高等数学-微积分下-精华试卷-华南理工大学-(2)

一、选择题（每小题3分，共15分）1）若,zfxy在点00,xy处可微，则下列结论错误的是（B）A、,fxy在点00,xy处连续B、,,,xyfxyfxy在点00,xy处连续C、,,,xyfxyfxy在点00,xy处存在D、曲面,zfxy在点0000,,,xyfxy处有切平面2）二重极限22400limxyxyxy值为（D）A、0B、1C、12D、不存在3）已知曲面的方程为2210zxyz，则2222441xyzdSxy（B）A、2B、C、1D、2分析：2222222222222211441441441xyxyzxyxydSxydxdyxyxy2211xydxdy4）已知直线34:273xyzL和平面:4223xyz则（B）A、L在内B、L与平行，但L不在内C、L与垂直D、L不与垂直，L不与平行5）用待定系数法求微分方程232yyyx的一个特解时，应设特解的形式y（B）A、2axB、2axbxcC、2xaxbxcD、22xaxbxc二、填空题（每小题3分，共15分）1）arctanxzy，则dz2222yxdxdyxyxy2）曲线L为原点到点1,1的直线段，则曲线积分22xyLeds的值等于21e3）交换积分次序后，ln10,exdxfxydy10,yeedyfxydx4）函数22zxxyy在点1,1沿方向2,1l的方向导数为3555）曲面23zzexy在点1,2,0处的法线方程是12420xyz三、（本题7分）计算二重积分Dxyd其中D是由抛物线2yx及直线2yx所围成的闭区域。解：原式252222111222yyydyxydxyydy2436212115831224yyyy四、（本题7分）计算三重积分zdv，其中是由柱面221xy及平面0,1zz围成的闭区域。解：方法一：利用柱面坐标计算原式2110002drdrzdz方法二、截片法原式102zdz五、（本题7分）计算xdydzydzdxzdxdy，其中为旋转抛物面22,1zxyz的上侧。解：方法一、利用两类曲面积分的联系对应侧的法向量为2,2,1xy原式22222222221122xyxyxyxydxdyxydxdy213002drdr方法二、利用高斯公式，补充曲面1并取下侧原式13dxdydzxdydzydzdxzdxdy22101312xyzdzdxdy六、（本题7分）3133xyxyLyexydxxexydy，其中L为从点,0a沿椭圆221xyba到点,0a的一段。解：原式3134xyxyLLyexydxxexydyxdy22314cos22aaxdxabdaab1七、（本题7分）设函数000,222222yxyxyxxyyxf证明：1）,fxy在点0,0处偏导数存在2）,fxy在点0,0处不可微证明：1）因为00,00,0000,0limlim0xxxfxffxx000,0,0000,0limlim0yyyfyffyy所以,fxy在点0,0处偏导数存在2）因为222200000,00,0limlimxyxxyyzfxfyxyxyxy当取ykx时222222000limlim11xxyxykkkkxy随k之不同极限值也不同，即22000,00,0lim0xyxyzfxfyxy所以此函数在0,0处不可微。八、（本题7分）设,yzxfxyx，f具有连续二阶偏导数，求2,zzyyx解：121zxxffyx，122zyfxyffxx2221111221221112222222zyyyxfxyffyffxfxyffyxxxx九、（本题7分）设xye是微分方程xypxyx的一个解，求此微分方程的通解。解：因为,xxxxepxexpxxex，原方程为11xyey这是一个一阶线性微分方程，其通解为11xxedxedxyeedxCxxxxxeexxeexyeedxCeeedxCxxxxeexxeyeeCeCe十、（本题8分）在第一卦限内作椭球面2222221xyzabc的切平面，使该切平面与三坐标平面所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。解：设000zyx,,为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为0222020020020zzczyybyxxax化成截距式方程1220220220020202czbyaxzczybyxax此切平面与坐标面围成四面体的体积为000261zyxabcV。（下面我们去掉下标0）要求xyzabcV261满足条件0z0y0x1222222,,czbyax的最小值，只需求xyzz,y,xf满足条件0z0y0x1222222,,czbyax的最大值。由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点1222222czbyaxλxyzλ,z,y,xF41302202102222222222czbyaxczxyFbyxzFaxyzFzyxzyx321得023xyz由此得333222222cz,by,ax，所以cz,by,ax333333当cz,by,ax333333时，有最小体积，最小体积为abc23。切点坐标为333,,333abc。十一、（化工类做）（本题7分）已知直线1210:320xyLxz和2112:123xyzL，证明：12//LL，并求由12,LL所确定的平面方程。证明：直线1L上任取两点0,1,2,1,1,1，则11,2,3S是1L的方向向量；2L的一个方向向量为21,2,3S，因为12//SS，所以12//LL设12,LL所确定的平面方程为0AxByCzD，它经过点1,1,2和点0,1,2,1,1,1，所以2022000ABCDADBCDBDABCDC所求方程为210xy十二、(化工类做)（本题7分）设曲线积分2Lxydxyxdy与路径无关，其中x连续可导，且00，计算1,120,0xydxyxdy。解：2,PxyQyx，222PQxyyxxxxxCyx由00得0C，所以2xx1,11,112220,00,0012xydxyxdyxydxyxdyydy