基于GARCH模型的股指期货波动性研究

龙源期刊网模型的股指期货波动性研究作者：李锦成来源：《商业会计》2013年第07期摘要：2010年4月16日，我国正式开通股指期货业务，沪深300股指期货合约正式上市交易。股指期货的价格发现、套期保值、风险控制和资产配置等功能使A股市场更加完善。线性回归模型中的异方差性破坏了古典模型中随机误差项满足同方差性的基本假设，致使最小二乘法拟合效果较差，本文利用估计波动率的主要方法GARCH模型及衍生模型来估计股指期货上市前后对沪深300指数的波动性影响，探寻股指期货对冲模式的深远意义。关键词：股指期货沪深300指数GARCH模型一、引言1982年2月24日，世界上第一支股指期货合约在美国肯萨斯期货交易所开通，随后的30年里，世界各主要发达国家都陆续推出了股指期货交易产品。我国在2010年4月16日，正式推出沪深300指数股指期货合约，在融资融券的基础上为投资者进一步提供了规避风险的工具，避免了股指的大起大落，对稳定市场和增加市场流动性起到了积极作用。MaosenZhong等（2004）分析了墨西哥IPC指数日交易数据，发现墨西哥股指期货具有价格发现功能，而且股指期货确实加剧了现货的波动性。而国内学者刘考场和李树丞等（2008）利用改进的GARCH模型，对韩国综合股价指数和台湾加权指数期货进行了实证分析，发现股指期货在上市后的短期内会增加现货市场的波动率，而长期对现货市场波动率的影响将逐步减小。本文利用沪深300股指期货的基础指数沪深300指数的时间序列数据为研究目标，此指数以2004年12月31日为基日，基日点位1000点，由上海和深圳证券市场中300只A股作为样本，其中沪市179只，深市121只，样本为规模大、流动性好的股票，其覆盖了沪深市场六成左右的市值，具有良好的市场代表性。文中将使用目前度量金融时间序列波动率的几个主要自回归条件异方差模型：Engle在1982年提出的ARCH模型、Bollerslev在1986年提出的GARCH模型、Nelson在1991年提出的EGARCH模型及其扩模型，对股指期货上市前后的数据进行定量建模研究，通过对沪深300指数日收益率序列进行检验，进而对其回归模型的拟合度和时间序列的波动情况进行实证研究，并给出结论。二、模型构建——ARCH和GARCH模型（一）样本数据选取及描述。本文选取沪深300指数日收盘价作为研究对象，样本空间为：2005年1月4日至2013年2月8日的月度数据，包括1969个样本数据，2010年4月16日是股指期货开通日，其作为研究对象的转折点，之前为股指期货推出前时间序列，之后为股指期货推出后时间序列，文中的沪深300指数数据取自于万得资讯公开数据。本文主要利用GARCH族模型对比股指期货上市前后对沪深300指数波动性的影响，为方便描述指数波动特龙源期刊网征，沪深300指数的日收益率数据采用每日收盘价的对数差表示，样本数据变为1968个，其代数表达式为：Rt=lnPt-lnPt-1根据1968个交易日的数据绘制的沪深300指数收益率时序图，可以看出样本时间序列在2010年前波动幅度较大，而股指期货推出后波幅逐渐减小，同时可以看出指数收益率波动具有群聚性特征。即在一段时期波幅较大，而另一时期波幅较小，且波幅在一段时期内集聚出现。如下页图1和2。通过图1和图2的沪深300指数收益率时序图可以明显看出，股指期货推出前的几年里样本序列波动幅度较大，而在股指期货推出后波动幅度趋缓而减弱，而且收益率存在波动群聚性效应（即异方差现象），即大幅波动附近的波动往往很大，波动在一段时间内集聚出现，这种波动丛聚性是金融资产收益率序列运用ARCH模型的一个重要特征。通过图1和图2中的统计值可以看出，股指期货推出前后的偏度（Skewness）都小于0，峰度（Kurtoisis）也都小于3，与标准正态分布（偏度=0，峰度=3）相比，沪深300指数日收益率序列在股指期货推出前后在均值处均呈现左偏、尖峰厚尾的分布形态。