复变函数期末复习课件第四章-习题课

2一、重点与难点重点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数3复数项级数函数项级数充要条件必要条件幂级数收敛半径R复变函数绝对收敛运算与性质解析在0)(zzf为复常数)(zfnn为函数1nn收敛条件条件收敛复数列收敛半径的计算泰勒级数洛朗级数二、内容提要41.复数列,0数相应地都能找到一个正如果任意给定,),(时成立在使NnNn,}{时的极限当称为复数列那末nn记作.limnn.}{收敛于此时也称复数列n,),2,1(}{其中为一复数列设nn,nnniba,为一确定的复数又设iba5nnn211表达式称为复数项无穷级数.其最前面项的和nnns21称为级数的部分和.部分和2.复数项级数,),2,1(}{}{为一复数列设nbannn1)定义62)复级数的收敛与发散0lim1nnnn收敛都收敛与收敛111nnnnnnba充要条件必要条件,}{收敛如果部分和数列ns,1收敛那末级数nn.lim称为级数的和并且极限ssnn,}{不收敛如果部分和数列ns.1发散那末级数nn7非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条件收敛如果收敛,那末称级数为绝对收敛.1nn1nn.111绝对收敛与绝对收敛nnnnnnba绝对收敛条件收敛8)()()()(21zfzfzfzsnn称为这级数的部分和.级数最前面项的和n3.复变函数项级数,),2,1()}({为一复变函数序列设nzfn)()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作.)(1nnzf94.幂级数1)在复变函数项级数中,形如.zczczcczcnnnnn22101的级数称为幂级数.,0时当a22100)()()(azcazccazcnnnnnazc)(10----阿贝尔Abel定理如果级数0nnnzc)0(0zz0zz0zz0zz,z在收敛,,z那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足2)收敛定理11(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.3)收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处处收敛.(2)对所有的正实数除0z外都发散.12在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意xyo..R收敛圆收敛半径13方法1:比值法方法2:根值法4)收敛半径的求法,0lim1nnncc如果那末收敛半径.1R.,0;0,;0,1R即,0limnnnc如果那末收敛半径.1R14.,)(,,)()1(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf),()()()(00nnnnnnzbzazgzf00110,)(nnnnnzbababaRz),min(21rrR5)幂级数的运算与性质15如果当rz时,,)(0nnnzazf又设在Rz内)(zg解析且满足,)(rzg那末当Rz时,0.)]([)]([nnnzgazgf(2)幂级数的代换(复合)运算复变幂级数在收敛圆内的解析性00)(nnnzzc设幂级数的收敛半径为,R那末是收敛圆Raz内的解析函数.它的和函数00)()(nnnzzczf,)(zf即(1)16(2))(zf在收敛圆Raz内的导数可将其幂级数逐项求导得到,即.)()(110nnnzznczf(3))(zf在收敛圆内可以逐项积分,即0.,d)(d)(ncnncRazczazczzf或01.)(1d)(nnnzaazncf175.泰勒级数,2,1,0),(!10)(nzfncnn其中泰勒级数1)定理设)(zf在区域D内解析,0z为D内的一d为0z到D的边界上各点的最短距离,那末点,dzz0时,00)()(nnnzzczf成立,当18,!!!21)1(02nnnznznzzze,111)2(02nnnzzzzz,)!12()1(!5!3sin)4(1253nzzzzznn2)常见函数的泰勒展开式)1(z)1(z)(z)(z,)1()1(111)3(02nnnnnzzzzz19,)!2()1(!4!21cos)5(242nzzzznn)(z,1)1(32)1ln()6(132nzzzzznn011)1(nnnnz)1(z32!3)2)(1(!2)1(1)1()7(zzzz,!)1()1(nznn)1(z206.