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1二次根式知识梳理二次根式:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义.二次根式的性质1.非负性:aa()0是一个非负数.2、()()aaa20.3.aaaaaa200||()()4.公式aaaaaa200||()()与()()aaa20的区别与联系(1)a2表示求一个数的平方的算术根,a的范围是一切实数.(2)()a2表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数.(3)a2和()a2的运算结果都是非负的.最简二次根式:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式.同类二次根式(可合并根式):几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。分母有理化:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:①单项二次根式:利用aaa来确定,如:aa与,abab与,ba与ba等分别互为有理化因式。②②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如ab与ab,abab与,axbyaxby与分别互为有理化因式。例.写出一个无理数,使它与32的积为有理数_____________;分母有理化的方法与步骤:先将分子、分母化成最简二次根式;将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。二次根式的乘除1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。2ab=a·b(a≥0,b≥0)2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。a·b=ab.(a≥0,b≥0)3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根ab=ab(a≥0,b0)4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。ab=ab(a≥0,b0)二次根式的加减需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。二次根式的混合计算与求值1、确定运算顺序;2、灵活运用运算定律;3、正确使用乘法公式;4、大多数分母有理化要及时;5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化;根式比较大小1、根式变形法当0,0ab时,①如果ab,则ab;②如果ab,则ab。2、平方法当0,0ab时,①如果22ab,则ab;②如果22ab,则ab。3、分母有理化法通过分母有理化,利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:①0abab;②0abab8、求商比较法它运用如下性质:当a0,b0时,则:①1aabb;②1aabb例1.比较大小:-32___________-23;例2.已知a、b为两个连续整数,且a<7<b,则a+b=_________;二次根式的概念3形如()的式子叫做二次根式。注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。例1.下列各式一定不是二次根式的是()A、2aB、5C、1442xxD、62a例2.下列与2是同类二次根式的是()A.3B.12C.8D.2-11.判断下列各式哪些是二次根式()(1)16;(2)42x4)4();0x(x3)3(;4x4x2.写出下列各等式成立的条件(1)x2x42(2)x2)2x(2(3)3x3x9x32(4)3x2x3x2x)5(;2xx2xx(5)3232xxxx例2.下列式子是最简二次根式的是()A、b8B、222nmC、x3.0D、2121.下列根式中不是最简二次根式的是…………………………………………………()A.10B.8C.6D.22.如果最简二次根式3a-3与7-2a是同类二次根式,那么a的值是________;取值范围1.二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。4例.若22)2()2(xx,则x的取值范围是1.当x时,53x有意义。2.当x<2时,2)2(x=3.若12aa,则a应是()A、负数B、正数C、非零实数D、有理数4.二次根式1a中,字母a的取值范围是()A、a<1B、a≤1C、a≥1D、a>15.若使代数式32x有意义,则x的取值范围是()A、x≠2B、x≥2C、x>2D、x≤46.若化简︱1-x︱-1682xx的结果为2x-5,则x的取值范围是()A、x为任意实数B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤47.x为何值时,下列各式在实数范围内有意义(1)xxxxxxxx113)5(2162)4(||2)3(||4)2(48.二次根式1-a中,字母a的取值范围是…………………………………………()A.a<1B.a≤1C.a≥1D.a>19.已知12-n是正整数,则实数n的最大值为………………………………………()A.12B.11C.8D.310.使式子4-x无意义的x取值的是______________;二次根式()的非负性()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。例.若,则a=,b=1.若,则a=,b=52.若x-23-x=x-23-x成立,则x满足________________;3.已知x、y是实数,且满足y=x-6+6-x+1(1)求x和y的值;(2)求x+2y的值。二次根式()的性质()文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则.例.如,则3;251.已知一个正数的平方根是2x-6和x+3,则这个数是___________;2.把二次根式313中根号外的因数移到根号内,结果是______________;二次根式的性质文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注:1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;例.22=1.中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;2.化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。3.如果0|3x|yxy2x22,求y-2x的算术平方根。64.已知7xx4425x10x22,求x的取值范围。5.若(3-b)2=3-b,则()A.b>3B.b<3C.b≥3D.b≤3与的异同点1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,,而2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而例.若a<0,则ba2化简为()A、baB、-baC、baD、-ba1.当a时,22)(aa二次根式的乘除法基础知识1.计算:23________;369__________2.)0,0(3010yxxyxy3.计算:ba10253______.4.使等式1111xxxx成立的条件是。5.当0a,0b时,3__________ab。6、若x3+3x2=-xx+3,则x的取值范围是。7.化简二次根式352)(得()A.35B.35C.35D.308.若424Aa,则A()7A.24aB.22aC.222aD.224a9.下列名式中计算正确的是()A.842164)16)(4(B.0482aaaC.7432423D.2241404140414091910.若1a,则31a化简后为()A.11aaB.11aaC.11aaD.11aa11.计算:(1)821(2)31025(3)232(4))521(15412.化简:(1)12(2)2257(3)2000(4)222853能力提升14.当a=3时,则215a______.15.把1aa的根号外的因式移到根号内等于。16.已知233xx=-x3x,则()(A)x≤0(B)x≤-3(C)x≥-3(D)-3≤x≤017.23和32的大小关系是()A.2332B.2332C.2332D.不能确定18.计算:(1)aa82(a≥0)(2)xyx11010(x≥0,y≥0)8(3)2324162xyxy(x≥0,y≥0)19.化简:(1)324ba(a≥0,b≥0)(2)yxx23(x≥0,y≥0)(3)4224baba(ab≥0)能力拓展与探究20.(2006安徽省)计算2-9的结果是()A.1B.-1C.-7D.521.(2007芜湖市)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10cm,正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm,则正方形D的边长为()A.14cmB.4cmC.15cmD.3cm二次根式的加减基础知识11.把下列各式化成最简二次根式:(1)8=(2)25a=(3)80=(4)348=(5)163=(6)1.8=2.判断正误:对的画“√”,错的画“×”.(1)2+3=5;()(2)8-3=5;()(3)2+2=22;()(4)32-2=3;()(5)22+2=22;()(6)43-3=33.()93.计算:(1)27-67==(2)50+32===(3)112+63===(4)2x-8x===基础知识21.填空:二次根式加减法的法则是:二次根式加减时,可以先将二次根式化成二次根式,再将相同的二次根式进行合并.2.计算:(1)920-55===(2)16aa+629===3.计算:10(1)80-20+5==(2)18+98-27==(3)124+0.5--68==(4)2x19x+6-2x34x==基础知识31.计算:4140-5+10510==2.计算:(1)25+7==(2)8-53627===(3)12-37523===11(4)48+3153===3.计算:(1)3+23+3===(2)22+132-2===(3)x+yx-2y===基础知识41.计算:(1)212-623===(2)5+652-23===2.填空:(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=;(2)完全平方公式:(a+b)2=,(a-b)2=.3.计算:(1)4+74-712ba-11O===(2)2210+310-3===(3)23+2===(4)2226-===二次根是综合1.如图所示,实数a、b在数轴上的位置,化简:a2-b2-(a-b)22.观察下列等式:①12+1=2-1(2+1)(2-1)=2-1;②13+2=3-2(3+2)(3-2)=3-2;③14+3=4-3
本文标题:二次根式基础专题
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