微分几何-§-5.-曲面论的基本定理

§5.曲面论的基本定理在曲线论中我们知道已知曲线则曲率和挠率完全确定，反之也对。同样已知曲面第一二基本形式完全确定，反之已知第一二基本形式，是否存在曲面使其第一二基本形式刚好是给出的第一二基本形式呢？给出第一二基本形式，即给出了E,F,G,L,M,N但一个曲面只要三个分量函数就确定了,所以若存在曲面则E,F,G,L,M,N必须满足一定的条件这就是本节内容为了把一些式子表达式表达的更有规律些，在这一节里我们采用以下新的符号12,,uvrrrr,,1,2ijijgrrij2112212,gggg,,1,2ijijLrnij由于法向量与u线v线的两个切向线性无关可命把（1）的第一式点乘n，因此有因为，对此式求导数得5.1曲面的基本方程和克里斯托尔符号,,1,2(1)kijijkijkjiijjrrnijnrijijijrnLijijgrrlijiljijlilijliljjjljiljliigrrrrugrrrrugrrrru1,()(2)2ljlijkilijlijkljikgggijlrrguuu由于可算得并记ijjirr1,(),,,1,22ljlijkklklilijjillggggijlgijluuu1,,1,20,ikikjjkggij当i=j,当ij,()ijg命是的逆矩阵，即()jig从（2）可以解出系数如下kij,ijl其中称为第二类克里斯托尔符号，此外，还有第一类克里斯托尔符号，即我们再来确定（1）中第二式中的系数，用去点乘这个式子得到。jikrjjkiikkgl所以曲面的基本方程为,,1,2(1)kijijkijkkjiikjjkrrLnijnLgr，第一式为高斯方程，第二式为魏因加尔方程5.2定义曲面的二种曲率的张量：（1）黎漫曲率张量Rlijkuujlikklijppjlpiklpkpij)(21,p,l,k,j,i=Rlijk从定义容易证明00lllijkikjijjlllijkjkikijRRRRRR（2）黎漫曲率张量Rmijkllijkml,k,j,i,m,Rg21Rmijk=黎曼曲率张量的16个分量中只有一个是独立的，即实际上是高斯曲率RmijkR121200RRmijjmmjk,RRimjkmijkRRmikjmijkRRjkmimijk0RRRmkijmjkimijkRlijk由的性质有LLLLRmjikmkijmijkuLuLjikkij)(llklijijlikLLLgKR1212命题1高斯公式：2科达齐-迈因纳尔迪公式：定理曲面的高斯曲率是内蕴量。证明：对曲面的基本方程求导并注意及曲面的基本方程根据对应分量相等即证ijkikjrr通过直接计算可得对于曲面上的正交坐标网来说有F=0，有下面再给出在一般坐标网下科达齐-迈因纳尔迪公式的具体表达式，它们中间只有两个是独立的，把克里斯托尔符号带入这两个式子得到1uvuvGEKEGEG(2)()(2)()0uvuvuuuEELEGFFGELMENFMGLEFFFMGGN(2)()(2)()0vvuvuvvEELEGFFGEMNENFMGLFGFFMGGNIdvdvduGFduE2222,21ijjiijdudugIIdvdvduNMduL2222,21ijjiijduduLIIIIgijLijIII是两个给定的二次形式，其中是正定的，若和的系数和对称并满足高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式，则除了空间的位置差别外，唯一地存在一个曲面，以和分别为此曲面的第一、第二基本形式。5.3曲面论的基本定理kg,222kkkgn6.1曲面上曲线的测地曲率曲面上曲线C在其上一点P曲率向量在上的投影称为C在P点的测地曲率。有..rk..gkrk命题§6曲面上的测地线121122r=r(u,u)，u=u(s),u=u(s)曲面上曲线C的..rk在n的投影为记cosnkkknnn，，考虑在上投影即测地曲率..rk..singkrkknknk（，，）n,,,n共面可证C*s,s:Cuuu,22jijigdsdsddddsdguusuduk,22221)([)](,12122jijiijdsddsdddsduusudu命题2曲面S上的曲线C，它在点P的测地曲率的绝对值等于C在点P的切平面上的正投影曲线的曲率。测地曲率的一般计算公式：设曲面曲线其中s是曲面的自然参数,有...(,,(,,,,)gkknknrrn))=(.2..2,22,,,iiiijikijijiijiijijkkijkijkijkijkdurrdsdududurrrdsdsdsdududududurLnrdsdsdsdsdsv,urr0FdsduEsdsdkGddsdvdudsdugvg222222[dsdvGdsduGdsduGdsdvGvu222dsdvEdsduEu22dsdvGdsdvEEdssuEuv222当曲面上的坐标网为正交网时，公式化简为：rucos2EGdsdEkvgsin2EGGucosln21vEGdsdcosln21uGE若再令曲线的切方向的夹角为θ,注意到这个公式称为刘维尔公式。cossincossin,uvuvrrdrdsEGdudvdudvrrdsdsdsdsEG命题1曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法线。因为6.2.曲面上的测地线曲面上的一条曲线，如果它的一点处的测地曲率为零，则称为测地线。有22,0,1,2kijkijijdududukdsdsds0n或..2..2,,,0,1,200llijijkkijkijkijkijknrlrrndududududurrrLnrdsdsdsdsds显然曲面上的直线是测地线显然球面上的大圆是测地线因为22,()0,kijkklijkijdududugdsdsds从而有方程由上一节介绍的刘维尔公式也可以得到曲面上的坐标网为正交网时，曲面上测地线的方程。v,urr1ln1lncossin221cos1sindEGdsvuGEdudsEdvdsG由刘维尔公式令=0,即有kg由此在给出初始条件下可求测地线惟一的解.222dsdudv1,0,0uvuvEGFEEGG0,.dconstdscos,sin,cotdudvduconstdsdsdvuavb代入测地线的方程得即是平面上的直线。例:利用刘维尔公式证明：平面上的测地线为直线证明：对于平面6.3.曲面上的半测地坐标网曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一的族是测地线的正交轨线，则这个坐标网称半测地坐标网。定理：给出曲面上一条曲线，则总存在一个半测地坐标网，它的非测地坐标曲线族中包含给定的一条曲线。例平面上的极坐标系，和直角坐标系是半测地网在曲面上建立半测地坐标网，则曲面的第一基本形式可以化简为：.dv,uGddvus222从而使为解题提供方便6.4.曲面上测地的短程性定理若给出曲面上充分小的邻域内两点P和Q则过P,Q,两点的小邻域内的测地线是连接P,Q两点上的曲面曲线中弧长最短的曲线6.5.高斯——波涅公式在曲面上给出一个由条光滑曲线段所围成的曲线多边形。它围成的一个单连通区域，多边形是区域的边缘，记为，设曲面的高斯曲率和测地曲率分别为，曲面的面积元素和弧长元素分别为，则有以下高斯--波涅公式：其中是曲线多边形的第个角。,dsKdGkiigGak21这是三角形三内角和是1800的推广