数控机床编程与操作7、数控加工图形的数学处理

第7讲数控加工图形的数学处理7.1数控机床编程中的图形数学处理内容7.2直线和圆弧轮廓基点计算方法7.3非圆曲线的节点计算7.4刀位点轨迹坐标的计算第11讲数控机床编程中的图形数学处理对零件图形进行数学处理（又称数值计算）是数控编程前的主要准备工作，对手工编程还是自动编程都是必不可少的。图形的数学处理就是根据零件图样的要求，按照已确定的加工路线和允许的编程误差，计算出数控系统所需输入的数据。11.1数控机床编程中的图形数学处理内容对图形的数学处理一般包括两个方面：①根据零件图样给出的形状、尺寸和公差等直接通过数学方法（如三角、几何与解析几何法等）计算出编程时所需要的有关各点的坐标值、圆弧插补所需要的圆弧圆心、圆弧端点的坐标数值，即计算零件轮廓的基点和节点坐标，以便编制加工程序；第11讲数控机床编程中的图形数学处理②按照零件图给出的条件还不能直接计算出编程时所需要的所有坐标值，也不能按零件图给出的条件直接进行工件轮廓几何要素的定义来进行自动编程时，那么就必须根据所采用的具体工艺方法、工艺装备等加工条件，对零件原图形及有关尺寸进行必要的数学处理或改动，才可以进行各点的坐标计算和编程工作。第11讲数控机床编程中的图形数学处理1．数值换算（1）选择原点、换算尺寸原点是指编制加工程序时所使用的编程原点。加工程序中的字大部分是尺寸字，这些尺寸字中的数据是程序的主要内容。同一个零件同样的加工，如果原点选择不同，尺寸字中的数据就不一样，所以编程之前首先要选定原点。从理论上讲原点选在任何位置都是可以的。但实际上为了换算尽可能简便，以及尺寸较为直观（至少让部分点的指令值与零件图上的尺寸值相同），应尽可能把原点的位置选得合理些。第11讲数控机床编程中的图形数学处理车削件的编程原点X向应取在零件的回转中心，即车床主轴的轴心线上，所以原点的位置只在Z向做选择。原点Z向位置一般在工件的左端面或右端面两者中做选择。如果是左右对称的零件，Z向原点应选在对称平面内，这样同一个程序可用于调头前后的两道加工工序。对于轮廓中有椭圆之类非圆曲线的零件，Z向原点取在椭圆的对称中心较好。（2）标注尺寸换算在很多情况下，因其图样上的尺寸基准与编程所需要的尺寸基准不一致，故应首先将图样上的基准尺寸换算为编程坐标系中的尺寸，再进行下一步数学处理工作。1）直接换算。直接通过图样上的标注尺寸，即可获得编程尺寸的一种方法。进行直接换算时，可对图样上给定的基本尺寸或极限尺寸的中值，经过简单的加、减运算后即可完成。第11讲数控机床编程中的图形数学处理例如，在图1b中，除尺寸37.32mm外，其余均属直接按图1a标注尺寸经换算后得到编程尺寸。其中，φ50.95mm、φ17mm及φ120.05mm三个尺寸为分别取两极限尺寸平均值后得到的编程尺寸。在取极限尺寸中值时，如果遇到有第三位小数值（或更多位小数），基准孔按照“四舍五入”的方法处理，基准轴则将第三位进上一位，例如：①当孔尺寸为φ300mm时，其中值尺寸值取φ30.04mm；+0.072②当轴尺寸为φ26-0.05mm时，其中值尺寸取25.975＋0.005为φ25.98mm；0③当孔尺寸为φ260mm时，其中值尺寸取φ26.03mm。+0.05第11讲数控机床编程中的图形数学处理2）间接换算指需要通过平面几何、三角函数等计算方法进行必要解算后，才能得到其编程尺寸的一种方法。用间接换算方法所换算出来的尺寸，是直接编程时所需的基点坐标尺寸，也可以是为计算某些基点坐标值所需要的中间尺寸。图1b中所示的尺寸37.32mm就是间接换算后得到的编程尺寸。2．尺寸链计算如果仅仅为得到其编程尺寸，只须按上述方法即可。但在数控加工中，除了需要准确地得到其编程尺寸外，还需要掌握控制某些重要尺寸的允许变动量，这就需要通过尺寸链解算才能得到。第11讲数控机床编程中的图形数学处理在数控加工中，除了要准确地获得编程尺寸外，还要掌握控制某些重要尺寸的允许变动量，这就要通过尺寸链解算才能得到，故尺寸链解算是数学处理中的一个重要内容。