文克尔地基上的有限长梁计算

研究背景土质地基上受多个集中力作用的有限长梁,是工程实践中时常遇到的一种力学模型。基础梁：工程中，结构物与地基的连接方式主要取决于地基的条件和荷载的大小这两个方面。如果地基的条件比较好，荷载比较小，可以直接通过墙柱的作用，将荷载传至地基，但是如果地基的条件比较差，荷载比较大，就需要通过设置基础梁，基础梁的作用是把上部结构的重量、荷载等外力比较均匀地传给地基，可以在一定程度上调节建筑物沉降，使其均匀化，以减小地基所受压力的强度，使地基满足承载力的要求。因此，基础梁被广泛应用在工业与民用建筑上。常用的基础梁包括：柱下条形基础、柱下交叉条形基础、筏形基础和箱型基础等。基础梁计算方法：基础梁承受着整个建筑物的重量和外来荷载，所以它的安全度关系着整个建筑物能否正常用。因此建筑物的设计者对基础梁的研究十分重视，使基础梁的计算内力尽可能与实际受力相接近,从而合理设计、合理配筋。目前基础梁的实用工程分析法多采用两种方法:完全不考虑上部结构-基础-地基的共同作用或只考虑基础-地基的共同作用。第一种方法是结构力学的方法，计算结果满足静力平衡条件但不满足变形协调条件，偏于保守。第二种方法既满足静力平衡条件，又满足变形协调条件，计算结果可以反映地基与基础相对刚度对工作性状的影响，更接近于实际情况。地基模型的分类：基础梁的计算问题属接触问题，计算时的重要问题是如何确定地基反力与基础沉降之间的关系，即地基模型的选取和模型参数的确定。1.反力直线分布是最古老的一种算法，假设地基梁与地基之间的压力按直线分布，其地基反力图形在对称荷载作用下是矩形的，在偏心荷载作用下是梯形的，视上部结构的刚度为无穷大，将基础与上部结构的连接点看做是不动的铰支点。这样，地基梁的问题就成为静定问题，计算大为简化。但该假设完全没有考虑地基梁与地基之间的相对弹性，在一般情况下，计算所得的结果，是不能令人满意的。通常只在初步估算或设计不太重要的基础梁的时候使用。其代表方法有“倒梁法”。2.文克尔地基模型1867年提出的winkler地基模型是一种最简单的线弹性地基模型。它假定地基土界面上任一点处的沉降（s）仅取决于作用于该点的压力（p），而与其他点上的压力无关。即p=ks，其中，k为基床系数，与土的性质有关。在文克尔模型中，地基和基础梁遵循变形协调条件，即梁的挠度和地基的变形是一致的，也就是说即使在出现负的地基反力的时候也不会发生分离，这一点在实用上是可行的，因为结构的重量对地基施加了一个初始预压力。该假定还认为地基的变形只发生在基础范围内，基础以外的变形等于零（不考虑土的剪应力），使得计算结果与实际情况有所不符，但由于该模型简单、参数少，而且参数k的取值有较多的工程经验，所以目前在实际设计中被广泛采用。目前基于文克尔地基模型的计算方法有解析法、有限元法、有限差分法。研究方法对于文克尔地基上梁的计算，这里介绍解析法。该方法为弹性地基梁的通解，适用于任何梁端边界条件，任何荷载情况，可解决较为复杂的问题。要满足下列两个求解条件：（1）地基和地基梁之问的变形协调条件，即地基和基础梁在计算前后必须保持接触，不得出现分离的现象；（2）满足静力平衡条件，即地基梁在外荷载和基底反力共同作用下必须处于静力平衡状态。1.建立文克尔地基上梁的挠曲微分方程：选取梁的一个初始截面，该截面的4个物理量，即挠度w、转角θ、弯矩M、剪力V被称为初参数，利用地基梁的挠度方程和4个物理量之间的微分关系，将挠度方程中的4个参数用上述4个物理量来表示。平衡条件：梁挠度微分方程：变形协调方程：0)(qdxpBdxdVVVMdxwdIEh22wkps由以上三式解得：令λ为梁的柔度特征值上式表示为：即为文克尔地基上同时满足静力平衡和变形协调的梁的挠曲微分方程KwBkwdxwdIEh4444IEkBh04444wdxwd方程的通解为:2.文克尔地基上梁的解答文克尔针对理想的无限延长梁和集中荷载作用于梁端的半无限长梁。分别给出了集中力P和集中力偶Mo作用下基础梁的挠度、转角、弯矩、剪力及基底反力的理论解析解:)sincos()sincos()(4321xCxCexCxCexwxx（1）集中力作用下的无限长梁（2）集中力偶作用下的无限长梁其中Ax、Bx、Cx、Dx的数值可以查表确定xxCPMAKPw4200xxDPVBKP2020)sin(cos)sin(cosxxeCxxeAxxxxxeDxeBxxxxcossinxxDMMBKMw2020xxAMVCKM20303、有限长梁的判定实际工程中的梁是属于无限长梁还是有限长梁并非以梁的绝对尺寸划分，而是通过荷载在梁端引起的影响是否可以忽略来判断。定义为地基上的柔度系数λL=π为长梁（柔性梁）π/4λLπ为有限长梁（有限刚度梁）λL=π/4为短梁（刚性梁）l4、有限长梁的计算由于有限长梁确定积分常数比无限长梁复杂，这里采用简化方法，根据前面无限长梁的解，利用叠加原理求得满足有限长梁两自由端边界条件的解答。现有方法的评价优点：对文克尔地基上的梁,不论荷载位于何处,采用有限长梁的叠加原理法计算梁底反力、梁内弯矩和剪力,由于理论较严密,计算精确。随着计算机的发展,计算手段的增强。各种复杂的解析公式都可由计算机得到精确的计算结果。因此，在文克尔地基上梁的设计计算中可优先采用此法进行计算。不足：该计算方法的不足之处既有模型本身的缺陷，还有计算方法的缺点。文克尔地基模型忽略了地基中的剪应力，不能够反映地基中附加应力的扩散，地基的变形只发生在基底范围内，基础以外的变形等于零，与实际情况不符。我们知道，土是一种弹塑性材料，基床系数也就不应该是一个常数。它不仅与土的性质有关，还与基底的大小、形状及基础的埋深有关。解析法无法考虑粱的自重、难以在基础上施加多种类型荷载、难以考虑梁的特性(截面形状和弹性模量等)和基床系数沿梁长的分段不同等。改进：针对文克尔模型不能考虑土介质连续性，以及不能考虑土中剪应力的缺陷，对该模型进行改进，提出双参数模型和三参数模型。利用梁单元间的剪力连续条件，首先以集中荷载作用点、分布荷载边界点、梁截面特征和基床系数变化点将地基梁划分为若干单元。利用单元问的变形、转角、弯矩和剪力协调性条件，与梁端边界条件一起组成了可以求解的方程组，用来确定各种复杂条件下的梁在多种荷载类型作用下的内力和变形问题。