为壳体内的轴长等于齿宽,现只考虑一个齿轮及轴的体积,简化后的体积表达式为:22241)(41lddDbV(2.1.1)依据上式化简后建立目标函数:)(41)(52424123221xxxxxxxVxf(2.1.2)2.2确定函数的约束条件1.根切约束按允许轻微根切设计,齿根强度消弱不大,变位系数应满足:01714)(21xxg(2.2.1)取值0.08,代入(2.2.1)式并化简可得:064.12)(21xxg(2.2.2)2.齿宽约束齿宽过大会增大轴承负荷和增高齿面轴向接触精度,所以一般限制齿宽mb9:09)(312xxxg(2.2.3)3.齿顶圆齿厚约束齿轮泵采用正变位齿轮,齿顶趋于变尖,一般要求齿顶圆齿厚s满足:015.0)(33sxxg(2.2.4)取值s6.28mm,代入(2.2.4)式并化简可得:0867.41)(33xxg(2.2.5)4.传动要求动力传动的齿轮的模数应不大于2mm,得:02)(34xxg(2.2.6)5.齿轮啮合径向间隙约束齿轮啮合径向间隙过小,易产生啮合干涉,过大将降低容积效率,所以有:01.0|15.0|)(335xxxg(2.2.7)取值0.08mm,代入(2.2.7)式并化简可得:01.0|15.008.0|)(335xxxg(2.2.8)6.排量约束理论排量Lq应大于给定的公称排量tq:0)(6Ltqqxg(2.2.9)由23212828.22xxxbzmqt,取值LqrL/037.0,代入(2.2.9)式并化简可得:)(6xg01432.762321xxx(2.2.10)7.速度约束为防止气蚀,减小振动和噪声,齿顶圆速度应小于允许的极限值maxv,要求:060000)(max7vmznxg(2.2.11)取值maxv20sm/,3.142和n500min/r,代入(2.2.11)式并化简可得:020026.0)(327xxxg(2.2.12)8.轮齿强度约束齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值,得:0][)(8HHxg(2.2.13)0][)(9FFxg(2.2.14)接触应力H和弯曲应力F的计算公式分别为:325.2dKTZZdEuH(2.2.15)232zmYKTYdSFF(2.2.16)式(2.2.15)及(2.2.16)中,][H—H的许用值,取][H1282.5MPa;][F——F的许用值,取][F385.7MPa;K—载荷系数,取K2.225;uZ—齿数比系数,取uuZu11.414;EZ—材料系数,取EZ189.8;d—齿宽系数,取d1;FY—齿形系数,取FY3;SY—齿根应力集中系数,取SY1.5;T—传动扭矩,取T150N·mm。将上述数值代入式(2.2.13)及(2.2.14)中并化简可得:)(8xg0812.12134x(2.2.17))(9xg01789.73322xx(2.2.18)9.轴的强度约束轴在危险截面处的弯曲应力不大于许用值][1,得:0][)(110xg(2.2.19)将3463221023.1)(10xdTMMPa,60][1MPa代入(2.2.19)式并化简得:011006.2)(34410xxg(2.2.20)10.关于壳体内轴长度的约束002.0)(5111xxxg(2.2.21)2.3确定齿轮泵的结构优化模型优化模型为:min)(41)(52424123221xxxxxxxVxf(2.3.1)0)(xgi(111i)(2.3.2)3利用MATLAB优化工具箱求解最优值3.1编写约束函数m文件,并以confun.m的文件名保存在Matlab目录下的word文件夹里。function[c,ceq]=confun(x)c=[12.64-x(2);x(1)-9*x(3);x(3)-41.867;2-x(3);abs(0.08-0.15*x(3))-0.1*x(3);76.432*x(1)*x(2)*x(3)^2-1;0.026*x(2)*x(3)-20;1/(x(4)^3)-12.812;7.789/((x(2)^2)*x(3)^3)-1;20600/x(4)^3-1;1/x(4)^3-12.812;(2.06*10^4)/x(4)^3-1;x(1)-x(5)+0.02];ceq=[];3.2在Matlab的command窗口中编写优化程序命令clearx0=[60,15,4,30,60.5];fun='3.142*(x(1)*x(2)^2*x(3)^2-x(1)*x(4)^2+x(4)^2*x(5))/4';lb=[55,12,3,25,55];ub=[80,25,8,50,70];options=[];[x,fval,exitflag,output]=fmincon(fun,x0,[],[],[],[],lb,ub,'confun',options)3.3最终的运行结果x=52.869415.00003.730630.000060.5000fval=1.3544e+005exitflag=1output=iterations:2;funcCount:20;stepsize:1;algorithm:'medium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-search'对参数进行圆整,得到如下优化前后的的对比列表:齿宽(mm)齿数模数齿轮轴直径壳体内轴长优化前参数601543060.5优化后参数53153.753060.54结束语从上面的结果可以看出,经优化以后该型号齿轮泵的尺寸,在保证其各方面性能以及约束的前提下,得到了明显的优化。由此可以看出,应用MATLAB优化工具箱进行优化设计问题求解,编程工作量小,初始参数输入简单,符合工程没计语言,提高了设计效率。尤其是对于某些工程问题,用一种预先选定的方法很可能得不到最优解,运用MATLAB语言优化工具箱来求解优化问题就显得简单方便。同时,与传统的求解结果相比较不仅提高了设计精度,而且优化工具箱的优化算法更加具有可靠性。参考文献:[1]梁尚名.现代机械优化设计方法[M].北京:化学工程出版社,2005[2]刘惟信.机械最优化设计(第二版)[M].北京:清华大学出版社,2002[3]李人厚.精通MATLAB综合辅导与指南[M].西安:西安交通大学出版社,1998[4]昊宗泽.机械设计手册(上册)[M].北京.机械工业出版社,2002[5]宋俊,王淑莲等.液压元件与优化[M].北京:机械工业出版社,1999作者简介:阮学云(1978—),男,安徽枞阳人,讲师,2003硕士毕业于安徽理工大学,现在其母校任教,主要从事液压元件设计、计算机CAD及虚拟设计,参与省内教学研究项目一件及参与横向课题一项。联系方式:Tel:13966480380Home:0554-6632975Email:ruanxueyun@163.com
本文标题:基于MATLAB齿轮泵的结构优化设计
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