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当前位置:首页 > 高等教育 > 理学 > (word完整版)中考数学二次函数压轴题题型归纳
1中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式:22BABAxxyyAB2、中点坐标:线段AB的中点C的坐标为:22BABAyyxx,直线11bxky(01k)与22bxky(02k)的位置关系:(1)两直线平行21kk且21bb(2)两直线相交21kk(3)两直线重合21kk且21bb(4)两直线垂直121kk3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下:①用和参数的其他要求确定参数的取值范围;②解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式)③分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。例:关于x的一元二次方程01222=-mxmx有两个整数根,5<m且m为整数,求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。(方法同上)例:若抛物线3132xmmxy与x轴交于两个不同的整数点,且m为正整数,试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下:已知关于x的方程23(1)230mxmxm(m为实数),求证:无论m为何值,方程总有一个固定的根。解:当0m时,1x;当0m时,032m,mmx213,mx321、12x;综上所述:无论m为何值,方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题,举例如下:已知抛物线22mmxxy(m是常数),求证:不论m为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。2解:把原解析式变形为关于m的方程xmxy122;∴01022xxy,解得:11xy;∴抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。(题目要求等价于:关于m的方程xmxy122不论m为何值,方程恒成立)小结..:关于x的方程bax有无数解00ba7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)(1)如图,直线1l、2l,点A在2l上,分别在1l、2l上确定两点M、N,使得MNAM之和最小。(2)如图,直线1l、2l相交,两个固定点A、B,分别在1l、2l上确定两点M、N,使得ANMNBM之和最小。(3)如图,BA、是直线l同旁的两个定点,线段a,在直线l上确定两点E、F(E在F的左侧),使得四边形AEFB的周长最小。38、在平面直角坐标系中求面积的方法:直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法:如右图,S△PAB=1/2·PM·△x=1/2·AN·△y9、函数的交点问题:二次函数(cbxaxy++=2)与一次函数(hkxy+=)(1)解方程组hkxycbxaxy+=++=2可求出两个图象交点的坐标。(2)解方程组hkxycbxaxy+=++=2,即02=-+-+hcxkbax,通过可判断两个图象的交点的个数有两个交点0>仅有一个交点0没有交点0<10、方程法(1)设:设主动点的坐标或基本线段的长度(2)表示:用含同一未知数的式子表示其他相关的数量(3)列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时,利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移2121kkll=∥、2121xxyyk平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等22BABAxxyyAB直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。22BABAxxyyAB等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等4【例题精讲】一基础构图:y=322xx(以下几种分类的函数解析式就是这个)★和最小,差最大在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小,求出P点坐标在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大,求出P点坐标★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P,使得ACP面积最大,求出P坐标★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为直角三角形,求出P坐标或者在抛物线上求点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.★讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为等腰三角形,求出P坐标★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标OxyABCDOxyABCDOxyABCDOxyABCD5二综合题型例1(中考变式)如图,抛物线cbxxy2与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,顶点为D。交Y轴于C(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M,使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形,若存在,求出点P的坐标。若没有,请说明理由(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合),过E作EF与X轴垂直,交BC于F,设E点横坐标为x.EF的长度为L,求L关于X的函数关系式?关写出X的取值范围?当E点运动到什么位置时,线段EF的值最大,并求此时E点的坐标?(4)在(5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形?(5)在(5)的情况下点E运动到什么位置时,使三角形BCE的面积最大?6例2考点:关于面积最值如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(-1,0)、(0,3-),点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点P作y轴的平行线交BC于点F.(1)求该二次函数的解析式;(2)若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段PF的长;(3)求△PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标.例3考点:讨论等腰如图,已知抛物线y=21x2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).(1)求抛物线的解析式;(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.DBCOAyxEBCOA备用图yxyxBAFPx=1CO7例4考点:讨论直角三角⑴如图,已知点A(一1,0)和点B(1,2),在坐标轴上确定点P,使得△ABP为直角三角形,则满足这样条件的点P共有().(A)2个(B)4个(C)6个(D)7个⑵已知:如图一次函数y=21x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=21x2+bx+c的图象与一次函数y=21x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)(1)求二次函数的解析式;(2)求四边形BDEC的面积S;(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.例5考点:讨论四边形已知:如图所示,关于x的抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0),点B(6,0),与y轴交于点C.(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.OAByCxDE2BAyOCx8综合练习:1、平面直角坐标系xOy中,抛物线244yaxaxac与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点A的坐标为(1,0),OB=OC,抛物线的顶点为D。(1)求此抛物线的解析式;(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB,求点P的坐标;(3)Q为线段BD上一点,点A关于∠AQB的平分线的对称点为A,若2QBQA,求点Q的坐标和此时△QAA的面积。2、在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数2+2yaxaxc的图像与y轴交于点30,C,与x轴交于A、B两点,点B的坐标为03,。(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标;(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点,若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分,求出此时点M的坐标;(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点,问:点P在何处时△CPB的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点P的坐标。93、如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线xxmy222与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且对称轴与x轴交于点C。(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示);(2)D为OB中点,直线AD交y轴于E,若E(0,2),求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,点M在直线OB上,且使得AMC的周长最小,P在抛物线上,Q在直线BC上,若以QPMA、、、为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标。4、已知关于x的方程2(1)(4)30mxmx。(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;(2)若正整数m满足822m,设二次函数2(1)(4)3ymxmx的图象与x轴交于AB、两点,将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象;请你结合这个新的图象回答:当直线3ykx与此图象恰好有三个公共点时,求出k的值(只需要求出两个满足题意的k值即可)。105如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(﹣4,0)和B.(1)求该抛物线的解析式;(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CEQ的面积最大时,求点Q的坐标;(3)平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(﹣2,0).问是否有直线l,使△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧例1.已知二次函数y=x2+(m-1)x+m-2的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1<x2.(1)若x1x2<0,且m为正整数,求该二次函数的表达式;(2)若x1<1,x2>1,求m的取值范围;(3)是否存在实数m,使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C(0,2),若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;(4)若过点D(0,12)的直线与(1)中的二次函数图象相交于M、N两点,且MDDN=13,求该直线的表达式.题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题例2已知二次函数y=x2+mx+m-5,(1)求证:不论m取何值时,抛物线总与x轴有两个交点;(2)求当m取何值时,抛物线与x轴两交点之间的距离最短.11题型三、抛物线方程的整数解问题例1.已知抛物线222(1)0yxmxm与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且m<5,则整数m的值为_____________例2.已知二次函数y=x2-2mx+4m-8.(1)当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围;(2)以抛物线y=x2-2mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN(M,N两点在拋物线上),请问:△AMN的面积是与m无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由;(3)若抛物线y=x2-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数..m的值.题型四、抛物线与对称,包括:点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1.已知抛物线2yxbxc(其中b0,c≠0)与y轴的交点为A,点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n),且AB=2.(1)
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