任意角和弧度制、任意角的三角函数及诱导公式

任意角和弧度制、任意角的三角函数及诱导公式一、任意角1、角的概念的推广：角可以看成是由一条射线（起始边）旋转到一个新的位置（终边）所形成的图形。（1）按旋转方向不同分为正角（逆时针）、负角（顺时针）、零角．（2）角具有无界性；意思是说任意角的范围是（3）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（约定以原点和x的正半轴组成的射线为起始边）（4）角具有周期性：终边相同的角不一定相等；终边相同的角相差3600的整数倍。2、角与角的位置关系的判断（终边相同的角、对称关系的角）★与任意角终边相同的所有的角构成一个集合，这个集合可表示为：【注意】（1）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上).（2）终边与终边关于轴对称.（3）终边与终边关于轴对称.（4）终边与终边关于原点对称.（5）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.例1：与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿。练习1（1）与1991°终边相同的最小正角是______,绝对值最小的角是_________．（2）－1120°角所在象限是（3）把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°,k∈Z）的形式是（4）终边在第二象限的角的集合可以表示为（5）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩CB．B∪C=CC．ACD．A=B=C（6）下列结论中正确的是()A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等（7）下列角中终边与330°相同的角是（B）A．30°B．-30°C．630°D．-630°例2：若是第二象限角，则是第_____象限角。练习2（1）若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为____________________．（2）若角α是第三象限角，则角的终边在.（3）若α是第一象限的角，则-是()A.第一象限的角B.第一或第四象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角例3：的终边与的终边关于直线对称，则＝____________。练习3：（1）集合A={α｜α=k·90°,k∈N+}中各角的终边都在()A.x轴的正半轴上B.y轴的正半轴上C.x轴或y轴上D.x轴的正半轴或y轴的正半轴上（2）α是一个任意角，则α与-α的终边是()A.关于坐标原点对称B.关于x轴对称C.关于直线y=x对称D.关于y轴对称（3）若α是第四象限角，则180°+α一定是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角（4）若是第四象限的角，则是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角（6）180°－α与α的终边（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．以上都不对角度00300450弧度（7）若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系是___________．二、弧度制1、1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．2、弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．3、弧长公式：，扇形面积公式：（其中α是圆心角的弧度数,L为圆心角α所对的弧长,r为圆半径）弧度制相比角度制的优点在于：①公式的表达更简洁；可以省略单位不写，②无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数.【常用角的互化】★角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位.★度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度,1弧度≈57018/.★在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2kπ+600,k∈Z},正确的表示方法是{x|x=2kπ+,k∈Z}或{x|x=k·3600+600,k∈Z}例1：把解：例2：把化成角度.练习：1、把下列各角化成2kπ+α（0≤α＜2π,）的形式,并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－π;(2)－6750.2、若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与角的终边相同的角.3、半径为5cm的圆中,弧长为cm的圆弧所对的圆心角等于()(A)1450(B)1350(C)(D)4、将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是()(A)(B)－(C)(D)－5、半径为4的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.6、已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0★用弧度制表示：（1）终边在轴上的角的集合：（2）终边在轴上的角的集合：（3）终边在坐标轴上的角的集合：【强化练习】1．集合的关系是（）（B）（C）（D）以上都不对。2．已知集合，则等于（）（A）（B）（D）或3．圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的　　　倍。4．若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是　　　　　．5．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角的弧度数为　　　．3、任意角的三角函数的定义：定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么：，，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．★三角函数值只与终边的位置有关，而与终边上点P的位置无关。三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限★注意：一全正，二正弦，三内切，四余弦4、三角函数线三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM余弦线例：已知角的终边经过p（－3，－4），求角的正弦，余弦，正切值。例：已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．例：求证：当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角.例：在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sinα≥；　(2)cosα≤－【方法与要点】1、一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为2、两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．3、三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．四、诱导公式1、类型一：、、（）（1）假设是第一象限的角（2）利用旋转，确定所在象限A（3）确认原三角函数在象限A的符号。公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝cos（2kπ＋α）＝tan（2kπ＋α）＝公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：　　sin（π＋α）＝cos（π＋α）＝tan（π＋α）＝　　公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：　　sin（－α）＝cos（－α）＝tan（－α）＝　　公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：　　sin（π－α）＝cos（π－α）＝tan（π－α）＝　　公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：　　sin（2π－α）＝cos（2π－α）＝tan（2π－α）＝练习：（1）化简：＝_________．（2）已知，求的值．2、类型二：、、（）（1）改函数名称：、、（2）假设是第一象限的角（3）利用旋转，确定所在象限A（4）确认原三角函数在象限A的符号。　　公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：　　sin（π/2＋α）＝cos（π/2＋α）＝tan（π/2＋α）＝sin（π/2－α）＝cos（π/2－α）＝tan（π/2－α）＝　　sin（3π/2＋α）＝cos（3π/2＋α）＝tan（3π/2＋α）＝　　sin（3π/2－α）＝cos（3π/2－α）＝an（3π/2－α）＝cotα例：已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．※规律总结※：上面这些诱导公式可以概括为：对于的三角函数值，　　①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；　　②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→→tan.　　（奇变偶不变，符号看象限）【练习】1、求下列各三角函数值:①cos225°②tan（-11）2、sin1560°的值为()A、B、C、D、3、cos（-780°）等于()A、B、C、D、【典型例题分析】例1、求值（1）=__________．（2）=__________．（3）=__________．变式练习1：求下列函数值：变式练习2：若，则________．变式练习3：已知，则＝．【巩固练习】（一）选择题1、对于诱导公式中的角，下列说法正确的是（　　）A．一定是锐角　　　　　　　　　B．0≤＜2C．一定是正角　　　　　　　　　D．是使公式有意义的任意角2、若则的值是（）A．B．C．D．3、sin·cos·tan的值是A．－B．C．－D．4、（）A．sin2－cos2B．cos2－sin2C．±（sin2－cos2）D．sin2+cos25、已知，则的值为（）A．B．－2C．D．6、如果A为锐角，，那么　　（）A、　　　　　B、　　　　　C、　　　　　D、7、α是第四象限角,,则sinα等于()A.B.C.D.（二）填空题1、计算：cos（－2640°）+sin1665°＝．2、计算：＝．3、化简：＝_________．4、若，则＝________．5、已知，则的值为。（三）解答题1、化简：2、已知(1)化简；(2)若为第三象限角，且，求的值；(3)若，求的值．五、同角三角函数的基本关系1、同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα=化成正、余弦．(2)和积转换法：利用的关系进行变形、转化．（、、三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝tanθcotθ＝tan.（4）齐次式化切法：已知，则3、三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负——脱周——化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．例：已知f(α)＝，求f.(1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了．练习：已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________题型1：已知一个三角函数值，求其他三角函数值【例2－1】►已知，，那么的值是（）ABCD（1）已知一个三角函数值求其他三角函数值时，要确定角所在的象限后再用平方关系，只有用到平方关系时，才考虑根号前面的符号。（2）若不能确定的象限时，则需进行分类讨论.【训练1－1】已知，求、的值题型2：齐次化切法【例2－2】►已知tanα＝2.求：(1)；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.(1)关于sinα，cosα的齐次式（分子、分母中的各项的方次相同），