第十二章-振动(之二)

阻尼振动的定义：振幅随时间减小的振动阻尼分类：摩擦阻尼和辐射阻尼本章讨论的条件仅考虑摩擦阻尼，所以dtdxfrvdtdxkxdtxdm22022022xdtdxdtxd一、阻尼振动§12-3阻尼振动受迫振动共振本节讨论磨檫不为零情况下的振动km表面不光滑Frfv022022xdtdxdtxd——阻尼系数,由阻力γ系数决定。m2202时,方程的解为：220,)cos(tAext可见，阻尼振动不是简谐振动,是一种振幅随时间逐渐减小的振动。mk0——无摩擦振动时系统的固有角频率。阻尼振动的周期T：相继两次通过极大（或极小）位置所经历的时间，大于固有周期：22022T阻尼振动的位移时间曲线：teA0)cos(0teAttx——过阻尼，振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置,不再做往复运动。202——临界阻尼，是物体不作往复运动的极限。202阻尼系数不同则振动情况也不一样：——欠阻尼，振动的振幅不断减小，但可以完成往复运动。202欠阻尼过阻尼临界阻尼二、受迫振动周期性的外力Hcos(pt)称为策动力ptHkxdtxdmcos22v其动力学方程为：mHhmmk220令pthxdtdxdtxdcos22022微分方程的解为)cos()cos(00ptAteAxt系统在周期性外力持续作用下所发生的振动)(220其中：)cos(00teAt)cos(ptA外力开始作用时较复杂,不长时间后,阻尼衰减忽略不计,达到稳定谐振状态，其频率与策动力相同：——阻尼振动——简谐振动)cos(ptAx2222204)(pphA2202pparctgotx三、共振：驱动力的角频率为某一定值时,受迫振动的振幅达到极大值的现象。0)4)((222220pphdpddpdA由：2202hAr2202rp共振频率：共振振幅：0可以求出共振频率和及对应的共振振幅：共振时受迫振动位移与强迫力之间的相位差：)2(201tg20r0r0AApr，共振频率为，很大，则很小A1233210rp总之振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。振动系统在周期性外力作用下发生的振动称为受迫振动。受迫振动开始时情况很复杂，但经过一段时间后便达到稳定状态。此时，振动系统的频率与强迫力的频率相同，振幅与强迫力和系统本身以及系统所受阻力等均有关。当强迫力的频率接近振动系统的固有频率时，受迫振动的振幅A将有最大值，这种现象称为共振。共振时，强迫力的频率称为共振频率。TacomaNarrows大桥的该大桥1940年6月在美国落成，人们发现即使是微小的风也会使桥剧烈振动。11月7日风大了点，整座桥产生频率为30赫兹、振幅约45公分的横波，后来又左右扭曲，频率约为14赫兹，最后倾覆。同方向：两个简谐振动振动方向相同。同频率：两个简谐振动的圆频率相同。两个简谐振动的运动方程分别为：)cos(111tAx)cos(222tAx同方向简谐振动合成演示两个同方向、同频率的简谐振动的合成：Ox2x1xXM1A2AA12M1M2合振动仍然是同方向、同频率的简谐振动，其运动方程（位移公式）为：)cos(tAx§12-4一维简谐振动的合成拍现象由图可见x=x1+x2coscoscos2211AAAsinsinsin2211AAA22112211coscossinsinAAAAtg两式相比得：在三角形OM1M中，由余弦定律有：)cos(2122122212AAAAA合振动的振幅和初相分别为：)cos(212212221AAAAA221122111coscossinsinAAAAtgOx2x1xXM1A2AA12M1M2可见：合振幅不仅与两分振动的振幅有关，而且还与二者的相位差有关。——这时合振幅达到最大值。212122212AAAAAAA这时有于是：1)cos(12k212相位差（k为0或任意整数）（1）相位相同时：（2）相位相反：)12(12k相位差（k为0或任意整数）1)cos(12这时有212122212AAAAAAA于是——这时合振幅达到最小值。如果有N个同方向、同频率、同振幅、相位差依次为一恒量的简谐振动：taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax)1(cosNtaxN它们的合振动可由旋转矢量作图而得。这些矢量构成一个不完整的正多边形而内接于一个圆内。由图可见，任意矢量对圆心的张角均为，所以合矢量对圆心的张角应为。NocxRpkMA2sin2NRA2sin2aR2sin2sinNaA2)1()22()22(NNcoMcop由图知所以合振动的振幅为又合振动的相位为所以，合振动的运动方程为：2)1(cos2sin2sinNtNaxocxRpkMA即合振幅最大。各矢量同向。（2）当（k≠0、k≠N的整数）时讨论：（1）当（k=0、1、2、3........）时k2NaNNaNaA2cos212cos2lim2sin2sinlim000sinsin221sin22sinNkkaNkNkNaAA=0合振幅最小。各矢量组成一闭合正多边形。Nk2NaA（罗必塔法则）例、一质点同时参与三个简谐振动，它们的振动方程分别为：),3cos(01tAx)35cos(02tAx)cos(03tAx和试计算其合振动的运动方程。