充分发挥直观想象让解题更具韵味

充分发挥“直观想象”让解题更具韵味225500江苏省姜堰中学张圣官“直观想象”指的是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．在数学解题中充分发挥直观想象，可以让解题过程具体、生动、形象，更具韵味．1．利用图形变换，让解题过程更形象英国心理学家查得﹒斯根普认为，几何图形是一种视觉符号，与表象的形成密切相关．因此，图形以及图形的加工、变换能力在培养与发展空间想象能力的过程中起了关键作用．图形的变换一般有三种类型：（1）图形的运动与变式；（2）图形的分解与组合；（3）平面图形与空间图形的对比、类比与转换．例1如图1，在四面体S—ABC中，∠SAB=∠SCB=∠ABC，∠SBC=∠SAC=∠ACB，∠SBA=∠SCA=∠BAC，求证：SA=BC，SB=AC，SC=AB．【分析】本题用常规方法非常困难．现将四面体S—ABC沿SA、SB、SC剪开后展到平面ABC上得△S1S2S3（如图2）．由条件知，∠S2AB=∠ABC=∠BCS3，从而S2A∥BC，S3C∥AB．同理，S1A∥BC．这样就有S1、A、S2共线且A为S1S2的中点，同样可得B、C分别为S2S3，S3S1的中点．所以结论成立，即SA=BC，SB=AC，SC=AB．例2（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（如图），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图中，并作简要说明；（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小．【分析】（Ⅰ）如图3，为简化运算，设计正三棱锥为正四面体，设所给正三角形边长为4a，则由2=4=43SSa全底得2=3Sa底，其正四面体棱长为2a，故沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图4，为方便体积大小比较，设计正三棱柱的底面边长也为2a，由于其全面积为234a，故图1图2EFAD图3图4在正三角形三个角上剪出与四边形ADEF相同的三个四边形，其中AD=AF=a，DE=DF，∠ADE=∠AFE=900，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成正三棱柱的上底．（Ⅱ）由上可知，正三棱锥与正三棱柱底面边长均为2a，S底=23a，下面求它们的高．222326=(2)(3)3haaa锥；03=tan303haa柱．∴33322aVaV柱锥．【点评】这道“操作型”问题很有新意，它具有开放性，所得结论随解题方法的不同而不同，较好地考查了学生的空间想象能力、动手操作能力、探究能力和逻辑推理能力．例3已知：在四面体ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=41，BD=AC=34，试求此四面体的体积．【分析】本题中四面体ABCD的四个表面面积均可求，但高的位置不易确定，直接求体积有一定困难．注意到四面体ABCD的相对棱相等的条件，联想到长方体相对表面的对角线相等这一性质，故可补成长方体解题．【解】将四面体ABCD“嵌入”到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则有342541222222xzzyyx345zyx∴20)(4312131xyzxyzxyzVBCDA，即四面体ABCD的体积为20．例4如图，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且MN⊥AM，若侧棱长SA=32，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为．【分析】由条件中的MN⊥AM，可以推得AMSB．又由正三棱锥S-ABC中对棱互相垂直，得ACSB．所以SB⊥平面SAC，从而该正三棱锥的三个顶角都是直角．将该三棱锥补成正方体，使S成为正方体的一个顶点，则正三棱锥S-ABC的外接球也即是正方体的外接球，根据632332SAR得，R=3，所以正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为3642R．2．利用以形助数，让解题过程更丰富数学是研究客观世界空间形式和数量关系的一门科学．有些数学问题，在代数范畴内也可以解决．但是如果加入几何因素，将“数”与“形”有机结合起来，往往能够使解法更多ABCDxyz图5ABSCMN图6样，让解题过程更丰富．华罗庚教授对此很准确地进行了论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．例5直角坐标系中，已知A（4，3），试在x轴正半轴上求一点P，使OPAP取得最大．【分析】要在x轴正半轴上求一点P，使OPAP取得最大，可以从代数的角度来处理，设(,0)Px，则22(4)9825OPxxAPxxx，接着可以考虑将x放到分母中转化为关于1x的二次函数通过配方，或者也可以利用导数来处理，但运算较为繁琐．其实注意到本题中“A为定点”，利用正弦定理可得以下简解．【解】在三角形OAP中，根据正弦定理得sinsinOPOAPAPAOP，由于3sin5AOP为定值，问题转化为求OAPsin最大值．显然OAPsin的最大值为1，此时OAP为直角，易得P点坐标为25(,0)4．【点评】本题中的构造思想非常关键．将显性和隐性的关系设法转化到一个三角形中，从而实现优解．例6坐标平面上一点P到点A（12,0）,B(a,2)及到直线12x的距离都相等．如果这样的点P恰好只有一个，那么实数a的值是．【分析】平面上到点A（12,0）及到直线12x的距离相等的点的轨迹是抛物线24yx．本题实质上就是该抛物线上有且只有一个点到点A（12,0）,B(a,2)的距离相等，有两种情况：一是线段AB的垂直平分线与抛物线相切，一是线段AB的垂直平分线与抛物线的对称轴平行．可得结果实数a的值为12或12．3．利用图形构造，让解题过程更流畅进行抽象问题形象化训练，培养几何直觉能力．将抽象问题形象化的几何直觉能力是空间想象能力的最高层次，是空间观念、意识、想象力在处理数学问题时的迁移和运用．因此几何直觉能力的训练与培养应贯穿于整个高中数学教学过程中．在数学学习中，几何的视觉化、形象化的能力不仅有助于促进数学知识的理解、记忆和提取，而且有助于提出数学问题，解决数学问题．人们常把几何形象化、直观化看作培养创新能力的基础．例7解方程：1424222xxxx．【分析】本题若采用移项、平方，则解起来繁杂冗长．将方程变形为13)1(3)1(22xx，把常数“3”暂看作变数2y，则由双曲线定义知，这个方程表示以F1（－1，0）、F2（1，0）为焦点，实半轴长为21的双曲线4x2－34y2=1的右支．只要令y2=3，就可得52x．【点评】静止是相对的，运动是绝对的．有的数学问题，在静态下虽然可得结果，但往往较繁、较难，如善于变静态为动态，往往会收到奇妙的效果．例8已知：,,xyz均为正实数，求证：2222222()xxyyyyzzzzxxxyz．【分析】待证不等式形式很可憎．思考一下其中是否隐含了几何因素？有的！从O点出发作0120AOBBOCCOA，截取OAx，OBy，OCz，连接AB、BC、CA，根据余弦定理即知，222222,,ABxxyyBCyyzzCAzzxx，则由,,OAOBABOBOCBCOCOACA，三式相加可得原不等式成立．在直观想象核心素养的形成过程中，我们要利用各种机会，创设条件，结合相应数学内容，让学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维．图7