关于两角差的余弦公式的说课稿

教材选自：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学（必修④）127124P3.1.1关于《两角差的余弦公式》的说课稿宁夏育才中学马海荣2008.5.93.1.1关于《两角差的余弦公式》的说课稿宁夏育才学校马海荣教材选自：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修④127124P课题：两角差的余弦公式课时计划：第1课时下面我将分别从教材分析、目标分析、教法分析、过程分析以及评价分析五个方面对本节课进行说明.一、教材分析恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简.在数学中通过恒等变换，可以把复杂的关系用简单的形式表示出来.三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用.例如，使)sin(xAy或)cos(xAy（其中,,A为常数，且0,0A）的性质研究得到延伸，还有在用三角代换求函数的最值，解斜三角形，甚至求三角函数的导数、积分中被广泛运用.三角函数中的恒等关系大体可以分为三类：一是三角函数本身蕴涵的恒等关系，如对余弦函数xycos，Rx有cos)2cos(k，cos)cos(，cos)cos(，cos)cos(等诱导公式.这些恒等关系反应了余弦函数的周期性、奇偶性等性质.二是边角关系中蕴涵的恒等关系，如1cossin22，cossintan，这些恒等关系反映了边角之间的联系以及同角的不同三角函数之间的联系.而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系.由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系，因而需要推出一个公式作为基础，再用逻辑推理的方法建立其它公式.选择哪个公式呢？过去的教材曾经进行过许多探索，其基本出发点都是使公式的推导过程尽量简明易懂，易于被学生接受.由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系，因此现行的课改教材（人教A版）安排学生学完三角函数后，先学习了平面向量，因此选择了运用向量方法推导公式sinsincoscos)cos(作为建立其它公式的基础，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度.通过上述的分析，本节课的作用承前启后、非常重要，因此我将本节课的教学重点确立为：两角差的余弦公式的推导及其简单应用.由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑.但同时学生在学习新的一章知识时又都会充满好奇心，这对教学是非常有利的，面对学生的认知结构和心理特点，我将本节课的教学难点确立为：两角差的余弦公式的推导；探索两角差的余弦公式的过程中的组织和适当引导.二、目标分析学习本章节内容之前，学生已经学习了三角函数本身蕴涵的恒等关系（如诱导公式）和边角关系中蕴涵的恒等关系（如1cossin22，cossintan）以及三角函数的性质；在平面向量知识方面，学习了平面向量的线性运算、基本定理及数量积的定义和坐标表示等.从而具备了推导两角差的余弦公式的基础知识.通过解读数学《课程标准》，可以发现在本节课的教学过程中要引导学生学会提出问题，学会探索，学会推理，学会完善过程，要逐步培养学生的逻辑推理能力，让他们学会怎样学习.因此结合教材分析和学生情况，我将本节课的教学目标确立为：1.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验并感受数学发现的过程，体会向量方法的作用；2.建立余弦的差角公式，并能运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明；3.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其它和（差）角公式打好基础.三、教法分析基于对教材和学生的分析，本节课我采用“引导发现”和“主动参与、独立探索”等方法组织课堂教学.为了抓住重点，我从学生已有的认知水平出发，设计具有梯度的问题导入，激发学生的求知欲，引导和组织学生参与探索公式的建立和推导过程，鼓励学生独立思考，让学生在参与推理的过程中感受成功的快乐和提高逻辑推理能力；在突破难点上，主要通过以下四个方面的师生活动：①引导学生积极思考，大胆探索，学会对目标进行对比分析，把握思维方向；②组织学生共同钻研，学会合作，开展讨论交流；③对学生的探究活动适当指导，适时地给与帮助；④完善推理过程——对,0的情况引导学生完善.四、过程分析（一）、设置问题，引发思考1.