《概率论与数理统计》习题及答案--第四章

·34·《概率论与数理统计》习题及答案第四章1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,XY分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)XY的分布列.解(,)XY的分布列为123111061211126661130126其中(1,1)(1)(1|1)0PXYPXPYX(1,2)(1)(2|1)PXYPXPYX121436余者类推。2．将一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)XY的分布列及边缘分布列。解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,).2XB331()(),0,1,2,32kPXkCk，于是(,)XY的分布列和边缘分布为XY·35·012333610088811230088813318888jipp其中(0,1)(0)(1|0)0PXYPXPYX，13313(1,1)(1)(1|1)()128PXYPXPYXC，余者类推。3．设(,)XY的概率密度为1(6),02,24,(,)80,.xyxyfxy其它又（1）{(,)|1,3}Dxyxy；（2）{(,)|3}Dxyxy。求{(,)}PXYD解（1）13021{(,)}(6)8PxyDxydxdxy1194368228；（2）13021{(,)}(6)8xPXYDxydxdy11200113(1)[(3)4]82xxdxxdx524.4．设(,)XY的概率密度为22222(),,(,)0,.CRxyxyRfxy其他求（1）系数C；（2）(,)XY落在圆222()xyrrR内的概率.解（1）22222232001()RxyRCRxydxdyCRCrdrdYXxx+y=3422y·36·333233RRCRC，33CR.（2）设222{(,)|}Dxyxyr，所求概率为2222233{(,)}()xyrPXYDRxydxdyR322323232133rrrRrRRR.5．已知随机变量X和Y的联合概率密度为4,01,01(,)0,.xyxyfxy其它求X和Y的联合分布函数.解1设(,)XY的分布函数为(,)Fxy，则(,)(,)xyFxyfuvdudv001001000,00,4,01,01,4,01,1,4,1,01,1,1,1.xyxyxyuvdudvxyuydudyxyxvdxdvxyxy或22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1,1.xyxyxyxxyyxyxy或解2由联合密度可见，,XY独立，边缘密度分别为2,01,()0,;Xxxfx其他2,01,()0,.Yyyfy其它边缘分布函数分别为(),()XYFxFy，则·37·20,0,()(),01,1,1.xXXxFxfuduxxx20,0,()(),01,1,1.yYXyFyfvdvyyy设(,)XY的分布函数为(,)Fxy，则22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1,1.XYxyxyxyFxyFxFyxxyyxyxy或6．设二维随机变量(,)XY在区域:01Dx，||yx内服从均匀分布，求边缘概率密度。解(,)XY的概率密度为1,(,),(,)0,.xyDfxy其他关于X和Y的密度为0,01()(,),01,xXxxxfxfxydydyx或2,01,0,.xx其他110,1,,10,()(,),01,0,1.yYyydxyfyfxydxdxyy1,10,1,01,0,.yyyy其他1||,||1,0,.yy其他7．设(,)XY的概率密度为yx10Dx+y=11yx0x=y·38·,0,(,)0,.yexyfxy其他求边缘密度和概率(1)PXY解0,0,0,0,()(,),0.,0;Xxyxxxfxfxydyexedyx00,0,0,0,()(,),0.,0;yYyyyyfyfxydxyeyedxy111122001(1)(,)()xyxxxxyPXYfxydxdyedydxeeedx11212ee.8．一电子仪器由两个部件组成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知,XY的联合分布函数为：0.50.50.5()1,0,0(,)0,.xyxyeeexyFxy其他（1）问,XY是否独立？为什么？（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率.解（1）先求边缘分布函数：0.51,0,()lim(,)0,0.xXyexFxFxyx0.51,0,()lim(,)0,0.yYxeyFyFxyy因为(,)()()XYFxyFxFy，所以,XY独立.