在零假设下，JB统计量均服从X2分布，p值均为0，拒绝服从正态分布的原假设，即该收益率序列不服从正态分布。股指期货推出前的标准差显著比推出后的标准差大，进一步说明股指期货推出后，沪深300指数波动减缓，股指期货的推出对市场有稳定作用。（二）ARCH过程建模及检验。本文首先利用最基础的自回归条件异方差（ARCH）模型对序列进行检验。西方学者在分析金融数据时，发现时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小，同时也说明预测误差的方差中有某种相关性。为了刻画这种相关性，西方经济学家恩格尔提出自回归条件异方差模型（ARCH），其核心思想是残差项ut的方差σ依赖于时刻（t-1）的扰动项平方的大小，即依赖于u。建立一个模型ARCH过程最常见的应用是首先对收益率建立一个AR模型：Yt=c+Φ1Yt-1+...+ΦpYt-p+εt该方程为均值方程。ARCH过程的平方是AR过程：ARCH模型的高阶ARCH（q）过程为：ut=vt上式中，从ut-1到ut-q的所有冲击都对ut直接起作用，以至于条件方差就像一个q阶自回归过程，在ARCH（q）模型中，若ai（i=1，2，...，q）中至少有一个显著不为零，则误差项存在着ARCH效应。通过对沪深300指数日收益率时间序列做自相关分析，验证样本是否龙源期刊网模型的假设前提，如果样本统计有显著的ARCH效应，则说明符合使用模型的前提。我们利用ARCHLM检验和残差平方相关图检验日收益率模型是否含有ARCH效应。ARCHLM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归：u=β0+β1u+...+βqu+εt式中ut是残差。这是一个对常数和直到q阶的滞后平方残差所作的回归。在文中，沪深300指数日收益率序列通常为一种特殊的单位根过程——随机游动模型描述，所以本文进行估计的基本形式为：p=μ+ρ×pt-1+ut首先利用最小二乘法，估计回归方程，结果为：可以看出，此方程的统计量很显著，而且拟合度也较好。但是需要对此方程的误差项进行条件异方差检验。该回归方程的残差波动呈现“成群”现象，即波动在一些较长的时间内非常小，在其他一些较长的时间内非常大，说明残差序列存在高阶ARCH效应，如图3。通过检验沪深300指数日收益序列残差平方u的自相关和偏自相关系数，说明回归公式的残差序列存在ARCH效应，如图4。对方程进行条件异方差的ARCHLM检验，当滞后阶数p=4时的ARCHLM检验结果如表1，此处的P值小于显著水平0.05，拒绝原假设，说明方程的残差序列存在ARCH效应，意味着条件方差序列不平稳，可以用沪深300指数日收益序列拟合GARCH模型。LM的数学表达式为：e=β0+β1e+...+βqe+ηt零假设H0：βi=0，i=1，2，...，q，即不存在条件异方差性检验统计量：LM=TR2，T是样本点个数，LM服从X2（q）分布ARCH模型对单个时间序列波动聚集性进行了很好的描述，且只需要一个或很少的参数就可以拟合出条件异方差特征的方程。然而，ARCH模型也有缺点，其一是约束性较强，要求系数非负，如果高阶矩存在，还有更多约束，这样就导致回归方程呈现正线性组合，模型就无法描述信息集合对某时刻的条件方差做负反馈的情况。然而股票市场较为复杂，简单的正反馈机制并不完善。而且条件方差与一个较大的q期前的方差关系较大时，参数估计就会不够精确，导致估计的条件方差精确度下降。其二是不能反映波动率的非对称特点。其三是不能解释为什么存在异方差，只是描述了条件异方差的行为。