填空：)2cos(=；)cos(=；)2cos(k=；思考：)4cos(=？.设计意图：通过学生熟知的诱导公式引入问题，引发认知冲突，引出本节课题.2.如何用角,的正弦、余弦值来表示)cos(呢？你认为会是coscos)cos(吗？设计意图：将问题更为一般化，先让学生直观猜测，再通过特例验证，明确常犯的直觉性错误.（二）、探索公式1.)cos(=？涉及的是什么问题？设计意图：将面对的问题归结为三角函数问题或角度问题，联系三角函数或向量的相关知识解决此问题，为公式的探索提供思路.（若学生存有困难，提出如下问题）2.设问：如图3.1-1，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点)sin,(cos),sin,(cos21PP，试用21,PP两点的坐标表示21OPP的余弦值.2P1P图3.1-1x)0,1(AOy学生思考，独立解决,0的情况：sinsincoscos)cos(222221212121yxyxyyxxbaba.3.推理完善——引导学生思考,,的范围，完善公式的推导.课堂教学中采用两种完善方法：①利用诱导公式完善（同课本）；②利用余弦函数的性质完善，即由于余弦函数是周期为2的偶函数，所以我们只需考虑,0的情况.采用方法②的主要目的是让学生进一步体会运用三角函数的性质（即周期性、奇偶性）在解决数学问题中的益处，多角度的感知在探索问题的过程中旧知识对新问题的帮助，体现知识的内在联系，学会知识的迁移应用，领悟这一方法的“简约而不简单”.设计意图：由于向量工具已被引入，因此将问题归结为角度问题，选用向量方法推导公式，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，大大降低了思考难度.另外，在公式的完善过程中，学生用对比、联系、化归的观点去分析问题、处理问题，使他们在建立公式的过程中发展逻辑推理能力和对知识的迁移应用.对于运用三角函数线推导公式的方法，略作解释，留给学生课后思考.数学学习，是一个连续而又艰辛的过程，一个个看似死板的数学符号或公式，有的是智慧、方法.为学之道，归根结底要为人，而数学思想中的沉着冷静、谨慎踏实的态度，已广泛的渗透到学习、生活中.从两角差的余弦公式的推导过程中，让学生感悟这一点，体会对问题的理性思考.（三）、例题讲解例1利用公式)(C求15cos.设计意图：①让学生学会如何化归问题，并在化归的过程中学会择优.如304515，456015，12013515，13515015等，可往往采用304515或456015.②与用计算器算出的结果作对比，体会二者的不同.思考；如何求75sin？（为后面变换函数种类的思考做出铺垫）例2利用公式)(C证明：sin)2cos(.例3已知,135cos),,2(,54sin是第三象限角，求)cos(值.分析：可让学生先思考要计算)cos(，应做哪些准备，解题过程中应注意哪些问题等，理清思路后由教师板演，作为示范.培养学生思维的有序性和表述的条理性.（四）、课堂练习1.已知),,2(,53cos求)4cos(的值.2.已知)2,23(,43cos),23,(,32sin，求)cos(的值.3.利用公式)(C化简：（1）12sin72sin12cos72cos；（2）sin)sin(cos)cos(.设计意图：例题及练习旨在训练对公式的顺向、逆向运用，认识公式的结构特征和功能.（五）、拓展与延伸思考：若)2,23(),,2(,53)cos(,54)cos(，求2cos.设计意图：有意识的培养学生见角找联系，而不是见角拆角，盲目运用公式.（六）、课堂小结师生围绕以下方面小结：（1，2由学生完成）1.对公式的探索过程中你是怎么联系有关知识的？怎样进行探索的？运用了什么工具?2.对公式)(C的结构和功能的认识.3.（师）两角差的余弦公式是用向量的数量积推导的，体现了向量和三角函数间的联系，也说明向量法作为数学工具应用的广泛性和知识间内在联系的紧密性.通过本节课的学习和小结，同学们应加深对公式)(C及其推导过程的理解.课本中还涉及到了用三角函数线来推导公式)(C的方法，只是这项工作比较繁难，学有余力的同学可自己探索.设计意图：通过小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程的理解.（七）、布置作业1.课本137P习题3.1A组1（1）、（3）；2；3；2.（选做题）课本137P习题3.1A组4.五、评价分析本节课的学生评价坚持形成性评价的原则.1.从学习兴趣、交流合作、情绪情感、逻辑推理能力等方面对学生学习效果进行过程评价；2.对出现困难的学生，指出其可取之处并耐心引导，这样有助于培养他们面对挫折，敢于探索的精神；3.当学生做的精彩，及时给予充分的鼓励，进一步激发学生学习的潜能，提高他们的求知欲望；4.通过例题、练习、课堂小结、作业等对学生在三维目标方面进一步评价，反思教学，改进方法.