新人教A版高中数学(必修4)1.4《三角函数的图象与性质》

1.4.2正、余弦函数的图像和性质1.正弦、余弦函数的图象和性质y=sinx(xR)y=cosx(xR)定义域值域周期性xRy[-1,1]T=2xyO1-1222222222222y=cosxy-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2.周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。可知：函数y=sinx和y=cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。由sin(x+2kπ)=sinx;cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)注意：（1）周期T为非零常数。（2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都成立。（3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集（至少一端是无界的）（4）周期函数不一定有最小正周期。举例：f(x)=1(x∈R),任一非零实数都是函数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小正周期。sin(cos(2yAwxyAwxxRT及的最小正周期为sin(cos(yAwxyAwx及的最小正周期()sin()sin[()2]22sin[()]()fxAxAxAxfx例1求下列函数的周期：（1）y=3cosx;x∈R（2）y=sin2x，x∈R；1(3)2sin(),26yxxR3.例题讲解241sin3123sin24yxxRyxxR课堂练习：求下列函数的周期（），（）（），1y=cos2x+sin2x练：求证()的周期为()cos2()sin2(fxxx证明：()fx的周期为cos(22)sin(22xxcos2sin2()xxfx44(2sincos2yxx)的周期为44()sin(cos222fxxx证明：)（)44cossin()xxfx==()2fx的周期为(3)sincos2yxx｜｜｜｜的周期为()sin(cos222cossin()()2fxxxxxfxfx证明：｜)｜｜（)｜=｜｜｜｜=的周期为。例1、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？4.周期函数应用结论：定义在R上的函数f(x)满足f(x＋a)＋f(x)=0或f(x＋a)=-f(x)则f(x)是周期为2a的周期函数.例2、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时，f(x)=x－4，求f(10)的值.结论：定义在R上的函数f(x)满足f(x＋a)-f(x-b)=0或f(x＋a)=f(x-b)则f(x)是周期为a+b的周期函数.y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx(,0)k所有的对称中心坐标为()2xkkZ所有的对称轴方程为xyO1-1222222222222y=cosx(,0)2k所有对称中心坐标()xkkZ所有的对称轴方程为奇偶性一般的，如果对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。一般的，如果对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性sin(-x)=-sinx(xR)y=sinx(xR)是奇函数cos(-x)=cosx(xR)y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数的单调性y=sinx(xR)xyo--1234-2-31223252722325x···0·········sinx-1010-12232[2,2],()22kkkZ增区间为3[2,2],()22kkkZ减区间为余弦函数的单调性y=cosx(xR)x······0······cosx-1010-1yxo--1234-2-3122325272232522[2,2],()kkkZ增区间为[2,2],()kkkZ减区间为单调性y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.y=sinx在每一个闭区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间[+2kπ，+2kπ](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.22322例3求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合（1）y=cosx＋1，x∈R；（2）y=－3sin2x，x∈R.例4比较下列各组数的大小:(1)sin()sin();1810与2317(2)cos()cos().5与例5求函数，x∈[－2π，2π]的单调递增区间.1sin()23yx21cos2(2)sin()14(3)2cos5sin4xyxyxyxx2、求下列函数的最大值，并找出最大值时的集合（）1cos(2)3sin(3)lgsinyxyxyx练习1、求下列函数的定义域、值域（）当cosx=1即x=2kπ（k∈Z)时，y取到最大值3.解：由cosx≥0得：-+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z)∴函数定义域为[-+2kπ，+2kπ]2222由0≤cosx≤1∴1≤2+1≤3∴函数值域为[1，3]xcos练：求函数y=2+1的定义域、值域，并求当x为何值时，y取到最大值，最大值为多少？xcos正弦、余弦函数的奇偶性、单调性奇函数偶函数[+2k,+2k],kZ22单调递增[+2k,+2k],kZ223单调递减[+2k,2k],kZ单调递增[2k,2k+],kZ单调递减函数余弦函数正弦函数求函数的单调区间：1.直接利用相关性质2.复合函数的单调性3.利用图象寻找单调区间奇偶性单调性（单调区间）正弦、余弦函数的奇偶性、单调性例2求下列函数的单调区间：(1)y=2sin(-x)解：y=2sin(-x)=-2sinx函数在上单调递减[+2k,+2k],kZ22函数在上单调递增[+2k,+2k],kZ223(2)y=3sin(2x-)4222242kxk838kxk2324222kxk8783kxk单调增区间为]83,8[kk所以：解：单调减区间为]87,83[kk正弦、余弦函数的奇偶性、单调性解：(4))]431cos(21[21logxy解：定义域2243122kxk(3)y=(tan)89sin2x189tan0单调减区间为]4,4[kk单调增区间为]43,4[kkkxk243122Zkkxk,436496当即为减区间。22432kxk3366,44kxkkZ当即为增区间。Zkkxk,436496正弦、余弦函数的奇偶性、单调性(5)y=-|sin(x+)|4解：令x+=u,4则y=-|sinu|大致图象如下：y=sinuy=|sinu|y=-|sinu|u2O1y-12222323减区间为Zkkku],,2[增区间为Zkkku],2,[即：Zkkkx],4,43[y为增函数Zkkkx],4,4[y为减函数