尺寸链的基本概念：在机器装配或零件加工过程中，由相互连接的尺寸形成的封闭尺寸组，称为尺寸链。尺寸链按其功能分为设计尺寸链和工艺尺寸链。（1）设计尺寸链组成尺寸全部为设计尺寸形成的尺寸链即为设计尺寸链，它又分为两种：一种是装配尺寸链。即全部组成尺寸为不同零件设计尺寸所形成的尺寸链。另一种是零件尺寸链。即全部组成尺寸为同一零件的设计尺寸所形成的尺寸链。第11讲数控机床编程中的图形数学处理（2）工艺尺寸链组成尺寸全部为同一零件的工艺尺寸所形成的尺寸链即为工艺尺寸链。所谓工艺尺寸，是加工要求而形成的尺寸，如工序尺寸、定位尺寸等。（3）尺寸链简图如图2a所示，设计图样上标注的设计尺寸为A1、A0，钻孔时若以左侧面为定位基准，则A2及A1为钻孔时的工艺尺寸（或工序尺寸），A0则变为加工过程中最后形成的尺寸。此时，A1、A2、A0形成封闭外形，如图2b所示。绘制工艺尺寸链简图时，应由加工中自然形成的尺寸画起，然后依次给出与该处尺寸要求有关的尺寸。第11讲数控机床编程中的图形数学处理（4）尺寸链的环列入尺寸链中的每一个尺寸都称为尺寸链中的“环”。由长度尺寸表示的环则称为长度环，并用大写斜体字母A、B、C…表示。每个尺寸链中至少应有3个环。1）封闭环2）组成环在零件加工或机器装配过程中，最后自然形成（间接获得）的环称为封闭环。封闭环以加下标“0”表示，如图2b中的A0是封闭环。一个尺寸链中只能有一个封闭环。尺寸链中除封闭环以外的其余各环均称为组成环。同一尺寸链中的组成环用同一字母、不同的下标表示，如图2b中的A1、A2都是组成环。第11讲数控机床编程中的图形数学处理3）增环4）减环在尺寸链简图上，任意假设一个旋转方向，即由尺寸链中任何一环的基准出发，绕该链轮廓转一周，并回到出发基准。按该旋转方向（顺、逆时针）给每个环标出箭头，如图2b所示。凡是其箭头方向与封闭环相反的为增环，箭头方向与封闭环相同的则为减环。在其他组成环（尺寸）不变的条件下，当某个组成环增大时，封闭环亦随之增大，则该组成环称为增环。增环用字母上加符号“→”表示。在其他组成环不变的条件下，当某个组成环增大时，封闭环却随之减小，则该组成环称为减环。减环用字母上加“←”符号表示。第11讲数控机床编程中的图形数学处理（5）解尺寸链在手工编程工作中，为了使图样上的给定尺寸符合工艺要求和编程的需要，常常要计算封闭环的各有关尺寸，或根据已知的封闭环去计算所需的某个组成环，这些解算工作称为解封闭环。下面介绍采用完全互换法中的极值法求解封闭环的过程。1）封闭环的基本尺寸封闭环的基本尺寸等于所有增环的基本尺寸之和减去所有减环的基本尺寸之和，其计算分式为：nnLLL0式中：L0——封闭环的基本尺寸；Ln——n个环的基本尺寸。第11讲数控机床编程中的图形数学处理2）封闭环的最大极限尺寸封闭环的最大极限尺寸等于所有增环的最大极限尺寸之和减去所有减环的最小极限尺寸之和，其计算公式为：min,max,max,0nnLLL式中：L0,max——封闭环的最大极限尺寸；Ln,max——n个环的最大极限尺寸；Ln,min——n个环的最小极限尺寸。第11讲数控机床编程中的图形数学处理max,min,min,0nnLLL式中：L0,min——封闭环的最小极限尺寸。如因验算或工艺要求需要解算出封闭环的极限偏差或公差，则可按有关尺寸公差的知识解决。3）封闭环的最小极限尺寸封闭环的最小极限尺寸等于所有增环的最小极限尺寸之和减去所有减环的最大极限尺寸之和，其计算公式为：第11讲数控机床编程中的图形数学处理11.2直线和圆弧轮廓基点计算方法1.基点的含义一个零件的轮廓曲线可能由许多不同的几何要素所组成，如直线、圆弧、二次曲线等。构成零件轮廓的不同几何要素的交点或切点称为基点。如直线与直线的交点，直线与圆弧的交点或切点，圆弧与二次曲线的交点或切点等。基点坐标是编程中需要的重要数据，可以直接作为其运动轨迹的起点或终点，如图3所示。