有限元分析理论基础

有限元分析理论基础山东交通学院汽车工程系车辆工程教研室材料力学与弹性力学—本课程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。本章将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。预备知识弹性力学—区别与联系—材料力学1、研究的内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。弹性力学—区别与联系—材料力学3、研究的方法：有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。材料力学—区别与联系—弹性力学xqyxs图1-1axqyxs0图1-1b弹性力学—区别与联系—材料力学总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：弹性力学中关于材料性质的假定(1)物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2)物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3)物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。弹性力学中关于材料性质的假定(4)物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。(5)物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。2020/5/18爱学习,爱交院9§2-1外力、应力、应变与位移在有限元法中的表示方法一、外力外力可以分为体积力、面积力和节点之中力*，分别用以下符号表示：1）体积力),,(),,(),,(zyxFzyxFzyxFFbzbybxb2）表面力),,(),,(),,(zyxFzyxFzyxFFszsysxs3）节点集中力nPPPP21节点集中力是广义力，可以是力，也可以是力矩。2020/5/18爱学习,爱交院10二、应力空间三维问题zyxzyxzyxzyxzyxzyxzxyzxyzzyyxx,,,,,,,,,,,,sssssss平面问题),(),(),(yxyxyxxyyyxxssss三、应变空间三维问题zyxzyxzyxzyxzyxzyxzxyzxyzzyyxx,,,,,,,,,,,,平面问题),(),(),(yxyxyxxyyyxx四、位移),,(),,(),,(zyxwzyxvzyxuu空间三维问题平面问题),(),(yxvyxuuxxxss一维问题一维问题一维问题xxxxuuxx2020/5/18爱学习,爱交院11§2-2弹性力学的基本方程一、平衡方程在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，它的直于坐标轴，而棱边的长度分别为，PA=dx，PB=dy，PC=dz，如上图2-1所示。以x轴为投影轴，列出投影的平衡方程，0xF得：0Xdxdydzdxdydxdydzzdzdxdzdxydydzdydzxzxzxzxyxyxyxxxxxxxxssssssss2020/5/18爱学习,爱交院12oyxzABCPyysyzsyzsdzzzzzzssdzzzxzxssdzzzyzyssdxxxzxzssdxxxxxxssdxxxyxyssdyyyyyyssdyyyxyxssdyyyzyzsszzszxszysxxsxysxzs2020/5/18爱学习,爱交院130Xdxdydzdxdydzdxdyzdxdydzdxdydzdxydzdxdydzdxdydzxdydzzxzxzxyxyxyxxxxxxxxsssssssss0dxdydzFdxdydzzdxdydzydxdydzxbxzxxyxxsss整理后得到：0bxzxxyxxFzyxsss在上式中消掉dxdydz得到利用0yF和0zF还可以得到另外两个方程，即：000bzzzyzzxbyyzyyxybxzxxyxxFzyxFzyxFzyxsssssssss弹性体平衡微分方程该方程给出地是微元体的平衡条件，即平衡的微分条件。也就是说如果整个结构处于平衡状态，结构内部任意点（微元体）都必须满足的条件。2020/5/18爱学习,爱交院14二、几何方程给出弹性体内部任意点处的应变与位移之间的微分关系。1、应变与位移的关系以xx为例，弹性体内任意点的应变与位移的关系如图示：yxA,),(ydxxB在结构取一微小线段dx，两个端点变形前的坐标分别为：、两个端点变形后的坐标分别为：),(),,(yxvyyxuxA)),(),,((ydxxvyydxxudxxB、2020/5/18爱学习,爱交院15在小变形情况下，变形后微小线段的长度可以近似表示为为：dxxudxyxuydxxudxyxuxydxxudxx),(),(),(),(xudxdxdxxudxdxdxxx根据应变的定义可得：2020/5/18爱学习,爱交院16zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyxxyyxx同理可推导出其它5个应变分量。则弹性体内任意点的6个应变分量可以表示为：yvxuyvxuxyyyxx对于平面问题，应变-位移关系可以简化为：xuxx对于一维问题，应变-位移关系可以进一步简化为：2020/5/18爱学习,爱交院172、应变-位移关系的矩阵表示wvuxzyzxyzyxzuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzzyyxx000000000三维情况xzyzxyzyx000000000令：其中zyx,,称微分算子，称算子矩阵。2020/5/18爱学习,爱交院18uvuxyyxyvxuyvxuxyyyxx00二维问题的应变-位移关系可简化为：一维问题的应变-位移关系可进一步简化为：uuxxuxx则应变-位移关系可以简记为统一的矩阵形式：u2020/5/18爱学习,爱交院19三、物理方程（本构关系）seD1、有限元本构关系的矩阵形式为：221000000221000000221000000100010001)21)(1(EDe对于三维情况有：2020/5/18爱学习,爱交院202、对于二维平面应力问题的定义平面应力)0(zzyzxz由此可以得出0zxyzss2100010112EDe此时有)(1yyxxzzvv3、对于二维平面应变问题的定义平面应变)0(zzyzxz由此可以得出0zxyzss221000101)21)(1(EDe此时有)(yyxxzzvsss2020/5/18爱学习,爱交院21四、相容方程（协调方程）相容方程给出弹性体的变形协调性条件，弹性体在变形之前是连续的，变形后仍然要保持连续。即弹性体内部各点的位移必须是单值连续的，不能出现重叠或开裂现象。由于有限元采用的多项式位移插值函数全部满足相容条件，只要求了解这一概念，具体形式不作要求。虚功原理及虚功方程图1-8a示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：图1-8b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：综合可得：即：式(1-15)是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。abACB(a)(b)BPAPcRBACBA'B'A图1-8abPPBAabABABBAabPP15)-(10BBAAPP虚功原理进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，和这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足(1-15)式的关系。将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图1-8a中的和所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。ABAPBP虚功原理必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发