解：设x12=x1+x2=A12cos(ωt+φ12)020202012)3135cos(2AAAAA035cos3cos35sin3sin0000112AAAAtg)cos(012tAx即：1A2A2112AAA3350)0cos(2202020AAAA所以，其合振动为：x=0再设x=x1+x2+x3=x12+x3=Acos(ωt+φ)1A2A3A21AAA335例1、一简谐振动曲线如图所示。则振动周期是（A）2.62s（B）2.40s（C）0.42s（D）0.382sB解：当t=0时x=2有因为v向x轴正向，所以cos4221cos3当t=1时x=0有)3cos(40即2365)(40.25122sTt1x420例2、质点作简谐振动，周期为T，由二分之一最大位移处（向正方向运动），运动到最大位移处所需要的时间为：[]（A）T/4（B）T/12（C）T/6（D）T/86233TTtT2Cx3t例3、有两相同的弹簧，其倔强系数均为k。求：（1）把它们串联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期。（2）把它们并联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期。xx解：求等效倔强系数串联：并联：21xkxK21kKkxxK22kK22kmKmT2222111kmKmT2222222求：（1）此简谐振动的周期T。（2）当t=0.6s时，物体的速度v。解：（1）由振动方程知35)s(2.1565322T（2）由速度公式可知将t=0.6代入得)sin(tAv)235sin(04.035tv)s/cm(9.20152sin15)26.035sin(15v)235cos(04.0tx例4、一物体作简谐振动，其振动方程为例5、一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm，则该简谐振动的初相位为振动方程为4))(4cos(1022mtxX4Xt=0t=t4t例6、质量为m的物体和一个轻弹簧组成的弹簧振子，其固有振动周期为T。当它作振幅为A的自由简谐振动时，其振动能量为：22222222242121TAmATmAmE例7、一弹簧振子系统具有1.0J的能量，0.10m的振幅和1.0m/s的最大速率，则弹簧的倔强系数为振子的振动频率为221kAE)N/m(10210.00.122222AEkAmaxv)S(1010.00.11maxAv)HZ(6.12解：200（N/m）1.6（HZ）例8、一质量M的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12cm，在距平衡位置6cm处速度是24cm/s，求：（1）周期T。（2）当速度是12cm/s时的位移。解：设振动方程为则（1）在x=6cm，v=24cm/s状态下有tAxcostAsinvtcos126tsin1224解以上两式得34)(72.2232sT（2）当速度v=12cm/s时有可解得此时的位移为：tsin34121243sint)(8.10)43(112sin112cos1222cmttx例9、一质点作简谐振动，振动方程为当时间t=1/2T（T为周期）时，质点的速度为：)cos(tx（A）sinA（B）sinA（C）（D）cosAcosA解：sin22sinATTAv例10、一质点作简谐振动，其运动速度和时间的曲线如图示,若质点的振动规律用余弦函数描述,则其初相应为:32665656EDCBA解：650cos0656sinsin20,2,0aAatmmmvvvv[C]v(m/s)1/2vmt(1)振动周期T。(2)加速度的最大值。(3)振动方程的数值式。例11、一物体作简谐振动,其速度最大值其振幅若t=0时物体位于平衡位置且向x负向运动,求:m/s2103mvm2102A解：(1)vm=ωAω=vm/A=1.5s-1T=2/ω=4.19s(2)am=ω2A=vmω=0.045m/s2(3)t=0,x0=0,v00=/2x=0.02cos(1.5t+/2)例12、在一竖直轻弹簧下端悬挂质量m=9g的小球，弹簧伸长l=1cm而平衡，经推动后，该小球在竖直方向作振幅为A=4cm的振动，求：（1）小球的振动周期；（2）振动能量。解(1)T=2/ω=slmgmkm201.022(2)JAlmgkAE3221092.3/2121例13、一质点作简谐振动，周期为T，则其振动动能的振动周期为：[]（A）T/4（B）T/2（C）T（D）2T（E）4T解：2)(2cos121)sin(2121)sin(22222tmAtmAmEtAkvv222222TTTB两个同方向不同频率简谐振动的合成：拍现象(只讨论两频率都较大,而频率差很小的情况)合成的合振动的振幅,时而加强时而减弱——拍现象。设两振动的振幅相同，初相为零tAtAx222222coscostAtAx111112coscostAtAxxx2211212cos2cos则合振动的位移为：（设21AA）上述结果也可用旋转矢量合成法求得。212——合振动的频率可见,合振幅出现时大时小的现象。tA22cos2121——合振动