2.基点坐标计算基点坐标计算的主要内容有：每条运动轨迹（线段）的起点或终点在选定坐标系中的坐标值和圆弧运动轨迹的圆心坐标值。第11讲数控机床编程中的图形数学处理基点坐标计算的方法比较简单，一般可根据零件图纸所给已知条件用人工完成。即依据零件图纸给定的尺寸，运用代数、三角、几何或解析几何的有关知识，直接计算出数值。例如图4中，基点A、B、D、E的坐标值，从图中给出的尺寸可以很容易地得到，如A（0，0），B（0，12），D（110，26），E（110，0）。但基点C是过B点的直线与圆心为O2、半径为30的圆弧的切点，这个尺寸，图中并未直接给出，要用解联立方程组的方法，才能求出切点C的坐标。第11讲数控机床编程中的图形数学处理求C点的坐标值有多种方法，这里采用直线方程与圆方程联立求解的方法。先求出直线BC的方程，然后与圆心为O2、半径为30的圆的方程联立求解。为了计算方便，可先将坐标原点选在B点上，构成新的坐标系。由图可知，在新的坐标系中，圆心为O2、半径为30的圆方程是：222301480YX过B点的直线方程为Y=kX。直线BC的方程当然也如此。此时k=tan（α＋β）。为求k值，应求出α及β值。由图可知：第11讲数控机床编程中的图形数学处理tanα=（26－12）／80=0.175α≈11．029°而BO2==81.215，CO2=30，228014Sinβ=CO2／BO2≈0.3694，于是：β≈24.087°；tan（α＋β）≈0.6153即k=0．6153。将两方程联立：222301480YXY=0.6153X可求得以B为原点的C点坐标是（64.278，39.550）。第11讲数控机床编程中的图形数学处理换成编程用的以A点为原点的坐标值，则得C（64.278，51.550）。在计算时，要注意将小数点后边的位数留够，以保证足够的精度。求其他零件几何元素的基点坐标与上例类似。从原理上讲，求基点坐标是比较简单的，但运算过程可能十分繁杂。因此，为了提高编程效率，应尽量使用自动编程系统或用计算机辅助完成坐标数据的计算。第11讲数控机床编程中的图形数学处理11.3非圆曲线的节点计算当被加工零件轮廓形状与机床的插补功能不一致时，如在只有直线和圆弧插补功能的数控机床上加工椭圆、双曲线、抛物线、阿基米德螺旋线或用一系列坐标点表示的列表曲线时，就要用直线或圆弧去逼近被加工曲线。这时，逼近线段与被加工曲线的交点就称为节点。如图5所示的曲线当用直线逼近时，其交点A、B、C、D、E、F等即为节点。在编程时，要计算出节点的坐标，并按节点划分程序段。节点数目的多少，由被加工曲线的特性方程（形状）、逼近线段的形状和允许的插补误差来决定。第11讲数控机床编程中的图形数学处理显然，当选用的数控机床系统具有相应几何曲线的插补功能时，编程中的数值计算是最简单的，只需求出基点坐标，而后按基点划分程序段就行了。但一般数控机床不具备二次曲线与列表曲线的插补功能，因此就要用逼近法加工，这就需要求出节点的数目及其坐标值。为了编程方便，一般都采用直线段去逼近已知的曲线，这种方法称为直线逼近，或称线性插补。常用的逼近方法主要有等间距直线逼近法、等弦长直线逼近法、等误差直线逼近法和圆弧逼近法等。第11讲数控机床编程中的图形数学处理1.非圆曲线的节点计算用直线或圆弧逼近曲线y=f（x）时，节点的数目及其坐标值主要取决于曲线的特性、逼近段的形状及允许的逼近误差。根据这三个条件，可以用数学方法求出各节点的坐标，采用直线还是圆弧作为逼近线段，主要根据是在保证逼近精度的前提下，使节点数目尽量少，这样程序段数目少，计算简单。对于曲率半径大的曲线用直线逼近较为有利，若曲率半径较小则用圆弧逼近较为合理。下面介绍常用的几种节点计算方法。第11讲数控机床编程中的图形数学处理（1）等间距直线逼近法这种方法是使每一个程序段中的某一个坐标的增量相同。在直角坐标系中，可令X坐标的增量相同。如图6所示，已知方程Y=f