9-1--多元函数的基本概念

第九章多元函数微分法及其应用第1节多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。教学难点：计算多元函数的极限。教学方法：讲授为主，互动为辅教学课时：2教学内容：一、平面点集讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念。由于讨论多元函数的需要，我们首先把邻域和区间概念加以推广，同时还要涉及其它一些概念。1．邻域设),(000yxp是xoy平面上的一个点，是某一正数。与点),(000yxp距离小于的点(,)pxy的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，即),(0PU=}{0PPP，也就是),(0PU={),(yx│2020)()(yyxx}。在几何上，),(0PU就是xoy平面以上点),(000yxp为中心、0为半径的圆的内部的点),(yxP的全体。2．区域设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域EPU)(，则称P为E的内点（画图8-1显示）。显然，E的内点属于E。如果E的点都是内点，则称E为开集。例如，点集}41),{(221yxyxE中每个点都是E1的内点，因此E1为开集。如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E），则称P为E的边界点（可画图8-2显示）。E的边界点的全体称为E的边界。例如上例中，E1的边界是圆周122yx和22yx=4。设D是开集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(yxyx及}41),{(22yxyx都是区域。开区域连同它的边界一起，称为闭区域，例如{),(yx│yx≥0}及{),(yx│1≤22yx≤4}都是闭区域。对于点集E，如果存在正数K，使一切点P∈E与某一定点A间的距离|AP|不超过K，即|AP|≤k,对一切P∈E成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集。例如，{),(yx│1≤22yx≤4}是有界闭区域，{),(yx│yx0}是无界开区域。3．n维空间我们知道，数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合，即直线。在平面上引入直角坐标系后，平面上的点与二元数组),(yx一一对应，从而二元数组),(yx全体表示平面上一切点的集合，即平面。在空间引入直角坐标系后，空间的点与三元数组（zyx,,）一一对应，从而三元数组（zyx,,）全体表示空间一切点的集合，即空间。一般地，设n为取定的一个自然数，我们称n元数组（nxxx,,,21）的全体为n维空间，而每个n元数组),,,(21nxxx称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标。n维空间记为Rn。n维空间中两点),,,(21nxxxP及),,,(21nxxxQ间的距离规定为2222211)()()(nnxyxyxyPQ。容易验知，当n=1，2，3时，由上式便得解析几何中关于直线（数轴），平面，空间内两点的距离。前面就平面点集来陈述的一系列概念，可推广到n维空间中去。例如，设nRP0，是某一正数，则n维空间内的点集),(0PU=},{0nRPPPP就定义为点0P的邻域。以邻域概念为基础，可定义内点、边界点、区域、聚点等一系列概念。二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系hrV2。这里，当r、h在集合}0,0),{(hrhr内取定一对值),(hr时，V的对应值就随之确定。例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系p=VRT，其中R为常数。这里，当V、T在集合}0,0),{(TVTV时，p的对应值就随之确定。例3设R是电阻1R、2R并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系2121RRRRR对应值就随之确定。上面三个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质，抽象出这些共性就可得出以下二元函数的定义。定义一设D是平面上的一个点集。如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx、的二元函数（或点P的函数），记为),(yxfz（或)(Pfz）。点集D称为该函数的定义域，yx、称为自变量，z也称为因变量。数集}),(),,({Dyxyxfzz称为该函数的值域。z是yx,的函数也可记为),(yxzz，),(yxz等等。类似地可以定义三元函数),,(zyxfu以及三元以上的函数。一般的，把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D，则可类似地可以定义n元函数),,,(21nxxxfu。n元函数也可简记为)(Pfu，这里点DxxxPn),,,(21。当1n时，n元函数就是一元函数。当2n时，n元函数就统称为多元函数。关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数)(Pfu时，就以使这个算式有确定值u的自变量所确定的点集为这个函数的定义域。例如，函数)ln(yxz的定义域为}0){(yxyx（图8-3），就是一个无界开区域。又如，函数)arcsin(22yxz的定义域为}1){(22yxyx（图8-4），这是一个闭区域。设函数),(yxfz的定义域为D。对于任意取定的点DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz。这样，以x为横坐标、y为纵坐标、),(yxfz为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM。当),(yx遍取D上的一切点时，得到一个空间点集}),(),,(),,{(Dyxyxfzzyx，这个点集称为二元函数),(yxfz的图形（图8-5）。