高中数学必修五单元测试题全套带答案

章末综合测评(第一章)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．4【解析】由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC即13＝9＋AC2－2×3AC×(－12)，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)【答案】A2．在△ABC中，B＝π4，AB＝2，BC＝3，则sinA＝()A.1010B.105C.31010D.55【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cosB＝(2)2＋32－2×2×3×22＝5，解得AC＝5.再由正弦定理得sinA＝BC·sinBAC＝3×225＝31010.故选C.【答案】C3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围为()A．(8,10)B．(22，10)C．(22，10)D．(10，8)【解析】设1,3，a所对的角分别为C，B，A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cosA12＋32＝10，32＝1＋a2－2×acosB1＋a2，∴22a10.【答案】B4．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为()A．22B．82C.2D.22【解析】∵asinA＝bsinB＝csinC＝2R＝8，∴sinC＝c8，∴S△ABC＝12absinC＝abc16＝16216＝2.【答案】C5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6B.π3C.π2D.2π3【解析】p∥q⇒(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0⇒a2＋b2－c22ab＝12＝cosC，∴C＝π3.【答案】B6．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2A2，则下面等式一定成立的是()A．A＝BB．A＝CC．B＝CD．A＝B＝C【解析】由sinBsinC＝cos2A2＝1＋cosA2⇒2sinBsinC＝1＋cosA⇒cos(B－C)－cos(B＋C)＝1＋cosA.又cos(B＋C)＝－cosA⇒cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，即B＝C.【答案】C7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC＝90mm，BC＝150mm，则DE的长等于()图1A．210mmB．200mmC．198mmD．171mm【解析】∠ACB＝70°＋50°＝120°，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB＝902＋1502－2×90×150×cos120°＝44100，AB＝210，即DE＝210mm.【答案】A8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A．3B.932C.332D．33【解析】∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.【答案】C9．已知在△ABC中，sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【解析】由正弦定理和余弦定理得a＋b＝cb2＋c2－a22bc＋a2＋c2－b22ac，即2a2b＋2ab2＝ab2＋ac2－a3＋a2b＋bc2－b3，∴a2b＋ab2＋a3＋b3＝ac2＋bc2，∴(a＋b)(a2＋b2)＝(a＋b)c2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，故选D.【答案】D10．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】由已知得a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，又0°A180°，∴A＝120°.【答案】C11．在△ABC中，A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分，则cosA等于()A.13B.12C.34D．0【解析】∵CD为∠ACB的平分线，∴D到AC与D到BC的距离相等，∴△ACD中AC边上的高与△BCD中BC边上的高相等．∵S△ACD∶S△BCD＝3∶2，∴ACBC＝32.由正弦定理sinBsinA＝32，又∵B＝2A，∴sin2AsinA＝32，即2sinAcosAsinA＝32，∴cosA＝34.【答案】C12.如图2，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ＝()图2A．23＋1B．23－1C.3－1D.3＋1【解析】在△ABC中，BC＝ABsin∠BACsin∠ACB＝100sin15°sin45°－15°＝50(6－2)，在△BCD中，sin∠BDC＝BCsin∠CBDCD＝506－2sin45°50＝3－1，又∵cosθ＝sin∠BDC，∴cosθ＝3－1.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知△ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________.【解析】∵cosC＝a2＋b2－c22ab，且C为钝角，∴cosC0，∴a2＋b2－c20，故a2＋b2c2.【答案】a2＋b2c214．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.【解析】由3sinA＝5sinB，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝53b，c＝73b，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝53b2＋b2－73b22×53b×b＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.【答案】2π315．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcosA的值等于________，AC的取值范围为________．【解析】设A＝θ⇒B＝2θ.由正弦定理得ACsin2θ＝BCsinθ，∴AC2cosθ＝1⇒ACcosθ＝2.由锐角△ABC得0°2θ90°⇒0°θ45°.又0°180°－3θ90°⇒30°θ60°，故30°θ45°⇒22cosθ32，∴AC＝2cosθ∈(2，3)．【答案】2(2，3)16．如图3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.图3【解析】根据图示，AC＝1002m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得ACsin45°＝AMsin60°⇒AM＝1003m.在△AMN中，MNAM＝sin60°，∴MN＝1003×32＝150(m)．【答案】150三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.【解】(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.故sinB＝2sinA，所以ba＝2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cosB＝1＋3a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cosB0，故cosB＝22，所以B＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝35.(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．【解】(1)∵cosB＝350，且0Bπ，∴sinB＝1－cos2B＝45.由正弦定理得asinA＝bsinB，sinA＝asinBb＝2×454＝25.(2)∵S△ABC＝12acsinB＝4，∴12×2×c×45＝4，∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b＝17.19．(本小题满分12分)在△ABC中，∠A＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．【解】设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理得sinB＝bsin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0Bπ4，所以cosB＝1－sin2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sinBsinπ－2B＝6sinB2sinBcosB＝3cosB＝10.20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?【解】如图所示，设∠ACD＝α，∠CDB＝β.在△CBD中，由余弦定理得cosβ＝BD2＋CD2－CB22BD·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sinβ＝437.而sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－sin60°cosβ＝437×12＋32×17＝5314.在△ACD中，21sin60°＝ADsinα，∴AD＝21×sinαsin60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A.21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2C＋22cosC＋2＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝2a，△ABC的面积为22sinAsinB，求sinA及c的值.【解】(1)∵cos2C＋22cosC＋2＝0，∴2cos2C＋22cosC＋1＝0，即(2cosC＋1)2＝0，∴cosC＝－22.又C∈(0，π)，∴C＝3π4.(2)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝3a2＋2a2＝5a2，∴c＝5a，即sinC＝5sinA，∴sinA＝15sinC＝1010.∵S△ABC＝12absinC，且S△ABC＝22sinAsinB，∴12absinC＝22sinAsinB，∴absinAsinBsinC＝2，由正弦定理得csinC2sinC＝2，解得c＝1.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝msinx＋2cosx(m0)的最大值为2.(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；(2)若△ABC中，fA－π4＋fB－π4＝46sinAsinB，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C＝60°，c＝3，求△ABC的面积．【解】(1)由题意，f(x)的最大值为m2＋2，所以m2＋2＝2.又m0，所以m＝2，f(x)＝2sinx＋π4.令2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)．所以f(x)在[0，π]上的单调递减区间为π4，π.(2)设△ABC的外接圆半径为R，由题意，得2R＝csinC＝3sin60°＝23.化简fA－π4＋f