研究生固体物理-第七章-晶体中电子在电场和磁场中的运动

第七章晶体中电子在电场和磁场中的运动在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。222UVEmrr解含外场的波动方程处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法：条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等。§7.1准经典运动一、波包与电子速度设波包由以k0为中心，在k的范围内的波函数组成，并假设k很小，近似认为0kkuxux不随k而变对于一确定的k，含时的Bloch函数为,ikxtkkxteux1kEk在晶体中，可以用含时间的Bloch函数来组成波包。一维情况：波包0202,kkkikxtkkxteuxdk02002kkkikxtkkuxedk000022,expkkikxtkkdxtuxeixtddk0000022sinkikxtkkkddkddkxtuxext0kkuxux令0kk00kdkdk分析波包的运动，只需分析2，即概率分布即可。000222222sin,kkkkddkkddkxtxtuxkxt令0kdwxtdkw2k2k0222sinkkww波函数主要集中在尺度为的范围内，2k波包中心为：w＝0即001kkddExttdkdk若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为001kdxdEvkdtdkEkk布里渊区的宽度：2/a即2ak三维情况：1Ekv电子速度为条件：k很小2ka以a为周期，并不会改变波包的形状。02kux电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即沿等能面的法线方向。在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因此，v的方向一般并不是k的方向；电子的运动方向决定于等能面的形状有当等能面为球面，或在某些特殊方向上，v才与k的方向相同。kxkykv电子运动速度的大小与k的关系以一维为例：0dEdk在能带底和能带顶，E(k)取极值，在能带底和能带顶，电子速度v＝0220dEdk在能带中的某处，电子速度的数值最大与自由电子的速度总是随能量的增加而单调上升是完全不同的。二、电子的准动量在外场中，电子所受的力为F，在dt时间内，外场对电子所做的功为Fvdt功能原理：dtdEEdkFvk1Ekv0ddtkFv当F与速度v垂直时，可由冲量定理证明在垂直于v的方向上，和外力F的分量也相等。ddtkddtk在平行于v的方向上，和F的分量相等；这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具有与经典力学中牛顿定律相似的形式。k——电子的准动量ddtkF晶体中的电子在碰撞过程中所贡献的动量为。kBloch电子ieukrkkrr的行为类似于波长为的平面波，再由deBroglie关系得其具有的动量。k2k三、电子的加速度和有效质量晶体中电子准经典运动的基本关系式：1EddtkvkF{由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。1.一维情况1dvddEadtdtdk221dkdEdtdk222dEdkF引入电子的有效质量：222*dEdkm在周期场中电子的有效质量m*与k有关220dEdkE(k)取极小值，E(k)取极大值，220dEdk*dvFmdt在能带底：在能带顶：m*0；m*02.三维情况1ddEdtdtkva分量形式：1dvdEadtdtk23211EFkk＝1,2,31dEdtkkk311dkEdtkk矩阵形式：22222222222221xxyxzxxyyyxyyzzzzxzyzEEEkkkkkvFEEEvFkkkkkvFEEEkkkkk牛顿定律：1mvF这里用二阶张量代替了1m1*m222222222222211xxyxzyxyyzzxzyzEEEkkkkkEEEmkkkkkEEEkkkkk电子的加速度方向并不一定与外力的方向一致。倒有效质量张量是对称张量，如将kx、ky、kz取为张量的主轴方向，可将其对角化。倒有效质量张量：222222210000111000010000xxyyzzEkmEmkmEmk在主轴坐标系中：1,xxxdvFdtm1,yyydvFdtm1zzzdvFdtm例：求简单立方晶体s态电子的有效质量012coscoscossxyzEJJkakakak,1,2,3即kx,ky,kz为张量的主轴方向2212122cos2xxxEkmkaaJ2212122cos2yyyEkmkaaJ2212122cos2zzzEkmkaaJ212cosaJka02Ekk有效质量的三个主分量均与J1成反比，若原子间距越大，J1越小，则有效质量就越大。在能带底点：k=(0,0,0)：22102xyzmmmmaJ有效质量张量退化为一个标量22100000200xxxmmmaJm在能带顶R点：,,aaak22102xyzmmmmaJ在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的，退化为一标量，这是立方对称的结果。