三角恒等变换的常见技巧

三角恒等变换的常见技巧注：有*的内容选看！一、教学内容：三角恒等变换的常见技巧二、学习目标1、掌握引入辅助角的技巧；2、掌握常见的拆、拼角技巧；3、掌握公式的变用、逆用技巧；4、掌握三角对等式、齐次式的处理技巧；5、掌握弦切互化、异名化同名、异次化同次、异角化同角等变形技巧三、知识要点1、三角恒等变换中的“统一”思想：三角恒等变换的主要目的是异名化同名、异次化同次、异角化同角、异构化同构，即化异为同，也就是将待证式左右两边统一为一个形式，或将条件中的角、函数式表达为问题中的角或函数式，达到以已知表达未知的目的。基本切入点是统一角，往往从统一角入手便能全面达到化异为同的目的。2、统一思想的应用——引入辅助角：对xbxaycossin型函数式的性质的研究，我们常常引入辅助角。即化abxbaxbxaytan),sin(cossin22，然后将该式与基本三角函数xAsiny进行比照研究。“位置相同，地位平等”是处理原则。3、统一思想的应用——拆、拼角，如22，，等等；4、统一思想的应用——弦切互化，如利用万能公式，把正余弦化为正切等等；对关于正余弦函数的齐次式的处理也属于“弦化切”技巧；5、统一思想的应用——公式变、逆用，主要做法是将三角函数式或其一部分整理成公式的一部分，然后利用公式的这一部分与另一部分的等量关系代入*6、代换思想的应用——关于正余弦对等式的处理，常以21txcosxsin,txcosxsin2代入，把函数式化为关于t的函数式进行研究；另外，三角代换也是处理函数最值、值域等问题的重要技巧。四、考点解析与典型例题考点一引入辅助角研究三角函数的性质例1.设f（x）=asinx+bcosx（0,,ba）的周期为且最大值f（12）=4；1）求、a、b的值；2）若、为f（x）=0的两个根（、终边不共线），求tan（+）的值。【解】1）abxbaxftan),sin()(22，则32b2a23abtan21)12sin(24ba4ba)12(f)x(f,)x(f2222max周期为由上可知：)32sin(4)(xxf，令26320)(kxkxxf因为、终边不共线，故33)tan(2123k考点二拆、拼角例2.已知cos（91)2，sin（2－）=32，且,20,2求.2cos【分析】观察已知角和所求角，可作出)2()2(2的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。【解】.2757329543591)]2()2cos[(2cos,35(1)2cos(,954(1)2sin(.224,24,20,2)32)9122.2757329543591)]2()2cos[(2cos,35(1)2cos(,954(1)2sin(.224,24,20,2)32)9122×.2757329543591)]2()2cos[(2cos,35(1)2cos(,954(1)2sin(.224,24,20,2)32)9122考点三化弦为切例3.当π04x时，函数22cos()cossinsinxfxxxx的最小值是（）．（A）4（B）12（C）2（D）14【解析】注意到函数的表达式的分子与分母是关于sinx与cosx的齐二次式，所以，分子与分母同时除以2cosx转化为关于tanx的函数进行求解．因为π04x，所以1xtan0，所以2211()4tantan11tan24fxxxx≥．故选（A）．考点四巧用公式例4.求28tan17tan28tan17tan的值。【解】原式=128tan17tan)28tan17tan1(45tan28tan17tan)28tan17tan1)(2817tan(128tan17tan)28tan17tan1(45tan28tan17tan)28tan17tan1)(2817tan(【说明】对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用tantan1tantan)tan(的变形式).tantan1)(tan(tantan考点五“1”的拆变例5.已知πtan24，求212sincoscos的值．【分析】由已知易求得tan的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为22sincos，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．【解】由π1tantan241tan，得1tan3，于是原式2222sincostan122sincoscos2tan13．【说明】对于题中所给三角式中的常数（如：231323，，，等），比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，如xxxxcottan4tancossin122等，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用．考点六三角代换*例6.已知正数121,,baba，求minba。【解】223cossin2sincos3cos)cos(sin2sincossincos2sin1cos2,sin122222222222222xxxxxxxxxxxxbaxbxa【说明】本题解题方法十分丰富，以下方法仅供参考：法一：22323)21()(1)(abbababababa；法二：设bxaxba代入条件式，解出22bbbx然后利用数形结合或函数最值求解方法或利用求导方法或利用不等式知识求解；法三：由条件式解出2bba代入22bbbba，下同法二。五、数学思想方法三角函数式恒等变形是三角函数最重要的学习内容，无论是研究三角函数式的性质，或是三角函数式的化简、求值和证明，都需要对三角函数式进行恒等变形，方法和技巧十分丰富，其中也蕴含着数形结合、化归、函数与方程、换元、等量代换、图形变换等诸多思想方法，学习中要注意对典型题型和典型方法进行总结整理，加强对数学思想方法的培养和训练，以及对数学思维品质的培养和训练。【模拟试题】一、选择题1、函数y=cos4x–sin4x的最小正周期是A、2B、C、2D、42、对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是A.sin（α+β）sinα+sinβB.sin（α+β）cosα+cosβC.cos（α+β）sinα＋sinβD.cos（α+β）cosα＋cosβ3、已知∈（2，），sin=53，则tan（4）等于A.71B.7C.－71D.－74、10cos270sin32=A.12B.22C.2D.325、已知tan2，则22sinsincos2cosA.43B.54C.34D.456、若cos22π2sin4，则cossin的值为A.72B.12C.12D.72*7、已知ABC中，12cot5A，则cosAA.1213B.513C.513D.1213二、填空题8、tan10tan20＋3（tan10＋tan20）的值为9、函数22cossin2yxx的最小值是_____________________.三、解答题10、化简：50sin10cos)310(tan11、已知),2sin(sinm求证：).1(tan11)tan(mmm*12、已知：Rba、，且1ba，求证：225)1()1(22bbaa。13、设函数2()sin()2cos1468xxfx．（Ⅰ）求()fx的最小正周期．（Ⅱ）若函数()ygx与()yfx的图像关于直线1x对称，求当4[0,]3x时()ygx的最大值．