（2）(0.1,0.1)(0.1)(0.1)[1(0.1)][1(0.1)]PXYPXPYPXPY0.050.050.1eee.9．设(,)XY的概率密度为(),0,0,(,)0,.xyexYfxy其他间,XY是否独立？解边缘密度为·39·00,0,0,0,()(,),0.,0;Xxxyxxfxfxydyexeedyx0,0,(),0.Yyyfyey因为(,)()()XYfxyfxfy，所以,XY独立.10．设(,)XY的概率密度为8,01,(,)0,.xyxyfxy其他问,XY是否独立.解边缘密度210,01,4(1),01,()(,)0,8,01.Xxxxxxxfxfxydyxydyx或其他;304,01,8,01,()(,)0,0,yYyyxydxyfyfxydx其他;其他;因为(,)()()XYfxyfxfy，所以,XY不独立。11．设(,)XY的概率密度为1,||1,||1,(,)40,.xyxYfxy其他试证明X与Y不独立，但2X与2Y是相互独立的。证先求,XY的联合分布函数(,)Fxyy=x1yx0yx0·40·111111110,11,1,||1,||1,41(,),||1,1,41,1,||1,41,1,1;xyxyxyuvdudvxyuvFxydudvxyuvdudvxyxy或220,1111(1)(1)(1)(1),||1,4161(1),1,||121(1),||1,1,21,1,1.xyxyxyxyxyxxyxy或关于X的边缘分布函数为0,1,1()lim(,)(1),11,21,1.XyxFxFxyxxx关于Y的边缘分布函数为0,1,1()(1),11,21,1.YyFyyyy因为(,)()()XYFXYFxFy，所以,XY不独立.再证2X与2Y独立：设22,XY的联合分布函数为1(,)Fzt，则0,0221(,)(,){,}ztFztPXzYtPzxztYt·41·(,)(,)(,)(,)FztFztFztFzt0,00,,01,01,,1,01,,01,1,1,1,1.zttzzttztzztzt或关于22()XY的边缘分布函数分别为210,0,()lim(,),01,1,1.XtzFzFztzzz20,0,(),01,1,1.YtFtttt因为221(,)()()XYFztFzFt，所以2X与2Y独立.证2利用随机向量的变换（参见王梓坤《概率基础及其应用》83页）设22,ZXTY.函数2zx的反函数为212,;xzxzty的反函数为12,.ytyt11111110,12140,2xxzztJztyytzt，221112211,4JJJJzt；于是22(,)XY的概率密度函数为·42·22111(,)(,)||ijijijfztfxyJ11[1111],01,01,440,.ztztztztztzt其他1,01,01,40,ztzt其它.关于2X的边缘密度为211,01,()(,)20,.Xzfzfztdtz其它关于2Y的边缘密度为21,01,()20,.Ytftt其他因为221(,)()()XYfztfzft，所以22,XY独立.12．设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(,)XY的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空白处.YX1y2y3y{}iiPXxp1x182x18()ijPYyp161解设(,)1,2,1,2,3.ijijPXxYypij由联合分布和边缘分布的关系知11124p·43·由独立性11111311()68ppp，即131114248p，故13112p，11111248124p，234p222213()84pp，所以2238p，212p31111623p231113124p所以(,)XY的分布为YX1y2y3y{}iiPXxp1x12418112142x18381434()ijPYyp161213113．已知随机变量1X和2X的概率分布为1101~111424X，201~1122X而且12(0)1PXX（1）求1X和2X的联合分布；（2）问1X和2X是否独立？为什么？解（1）12(0)1PXX知1212(1,1)(1,1)0PXXPXX，再由联合分布和边缘分布的关系知12(,)XX的分布为1X2X10122()iPXx014014121012012·44·11()iPXx1412141（2）因1212111(1,0)(1)(0)442PXXPXPX，所以,XY不独立.14．设随机变量,XY相互独立，且都服从(,)bb上的均匀分布，求方程20ttXY有实根的概率.解设A‘方程有实根’，则A发生240XY即224()(4)(,)xyPAPXYfxydxdy2242211()444xbbbbbxdxdybdxbb32211[2]46242bbbb，4b.当4b时，图形如下：222221(4)1()44bbxPXYbdxb3