在X点：,0,0ak2210,2xmaJ22102yzmmaJ有效质量不仅可以取正，也可以取负，在能带底附近（E(k)极小），有效质量总是正的；而在能带顶附近（E(k)极大），有效质量总是负的。有效质量是一个很重要的概念，它把晶体中电子准经典运动的加速度与外力联系起来。有效质量中包含了周期场对电子的作用。在一般情况下，有效质量是一个张量，在特殊情况下也可以退化为标量。四、有效质量的物理解释电子的真实动量：mpv一维情况下：由于周期场对电子的作用力（晶格力）比较复杂，并且往往事先不能知道，而且晶格对电子的作用是量子效应，是不能用经典的方法来处理。dvmFdt合牛顿定律：F外：外场对电子的作用力F晶：周期场即晶格对电子的作用力，称为晶格力FF晶外＋Fdvmmdtm外即Fdvdtm外其中FmmFF外晶外——电子有效质量有效质量包含了周期场的影响，所以，有效质量有别于电子的惯性质量。对于自由电子：F晶＝0，所以，m*＝m。周期场中的电子已不是自由电子，它在运动过程中总是受到周期场的作用，即F晶0。我们只是为了讨论电子运动的方便，在形式上把它看成一个“自由粒子”，将周期场的作用归并到有效质量中，而将电子对外场的响应写成类似于经典牛顿定律的形式。这时，有效质量在电子运动中所起的作用就类似于粒子质量的作用。这就是电子的有效质量m*为何与电子的真实质量m可以有很大差别的物理原因。有效质量m*既可以小于m，也可以大于m，甚至还可以为负值。这都取决于晶格力的大小与正负，即周期场对电子运动的影响。这种影响主要通过在布里渊区边界附近发生Bragg反射而在电子与晶格之间交换动量这种形式反映出来的。220dEdk在能带底：电子的能量取极小值，电子从外场所获得的动量大于电子交给晶格的动量，因而表现为具有正的有效质量m*0；在能带顶：220dEdk电子从外场所获得的动量小于它交给晶格的动量，因而表现为具有负的有效质量m*0。由于在能带底220dEdk，而在能带顶220dEdk在拐点处，F外＝－F晶，所以m*。当F外－F晶时，m*0；而当F外－F晶时，m*0。220dEdk在能带中的某处必有一拐点，由于F外只是外场对电子的作用力，它并不是电子所受的合外力，因此，并不是电子的真实动量，而是电子的准动量就不难理解了。kk电子的有效质量和电子的准动量是两个人为引入的物理量，至少我们可以在形式上不必考虑晶格力，而只考虑外场力对电子运动的影响。在讨论晶体中电子的准经典运动时，是一个很有用的量，它往往比电子的真实动量mv更有用。这是因为在k空间中去理解电子的运动往往比在真实空间中更容易。§7.2在恒定电场作用下电子的运动一维紧束缚近似：012cosiiEkJJkai：某原子能级设J10，则k＝0点为能带底；k＝/a为能带顶112sindEaJvkkadk电子速度：2221222cosdEdkmaJka有效质量：在k=/2a处，v(k)分别为极大和极小；而m*。在能带底k=0和能带顶k=/a处，电子速度v(k)=0；一、在k空间中的运动图象若沿-x方向加一恒定电场，电子受力：F=e沿+x方向这表明电子在k空间中做匀速运动。由dkedtE.dkeconstdtE在准经典运动中，电子在同一能带中运动。电子在k空间中的匀速运动意味着电子的能量本征值沿E(k)函数曲线周期性变化，即电子在k空间中做循环运动。电子在k空间中的循环运动，表现在电子速度上是v随时间作周期性振荡。二、在实空间中的运动图象Ex=0ABC电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡。附加电势能：exEExexE由于电子在运动过程中不断受到声子、杂质和缺陷的散射，上述的振荡现象实际上很难观察到。若相邻两次散射（碰撞）间的平均时间间隔τ很小，电子还来不及完成一次振荡过程就已被散射。2aeeaT简约区的宽度电子在空间的速度k在晶体中：10－12－10－13s，a3×10－10m为了观察到电子振荡的全过程，要求T对金属：无法实现高电场满足要求所需加的电场：104105V/cm对绝缘体：将被击穿电子振荡周期：在准经典运动中，当电子运动到能隙时，将全部被反射回来。而根据量子力学，电子遇到势垒时，将有一定概率穿透势垒，而部分被反射回来。电子穿透势垒的几率与势垒的高度（即能隙Eg）和势垒的长度（由外场决定）有关。2expggEε2mE概－e穿透率§7.3导体、绝缘体和半导体的能带论解释在k空间中，对于同一能带有EEnnkk对于同一能带，处于k态和处于－k态的电子具有大小相等方向相反的速度。nnEE11kkvkkkvk当没有外加电场时，在一定温度下，电子占据k态和－k态的概率相同，这两态的电子对电流的贡献相互抵消。所以，无宏观电流I＝0。nE1kvkk在有电场存在时，由于不同材料中电子在能带中的填充情况不同，对电场的响应也不同，导电能力也各不相同。一、满带、导带和近满带中电子的导电能力，空穴概念近满带：能带的绝大部分能态已填有电子，只有少数能态是空的满带：能带中所有的能态均已被电子所填满导带：能带中只有部分能态填有电子，而其余的能态为没有电子填充的空态1.满带满带中电子的对称分布不会因外场的存在而改变，所以不产生宏观电流，I＝0。2.导带在外电场的作用下，导带中电子的对称分布被破坏，产生宏观电流，I0。3.近满带和空穴假设近满带中有一