研究生固体物理-第三章-晶格振动与晶体的热学性质(上)

第三章晶格振动与晶体的热学性质§3.1一维单原子链的振动一、运动方程及其解nn+1n+2n-1n-2nn+1n+2n-1n-2aa1nnnf只考虑最近邻原子间的相互作用：1nn112nnn：力常数第n个原子的运动方程：112nnnnmnitnaqAe试解——格波方程2112itnaqitnitnaqaitnaqqAmAeAeeAe222cos1iaqiaqmeeaq12sin2aqm解得——色散关系二、格波的简约性质、简约区qaa——简约区12sin2aqm——色散关系a-a02a2a-q(q)q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单位距离两点间的振动位相差。Aitnaqe：格波Aitxqe：连续介质弹性波格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相4a3a2aa例：14a245a1122qa22252qa212qqaq取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则晶格振动状态不同。若2qqa则与描述同一晶格振动状态。qq三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）nnN12nNN+1N+2N+nnaqtinqnNtiAeAehNaq2h=整数1iNaqe21ihe在q轴上，每一个q的取值所占的空间为Na2q的分布密度：22LNaqL＝Na——晶体链的长度晶格振动格波的总数=N·1简约区中波数q的取值总数222Naqaa＝N＝晶体链的原胞数=晶体链的自由度数四、格波的简谐性、声子概念1,qinaqQqteNm212nnTm晶体链的动能：2112nnnU晶体链的势能：2211122nnnnnHm系统的总机械能：nitnaqAejjjj频率为j的特解：jnitnaqAejjj方程的一般解：线性变换系数正交条件：,1qqninaqqeN系统的总机械能化为：2**1,,,,2qHQqtQqtqQqtQqtQ(q,t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标，称为简正坐标。运动方程：,,0QqtqQqtjj2j•声子是晶格振动的能量量子j声子的概念：•一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子,nj：声子数。晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种振动模式。jjj12En能量本征值：j0,1,2,n•声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子,只是一种准粒子。•当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以为单元交换能量。j•声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。•由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：Njjj=112En§3.2一维双原子链的振动一、运动方程及其解aMm{nnn-1n+1运动方程：12nnnnM12nnnnm{试解：{itnaqnAe12itnaqnBe(设Mm)考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链只考虑近邻原子间的弹性相互作用{21222cos0MAaqB2122cos20aqAmB代入方程:22121222cos02cos2Maqaqm久期方程：2222cosMmMmMmaqMm2212411sinMmMmaqMmMm＝简约区：aqa对于不在简约区中的波数q’，一定可在简约区中找到唯一一个q，使之满足：2qqGaG为倒格矢q-/a/a-+0两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波；－：声学波）二、光学波和声学波的物理图象第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比12122122cos2nniaqiaqaqeAeBM1222122cosRe2cosiaqimaqeMmMmMmaqR:大于零的实数，反映原胞中P、Q两种原子的振幅比，:两原子的振动位相差。1.光学波（opticalbranch）1222122cos2cosnniaqmaqeMmMmMmaq1222122cos2cosiaqimaqeReMmMmMmaqqaa12cos0aq12aq1ie322＋在Ⅱ、Ⅲ象限之间，属于反位相型。物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动。当q0时，＋，原胞中两种原子振动位相完全相反。Mmqnn0离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。对于单声子过程（一级近似），电磁波只与波数相同的格波相互作用。如果它们具有相同的频率，就会发生共振。光波：＝c0q，c0为光速=c0q0q(q)+(0)+对于实际晶体，＋(0)在1013~1014Hz，对应于远红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在＋(0)附近的强烈吸收。11222cos222cosiaqimaqeReMmMmaqMmaqMmmMmMeaqmaqinncos2cos22221212.声学波（acousticbranch）aq2122即：－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同位相型物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动。aqmMMmMmmM21222sin4111222411MmMmaqMmMm2222221122MmMmaqaqMmMmMmq0时当q0时，原胞内两种原子的振动位相完全相同。0,这与连续介质的弹性波＝vq一致。122aqqMm当q0时10qnn在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以我们将这种晶格振动称为声学波或声学支。(q)q＋－0aa2M2m112Mmaq2aM2am0q001102Mm三、周期性边界条件周期性边界条件：nnN2qhNah=整数，N：晶体链的原胞数q的分布密度：.22NaLqconst1iNaqe2qNa＝{简约区中q的取值总数＝晶体的原胞数晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关系式（s支格波），其中：1支声学波,（s-1）支光学波。晶格振动格波的总数＝sN＝晶体的自由度数。§3.3三维晶格振动一、三维简单晶格的振动112233Raaa第ℓ个原子的位矢:0ll-l’l’在简谐近似下，系统的势能为（取平衡时U0＝0）：,,,21CU1,,2,1,0,3,2,1,N(l)和(l’)分别是第l和第l’个原子沿和方向的位移。,,02CUC力常数第l个原子的运动方程：,,CUm这里考虑了晶体中所有原子的相互作用。晶体中各力常数之间并不全是独立的，而必须满足：,0C，＝1，2，3由晶格的周期性，得,,0CCC设格波解：RqtieA带入运动方程得：20mA，＝1，2，3iCe＝qRR其中0233323123222211312211mmm久期方程可以解得与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个方向的振动，即三支声学波：一支纵波，两支横波。推广：对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由运动方程可以解得3s个与q的关系式（即色散关系式），对应于3s支格波，其中3支为声学波（一支纵波，两支横波），3(s－1)支为光学波。二、布里渊区对于第j支格波，设有两个波矢q和q’所描述的晶格振动状态完全相同，有ititeeqqRqqRμAAjjjjj上式对于任意时刻t和任意的格矢Rl都成立，有：ittieejjqqqqRiteCieCjjqqqqRqqjj2hqqR11由于2hnGRGn为倒格矢，h为整数有q’-q＝±Gn，（由于Rl为任意格矢）在q空间中，j(q)是以倒格矢Gn为周期的周期函数，仍可将波矢q限制在简约区或第一布里渊区中。即：j(q±Gn)=j(q)将原点取在简约区的中心，在布里渊区边界面上周期对应的两点间应满足关系：0Gnqq’GnqqqGn22qqnG220qnnGG12GGGqnnn——布里渊区边界面方程布里渊区的几何作图法：根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一个倒格点为原点；布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。由近到远作各倒格矢的垂直平分面；在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积，即为简约区或第一布里渊区。简约区就是倒易空间中的Wigner－Seitz原胞。1ⅡⅡ2233可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积b。正格子格常数倒格子格常数简约区scasc由6个{100}面围成的立方体bccafcc由12个{110}面围成的正12面体fccabcc由8个{111}面和6个{100}面围成的14面体4a4a2abcc晶格的简约区fcc晶格的简约区三、周期性边界条件设N1、N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数，晶体的总原胞数为：N＝N1N2N3。周期性边界条件：jjNRRa第j支格波：＝1,2,3jjjjiittNeeqRqRaAA1iNeaq2Nhqah=整数令112233qbbb112233NNqabbba22Nh312123123hhhNNNqbbbh1,h2,h3＝整数2abhN＝1