误差传播与算法稳定性实验报告

1《《数数值值分分析析》》实实验验分分析析报报告告姓名:学号:S20160258日期:2016.10.15班级:16022一、实验名称误差传播与算法稳定性二、实验目的体会稳定性在选择算法中的地位。误差扩张的算法是不稳定的，是我们所不期望的；误差衰竭的算法是稳定的，是我们努力寻求的，这是贯穿本课程的目标。三、实验内容计算1,2,n,110dxexExnn四、算法描述1,2,n,110dxexExnn利用分部积分可得：,3,2,111111101101101010nnEdxxeendxxenexedexedxexeEnnxnxxnxnxnn可得递推公式为：1、2,3,,1n,)1(11nnEnE2、,3,22,-N1,-Nn,111nEEnn下面分别以1，2递推关系求解方案一：2,3,,1n,)1(11nnEnE当1n时0.3678791111001edxxeeEx（保留六位有效数字）0.367879111EnEEnn,3,2n方案二；,3,22,-N1,-Nn,111nEEnn3当)1,0(x时，nxnnxexex＜＜1，1n1)1(11010101＜＜＜＜nnxnnEnedxxdxexdxex当n时，0nE这里取20n0.0325685421]211211[2120eeeE（保留六位有效数字）0.03256851201EnEEnn,3,2,19,20n五、程序流程图由于实验方案明显、简单，实现步骤及流程图省略。六、实验结果计算结果如表1-1：1-1计算结果表nnE*nE10.3678790.36787920.2642410.26424130.2072770.20727740.1708930.17089350.1455330.14553360.1268020.12680270.1123840.11238480.1009320.10093290.09161200.0916123100.08387700.0838771110.07735200.0773522120.07177500.07177334130.06692800.0669477140.06300200.0627322150.05496870.0590175160.1205000.055719217-1.0485070.0527731819.8731220.050085719-376.5893160.0483716207532.790.0325685七、实验结果分析1、通过表1-1可以看出，算法一在前15项中迭代值基本保持一致，但是从16项开始就有了较大的差别。同时：0)(0)(dxxfxf又当)1,0(x时，010dxexxn恒成立。但是算法一中当n=17、19时明显不满足。算法二相比较于算法一在目前的迭代次数下比较精确。2、设算法一中1E的计算误差为e1，由1E递推计算到nE的误差为en；算法二中NE的计算误差为N，由NE向前递推计算到nE（Nn）的误差为n。设算法一中的精确值为nE，计算值为nE；算法二中的精确值为*nE，计算值为*nE根据题设可得：算法一：1112222)21(21eEEEEe递推可得：2,1nneenn11!1enenn5算法二：同理可得：nNNNn,1NnNnNn!!)1(3、根据算法一的公式可得：当n时，ne，由此可见最后的结果误差不仅仅取决于初始值的误差，还会随着递推公式的不断运行，误差在不断的增大。当N时，0n，由此可见最后的结果误差不仅仅取决于初始值的误差，还会随着递推公式的不断运行，误差在不断的减小。4、通过前三问，可以发现算法二比算法一更加稳定。八、附录（程序）算法一：functionek=jifeng(e0,n)e(1)=vpa(e0,6);B=zeros(n,2);B(:,1)=1:n;fori=1:ne(i+1)=1-(i+1)*e(i);ek=e(i+1);B(i,2)=vpa(ek,6);endxlswrite('算法一',B,'sheet1')算法二：function[i,ek]=jifeng1(e0,n)e(n+1)=e0;B=zeros(n,2);B(:,1)=1:n;fori=n:-1:1e(i)=(1-e(i+1))/(i+1);6ek=e(i);B(i,2)=vpa(ek,6);endxlswrite('算法二',B,'sheet1')输出结果：算法一计算截图：算法二计算截图：