洛朗级数定理内可展开成洛朗级数在那末析内处处解在圆环域设DzfRzzRzf)(,)(201,)()(0nnnzzczfCnnzficd)()(π2110其中),1,0(nC为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线.0z为洛朗系数.1)21函数)(zf在圆环域内的洛朗展开式)(zf在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.nnnzzczf)()(0某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的,这就是f(z)的洛朗级数.22根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法2)将函数展为洛朗级数的方法(1)直接展开法,d)()(π2110Cnnzfic根据洛朗定理求出系数.)()(0nnnzzczf然后写出23三、典型例题例1判别级数的敛散性.;21)1(1nnin解11nn因为发散，121nn收敛，.211发散所以nnin24三、典型例题例1判别级数的敛散性.;251)2(1nni解,226251nni因为,0226limnn.2511发散所以nni25;)3(1nnni解5413211iiininn因为614121,51311i.1收敛故nnni收敛收敛三、典型例题例1判别级数的敛散性.26.)32(1)4(1nni解,)32(1nni设innnn321limlim1因为131,1由正项级数的比值判别法知1)32(1nni绝对收敛.三、典型例题例1判别级数的敛散性.27例2求下列幂级数的收敛半径.)4(!)3(!)2()1(100022kknnnnnnzznnznz解nnncc1lim)1(由22)1(limnnn,1.1R得nnncc1lim)2(由)!1(!limnnn,0.R得nnncc1lim)3(由!)!1(limnnn,.0R得2812)4(kkz.,1;,0,22knknCn即因为级数是缺项级数,1lim1nnnCR故.1R29例3展开函数成的幂级数到项.zeezf)(z3z解,)(zezeezf,)()(2zzezezeeeezfzzzezezezeeeeeezf32)()(3)(由此得,)0(ef,)0(ef,2)0(ef.5)0(ef所以.6532ezezezeeze解析函数展为幂级数的方法利用定义来求.30分析：采用间接法即利用已知的展开式来求.解)(21cosizizzzeeeze因为][21)1()1(ziziee00!)1(!)1(21nnnnnnnzinzinnnnziin])1()1[(!1210)(z例4求在的泰勒展式.zezfzcos)(0z31nnininnzzeenze044!)2(21cos所以.4cos!)2(0nnnznn)(z由于,214iei;214iei32例5.sin的幂级数展开成把zzez分析：利用级数的乘除运算较为简单.解,!0nnznze因为,)!12()1(sin012nnnnzz故乘积也绝对收敛.,内绝对收敛两级数均在z2)010()01(0sinzzzez所以.30131532zzzz)(z33例6.0sec)(的泰勒展开式在点求zzzf设nnzczczcczf2210)(又,)()(2210zczcczfzf由泰勒展式的唯一性,,0531ccc又,!4!21cos42zzz所以)(!4!21seccos14422042zczcczzzz解利用待定系数法3440242020!4!2!2zccczccc42!45!211seczzz所以2z比较两端系数得,10c,!212c,!454c35例7.1)1(13内的泰勒展开式在求函数zz分析：利用逐项求导、逐项积分法.解])1[(21)1(113zz因为)1(z所以0321)1(1nnzz22)1(21nnznn.)1)(2(210mmzmm)1(z36例8.11的幂级数展开成把zez解利用微分方程法,)(11zezf因为211)1(1)(zezfz,)1(1)(2zzf,0)()()1(2zfzfz所以对上式求导得0)()32()()1(2zfzzfz370)(2)()54()()1(2zfzfzzfz由此可得,)0()0(eff,3)0(ef,13)0(ef故.!313!2313211zzzeez)1(z38例9.0)1)(3(785)(2234的泰勒展开式在点求zzzzzzzzf分析:利用部分分式与几何级数结合法.即把函数分成部分分式后,应用等比级数求和公式.解2)1(1322)(zzzzf1313131zznnnz0131)3(z)(1111zznnnz0)1()1(z391112)1()1(1nnnnzz即nnnzn)1()1(0)1(z故2)1(1322)(zzzzf,)1()1(1112nnnznz)1(z两端求导得40nnnnnnznzz)1()1(3122001zzzznnn213129232221nnnzn)1()1(2nnnnznz2132)1()1(921312