广义自回归条件异方差（GARCH）模型是在ARCH模型的基础上发展起来的，它不仅具有ARCH模型能够揭示金融事件序列的条件异方差特征的优点，而且它将收益率的条件方差龙源期刊网表示为前期随机误差平方项和滞后条件方差项的线性组合，即加入了前期预测方差的滞后项，而且可以描述出金融时间序列波动丛聚性，是对ARCH模型的一种改进和简化，对一个高阶ARCH模型的一个更为简介和识别估算的GARCH表达式。（三）自回归滞后阶数选择。在建立GARCH模型前，为了使模型具有经济统计意义，我们需对多个模型进行比较，这就需要确定滞后分布的长度进行确定，通常使用AIC和SC准则，以检验结果最小为标准。通过对比，GARCH（1，1）模型AIC和SC最小，能够较好的拟合序列数据，各估计参数都较为明显，所以选择GARCH（1，1）模型实证分析股指期货的推出对沪深300指数的波动性影响，如表2。（四）建立GARCH（1，1）模型。利用GARCH族模型分析股指期货引入前后对沪深300指数的波动影响及非对称性研究。其标准化GARCH（1，1）模型中：均值方程：yt=x'γ+ut方差方程：σ=ω+αu+βσ其中：xt是（k+1）×1维外生变量向量，γ是（k+1）×1维系数向量。均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于σ是以前面信息为基础的一期向前预测方差，被称作条件方差方程。ω为常数项（均值）、u为均值方程的扰动项平方的滞后度量从前期的波动性的信息ARCH项、σ为上一期的预测方差GARCH项。模型中（1，1）为阶数为1的GARCH项和阶数为1的ARCH项。模型指出了上期的预期方差GARCH项和以前各期中观测到的关于变动性的信息ARCH项来预测本期的方差。除此之外，高阶GARCH（p，q）模型估计方差表达式为：σ=ω+βjσ+αiu=α0+α（L）u+β（L）σ其中，α（L）和β（L）是滞后算子多项式。通过以上估计结果可以看出，在均值方程、方差方程及调整后的R2（99%）的统计值中，在5%的显著水平下，所有参数都显著不等于0，证明了所选模型的合理性。以上模型估计结果为：均值方程：ln（fxt）=0.012+0.99ln（fxt-1）+u方差方程：σ2=2.96E-06+0.049ut-1+0.94σGARCH（1，1）模型各项统计值均显著不为零，说明条件异方差性明显，沪深300指数日收益率序列波动具有集群性。α为0.049说明前一期的市场“噪声”对当期条件方差的影响程度为正面的强化，然而是较弱的加强，新的市场信息转为未来条件方差的速度为正，但正影响龙源期刊网力较小。β为0.94意味着前期条件方差对当期条件方差的影响较强，即过去的信息对未来波动性的冲击能力加强，波动的持续性效果加强，说明A股市场上信息的传递速度变快。（五）对GARCH模型加入虚拟变量的估计。为了检验股指期货的推出对沪深300指数的波动性影响，引入虚拟变量st，其取值为股指期货推出前为0，推出后为1。修正后的GARCH（1，1）模型条件方差表达式为：σ=α0+αε+βσ+λs其中虚拟变量st在股指期货推出前我们将其设为0，推出后设为1，系数λ1表示波动性变化的代理参数。其中λ10，意味着股指期货的推出增加了沪深300指数的波动；λ1由表4可以看出，虚拟变量（最后一行D（t））st具有统计显著性，说明股指期货对沪深300指数确实有波动性影响，然而其值较小，说明波动性影响较小。所以，通过GARCH模型的分析，不能得出股指期货对沪深300指数有显著影响，所以进行下一步EGARCH模型分析。三、模型扩展——EGARCH模型为了描述股指期货推出前后对沪深300指数的波动性影响，我们直接用股指期货推出前后的两段时间序列拟合EGARCH模型，来分析股指期货对现货市场的波动影响。EGARCH模型其条件方差为：ln（σ）=α+βln（σ）+α+λ杠杆效应的存在能够通过λ0）和坏消息（utGARCH模型的方差方程其代数表达式为：通过表5和表6可以看出，α1由正变负，说明股指期货推出后，新信息对沪深300指数的波动性影