届高三数学二轮复习：直线与圆

1．直线与方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(5)能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．2．圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．平面直角坐标系内的两条直线的平行与垂直关系，每年必考，常考常新，一般以选择题或填空题重点考查平行，垂直关系的判断以及平行垂直条件的应用．2．点到直线的距离是基础中的基础，求直线的斜率，倾斜角，两点间距离等知识是解析几何中的基础，对称思想及其求解方法等往往渗透到解析几何的各个部分，体现工具作用．3．直线与圆的位置关系的应用与讨论，直线与向量的综合为高考的热点，有强化趋势．4．数形结合思想是解析几何的灵魂，在直线与圆的问题中，显得尤为显明，是每年高考必考内容1．直线方程(1)概念①直线倾斜角的定义．②倾斜角α的范围：0°≤α180°.③倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．④经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(x1≠x2)的直线的斜率k＝y2－y1x2－x1.⑤直线的倾斜角为α，斜率为k.当0°α90°时，k0且k随倾斜角α的增大而增大．当90°α180°时，k0且k随倾斜角α的增大而增大．(2)直线方程名称方程适用范围点斜式y－y1＝k(x－x1)不能表示与x轴垂直的直线斜截式y＝kx＋b不能表示与x轴垂直的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不能表示与坐标轴垂直的直线截距式xa＋yb＝1不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)适合所有的直线(3)两直线的位置关系方程约束条件位置关系l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行k1＝k2，且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0相交k1≠k2特别地，l1⊥l2⇒k1k2＝－1A1B2≠A2B1特别地，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0(4)距离公式①两点P1(x1，y1)，P(x2，y2)间的距离|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.②点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.③两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.2．圆的方程(1)圆的方程①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，圆心坐标为－D2，－E2，半径r＝D2＋E2－4F2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：dr⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；dr⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．(3)直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)的位置关系如下表.(4)圆与圆的位置关系表现形式位置关系几何表现：圆心距d与r1，r2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离dr1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解[例1]过点P(3,2)作直线l，交直线y＝2x于点Q，交x轴正半轴于点R，当△QOR面积最小时，求直线l的方程．[分析]要求直线l的方程，需选择一个参数表示直线方程，利用待定系数法，通过建立△QOR的面积函数，确定取得最小值时的参数值，进而求得直线方程．[解析]方法一：设点Q的坐标为(a,2a)，点R的坐标为(x,0)，其中x0.当a＝3时，△QOR的面积S＝9；当a≠3时，因为P，Q，R三点共线，所以23－x＝2a－2a－3，解得x＝2aa－1(a1)，∴△QOR的面积S＝12|OR|·2a＝2a2a－1＝2[(a－1)＋1a－1＋2]．当且仅当a－1＝1a－1(a1)，即a＝2时，S取得最小值8.此时点Q的坐标为(2,4)，将Q，P两点坐标代入直线方程两点式，并整理得2x＋y－8＝0.解法二：设l的方程为x＝3或y－2＝k(x－3)，当l的方程为x＝3时，△QOR的面积S＝9；当l的方程为y－2＝k(x－3)时，联立方程组y＝2x，y－2＝kx－3，解这个方程组，得点Q的坐标为3k－2k－2，6k－4k－2.在方程y－2＝k(x－3)中，令y＝0，得点R的坐标为3k－2k，0，∴△QOR的面积S＝12·3k－2k·6k－4k－2＝3k－22k2－2k，变形得(S－9)k2＋(12－2S)k－4＝0，因为S≠9，所以判别式Δ≥0，即(12－2S)2＋16(S－9)≥0，化简，得S2－8S≥0，当且仅当k＝－2时，S取得最小值8，此时直线l的方程为y－2＝－2(x－3)，即2x＋y－8＝0.综上，当△QOR的面积最小时，直线l的方程为2x＋y－8＝0.[评析](1)求最值的问题，可先适当选取自变量，其次建立目标函数，再次是求最值，最后讨论何时取得最值．(2)求直线方程问题，可依据条件恰当地选取方程的形式，利用待定系数法，建立待定参数的方程来解决．