通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。图8-3图8-4x+y=0例如，由空间解析几何知道，线形函数cbyaxz的图形是一张平面；由方程2222azyx所确定的函数),(yxfz的图形是球心在圆点、半径的为a球面，它的定义域是圆形闭区域}),{(222ayxyxD。在D的内部任一点),(yx处，这函数有两个对应值，一个为222yxa，另一个为—222yxa。因此，这是多值函数。我们把它分成两个单值函数：222yxaz及222yxaz，前者表示上半球面，后者表示下半球面。以后除了对多元函数另做声明外，总假定所讨论的函数是单值的；如果遇到多值函数，可以把它拆成几个单值函数后再分别加以讨论。三、多元函数的极限我们先讨论二元函数),(yxfz当0xx，0yy，即),(),(000yxPyxP时的极限。这里0PP表示点P以任何方式趋于点0P，也就是点P与点0P间的距离趋于零，即0)()(20200yyxxPP。与一元函数的极限概念类似，如果在),(),(000yxPyxP的过程中，对应的函数值),(yxf无限接近一个确定的常数A，我们就说A是函数0xx，0yy时的极限。下面用“”语言描述这个极限概念。定义2设函数),(yxf在开区域（或闭区域）D内有定义，),(000yxP是D的聚点。如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(0yyxxPP的一切点DyxP),(，都有Ayxf),(成立，则称常数A为函数),(yxf当0xx，0yy时的极限，记作Ayxfxx),(lim0，或Ayxf),(（0），这里0PP。为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。例4设22221sin)(),(yxyxyxf（022yx），求证0),(lim00yxfyx。证因为22222222221sin)(01sin)(yxyxyxyxyx，可见，对任给0，取，则当22)0()0(0yx时，总有01sin)(2222yxyx成立所以0),(lim0yxfxx我们必须注意，所谓二重极限存在，是指),(yxP以任何方式趋于),(0yxP时，函数都无限接近于A。因此，如果),(yxP以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于),(0yxP时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但是反过来，如果当),(yxP以不同方式趋于),(0yxP时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。考察函数,0,0,0,),(222222yxyxyxxyyxf显然，当点),(yxP沿x轴趋于点)0,0(时，00lim)0,(lim00xxxf；又当点),(yxP沿y轴趋于点)0,0(时，00lim),0(lim00yyyf。虽然点),(yxP以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是),(lim00yxfyx并不存在.这是因为当点),(yxP沿着直线kxy趋于点)0,0(时,有22222022001limlimkkykxkxyxxyxkxyx，显然它是随着k的值的不同而改变的.以上关于二元函数的极限概念,可相应的推广到n元函数)(Pfu即),,,(21nxxxfu上去。关于多元函数极限的运算,有与一元函数类似的运算法则.例5求xxyyx)sin(lim20.解：这里xxyyxf)sin(),(在区域}0),{(1xyxD和区域}0),{(2xyxD内都有定义，)2,0(0P同时为1D及2D的边界点。但无论在1D内还是在2D内考虑，下列运算都是正确的：221lim)sin(lim)sin(lim2020yxyxyxxyyxyyx。四、多元函数的连续性明白了函数极限的概念，就不难说明多元函数的连续性，定义3设函数),(yxf在开区域（闭区域）D内有定义，),(000yxP是D的聚点且DP0。如果),(),(lim0000yxfyxfyyxx,则称函数),(yxf在点),(000yxP连续。如果函数),(yxf在开区域（或闭区域）D内的每一点连续，那么就称函数),(yxf在D内连续，或者称),(yxf是D内的连续函数。以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到n元函数)(Pf上去。若函数),(yxf在点聚点),(000yxP不连续，则称0P为函数),(yxf的间断点。这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）D内某些孤立点，或者沿D内某些曲线，函数),(yxf没有定义，但在D内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数),(yxf的不连续点，即间断点。前面已经讨论过的函数,0,0,0,),(222222yxyxyxxyyxf当0xx，0yy时的极限不存在，所以点)0,0(是该函数的一个间断点。二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函数11sin22yxz在圆周122yx上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。这就是说，在D上至少有一点1P及一点2P，使得)(1Pf为最大值而)(2Pf为最小值，即对于一切P∈D,有)()()(12PfPfPf.性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。特殊地，如果是函数在D上的最小值m和最大值M之间的一个数，则在D上至少有一点Q，使得)(Qf。一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用；根据极限运算法则，可以证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数；在分母不为