组合应用题

组合应用题课前自助餐：某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；解(1)一名女生，四名男生．故共有C15·C48＝350(种)．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)．(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：C12·C411＋C22·C311＝825(种)或采用排除法：C513－C511＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为：(5)分两类：第一类女队长当选：故选法共有：C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)．C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)．C412；第二类女队长不当选：C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44.课前自助餐：某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．高考链接(辽宁)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A．70种B．80种C．100种D．140种解析:法一(间接法)当选择的3名医生都是男的或都是女的时候，解法二(直接法)当队中有一名女医生时，共有C35＋C34＝14种方法，．从9人中选择3人一共有C39＝84种方法，所以要求男，女都有，共有84－14＝70种组队方法．当队中有2名女医生时有C14C25＝40种组法，有C24C15＝30种组法，综上，共有70种队组队方法．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()A．36种B．30种C．42种D．60种[解析]法一：(直接法)选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，故共有C12C26＋C22C16＝2×15＋6＝36种选法．法二：(间接法)从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，故共有C38－C36＝56－20＝36种选法．1甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中选两门不同的选法种数为C24C24，又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种，因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30.组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．探究提高练习1.从7名男同学和5名女同学中，选出5人，分别求符合下列条件的选法总数为多少？(1)A、B必须当选；(2)A、B都不当选；(3)A、B不全当选；(4)至少有2名女同学当选；(5)选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任.【解析】(1)只要从其余的10人中再选3人即可，有=120种；(2)5个人全部从另外10人中选，总的选法有=252种；(3)直接法:分两类：A、B一人当选，有=420种；A、B都不当选，有=252种；所以总的选法有420+252=672种；间接法:从12人中选5人的选法总数中减去从不含A、B的10人中选3人的选法总数，得到总的选法有=672种；310C510C14210CC510C531210CC(4)直接法:分四步：选2名女生，有=10×35=350种；选3名女生，有=210种；选4名女生，有=35种；选5名女生，有=1种.所以总的选法有350+210+35+1=596种；间接法：从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和，即总选法有=596种；2357CC3257CC4157CC55C551412757CCCC(5)分三步：先选1男1女分别担任体育委员、文娱委员的方法有=35种；再选出2男1女，补足5人的方法有=60种；最后为第二步选出的3人分派工作，有=6种方法.所以总的选法有35×60×6=12600种.1175CC2164CC33A高考链接．甲、乙、丙3人站在共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．解析：当每个台阶上各站1人时有A33C37种站法，当两个人站在同一个台阶上时有C23C17C16种站法，因此不同的站法种数有A33C37＋C23C17C16＝210＋126＝336种．直接法:3名骨科，内科、脑外科各1名选派种数为C33·C14·C15；高考链接(2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．5903名脑外科，骨科、内科各1名选派种数为C34·C13·C15；3名内科，骨科、脑外科各1名选派种数为C35·C13·C14；内科、脑外科各2名，骨科1名选派种数为C24·C25·C13；骨科、内科各2名，脑外科1名选派种数为C23·C25·C14；骨科、脑外科各2名，内科1名选派种数为C23·C24·C15．所以选派种数为:C33·C14·C15＋C34·C13·C15＋C35·C13·C14＋C24·C25·C13＋C23·C25·C14＋C23·C24·C15＝590.例2．一杂技团有8名演员,6人会口技,5人会魔术,今从这8人中选出2人,1人演口技,1人演魔术,有多少种不同的选法?口技魔术2a3a1a1b2b1c2c3c解2:以全能型演员为主分类:(1)都不上场;(2)1人上场;(3)2人上场所以共有选法1132CC①若演口技,则②若演魔术,则1132CC1133CC2232CA111122323332CCCCCA27.多面手问题解3:以只会口技的演员为主分类:(1)都不上场;(2)只有1人上场所以共有选法1135CC1134CC11113435CCCC27.口技魔术2a3a1a1b2b1c2c3c例2．一杂技团有8名演员,6人会口技,5人会魔术,今从这8人中选出2人,1人演口技,1人演魔术,有多少种不同的选法?解4:以只会演魔术的演员为主分类:(1)都不上场;(2)只有1人上场所以共有选法1126CC1135CC11113526CCCC27.口技魔术2a3a1a1b2b1c2c3c例2．一杂技团有8名演员,6人会口技,5人会魔术,今从这8人中选出2人,1人演口技,1人演魔术,有多少种不同的选法?变式．一杂技团有8名演员,6人会口技,5人会魔术,今从这8人中选出4人,2人演口技,2人演魔术,有多少种不同的选法?例：给下面的5个行政区域涂色，要求相邻区域不同色，现有4种颜色可供选择，问共有多少种不同的涂色方案？2315433431433244333144324132472(分两类完成）用种颜色涂色有：）用种颜色涂色有：共有种）解：CACACACACA问：用4种颜色给下面的5个行政区域涂色，要求相邻区域不同色，问共有多少种不同的涂色方案？变式练习1.如图，6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可有多少种方法？2.用6种不同的颜色给如图所示的4个格子涂色，每个格子涂1种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的2个格子不同色，不同的涂色方法共有________种．解析：若用2种颜色涂，有C26种选法相邻格异色、1个格子1种颜色的涂法有A22种，共有C26A22＝30(种)；若用3种颜色涂，有C36种选法，任选两个不相邻的格子，有3种选法，再与另两格一起涂3种颜色，则有3×A33种，共有C36×A33×3＝360(种)，综上，所求涂色方法总共有390种．错位排列（1）（湖北）将标号为1，2，3，……，10的10个球放入标号为1，2，3，……，10的10个盒子中，每个盒内放一个球，恰好有4个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法有___________种（2）编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子里，至多有2个对号入座的情形有___________种109直接法：3455552944109CCC间接法：535511109AC4109C·配对问题例从6双不同尺码的鞋子中任取4只，其中恰有2只配成双的不同取法共有（）(A)480种（B）240种（C）180种（D）120种解：12116522240CCCC练习从6双不同尺码的鞋子中任取4只，其中至少有2只配成双的不同取法共有多少种取法？44141262()255CCC元素相同问题隔板策略例.有10个相同的球，分给7个不同的盒子，每个盒子至少一个球,有多少种分配方案？解：因为10个球没有差别，把它们排成一排。相邻球之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插入6个隔板，可把球分成７份，对应地分给７个不同的盒子，每一种插板方法对应一种分法,共有___________种分法。盒子一盒子二盒子三盒子四盒子五盒子六盒子七69C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC练习题1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个球,共有多少装法？3.x+y+z+w=97求这个方程的自然数解的组数3100C49C2.x+y+z+w+h=10,求这个方程的正整数解的组数.49C例1平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线①用这9个点可以确定多少条直线？几何组合问题②用这9个点可以确定多少个三角形？【解析】①确定一条直线需要两个点，因为有4个点共线，所以这9个点所确定直线的条数为C29－C24＋1＝31.③用这9个点可以确定多少个四边形？②确定一个三角形需要三个不共线的点，所以这9个点确定三角形的个数为C39－C34＝80.③确定一个四边形需要四个不共线的点，所以这9个点确定四边形的个数为C49－C15C34－C44＝105.跟踪练习：平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？[思路点拨]解答本题可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数，也可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，．法一(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种．故这12个点构成三角形的个数为C312－C34＝216个．[精解详析]法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216个．变式训练在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形个。解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：