(2011·安徽理，15)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线[答案]①③④⑤[解析]令y＝x＋12，满足①，故①正确；若k＝2，b＝2，y＝2x＋2过整点(－1,0)，故②错误；设y＝kx是过原点的直线，若此直线过两个整点(x1，y1)，(x2，y2)，则有y1＝kx1，y2＝kx2，两式相减得y1－y2＝k(x1－x2)，则点(x1－x2，y1－y2)也在直线y＝kx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上、下平移y＝kx得对于y＝kx＋b也成立，所以③正确；④正确；直线y＝2x恰过一个整点，⑤正确.[例2]过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________________．[分析]因题中涉及圆心及切线，故可设标准形式较简单(只需求出圆心和半径)．[答案](x－3)2＋y2＝2[解析]法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意知：4－a2＋1－b2＝r2b－1a－2＝－1|a－b－1|2＝r，解之得：a＝3，b＝0，r＝2，所以圆的方程是：(x－3)2＋y2＝2.法二：由题意知A，B两点在圆上，∴直线AB的垂直平分线x＝3过圆心，又圆C与直线y＝x－1切于点B(2,1)，∴kBC＝－1，∴直线BC的方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.由y＝－x＋3x＝3得圆心C(3,0)．∴r＝|BC|＝3－22＋0－12＝2，∴圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.[评析]求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程．(2011·辽宁文，13)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________________．[答案](x－2)2＋y2＝10[解析]设圆心坐标为(a,0)，则有：(a－5)2＋12＝(a－1)2＋32解得：a＝2半径r＝2－52＋12＝10故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.[例3](2011·山东菏泽二模)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．[分析]通过圆的方程求出圆心坐标及圆的半径，再利用圆心到切线的距离等于半径求解第(1)问，对于第(2)问要注意|PM|2＝|PC|2－r2的应用．[解析](1)由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得圆心坐标C(－1,2)，半径r＝2，∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，∴设直线l的方程为x＋y＝a(a≠0)．∵直线l与圆C相切，∴|－1＋2－a|2＝2，∴a＝－1，或a＝3.所以所求直线l的方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.(2)∵切线PM与半径CM垂直，设P(x，y)，又∵|PM2|＝|PC|2－|CM|2，|PM|＝|PO|，∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，∴2x－4y＋3＝0.所以所求点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.[评析]在解决直线与圆相切的问题时，要注意圆心与切点的连线与切线垂直这一结论；当直线与圆相交时，要注意圆心与弦的中点的连线垂直于弦这一结论．(2011·江西理，9)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y＋mx＋m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A.(－33，33)B.(－33，0)∪(0,33)C.[－33，33]D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)[答案]B[解析]曲线C1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，曲线C2：y(y＋mx＋m)＝0表示直线y＝0与y＋mx＋m＝0，若有四个不同的交点，则直线y＋mx＋m＝0与圆有两个不同的交点且不过原点(0,0)，则由|2m|1＋m21得，－33m33，且m≠0，故选B.[例4](2011·吉林市质量检测)已知圆x2＋y2－4x＋2y－3＝0和圆外一点M(4，－8)．(1)过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|＝4，求直线AB的方程；(2)过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程．[分析]代入弦长公式可求k，求CD所在直线方程，可利用两圆公共弦方程求．[解析](1)圆即(x－2)2＋(y＋1)2＝8，圆心为P(2，－1)，半径r＝22.①若割线斜率存在，设AB：y＋8＝k(x－4)，即kx－y－4k－8＝0，设AB的中点为N，则|PN|＝|2k＋1－4k－8|k2＋1＝|2k＋7|k2＋1，由|PN|2＋(|AB|2)2＝r2，得k＝－4528，AB：45x＋28y＋44＝0.②若割线斜率不存在，AB：x＝4，代入圆方程得y2＋2y－3＝0，y1＝1，y2＝－3符合题意，综上，直线AB的方程为45x＋28y＋44＝0或x＝4.(2)切线长为|PM|2－r2＝4＋49－8＝35.以PM为直径的圆的方程为(x－2)(x－4)＋(y＋1)(y＋8)＝0，即x2＋y2－6x＋9y＋16＝0.又已知圆的方程为x2＋y2－4x＋2y－3＝0，两式相减，得2x－7y－19＝0，所以直线CD的方程为2x－7y－19＝0.[评析](1)在研究直线方程或直线与