最新备战中考数学专题练习(全国通用)-相似三角形判定定理(含解析)

备战中考数学专题练习（全国通用）-相似三角形判定定理（含解析）一、单选题1.如图，△ABC中，∠BCD＝∠A，DE∥BC，与△ABC相似的三角形（△ABC自身除外）的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A.①与②相似B.①与③相似C.①与④相似D.②与④相似3.如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）A.1对B.2对C.3对D.4对4.如图，若D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，且∠AED=∠B，AD=3，AC=6，DB=5，则AE的长度为（）A.B.C.D.45.如图，小明把一个边长为10的正方形DEFG剪纸贴在△ABC纸片上，其中AB=AC=26，BC=20，正方形的顶点D，G分别在边AB、AC上，且AD=AG，点E、F在△ABC内部，则点E到BC的距离为（）A.1B.2C.D.6.如图，能使△ACD∽△BCA全等的条件是（）A.B.AC2=CDCBC.D.CD2=ADBD7.如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB的是（）A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.AB2=AP•ACD.8.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A.∠ABP＝∠CB.∠APB＝∠ABCC.＝D.9.如图，在△ABC中，点D在AB上，下列条件能使△BCD和△ABC相似的是（）A.∠ACD=∠BB.∠ADC=∠ACBC.AC2=AD•ABD.BC2=BD•BA10.如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（）A.=B.∠B=∠DC.AD∥BCD.∠BAC=∠D二、填空题11.如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，欲使△ADE∽△ACB，则需添加的一个条件是________．（只写一种情况即可）12.如图，在□ABCD中，AB=6，AD=8，∠B=60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、BF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是________.13.在Rt△ABC中，C为直角顶点，过点C作AB的垂线，若D为垂足，若AC、BC为方程x2﹣6x+2=0的两根，则AD•BD的值等于________14.如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于________cm．15.如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小亮站在距离灯的底部（点O）20米的A处,则小亮的影子AM长为________米．16.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=2，BC=6，若△AOB的面积等于6，则△AOD的面积等于________．17.如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=________．18.已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是________．19.如图，AB、CD相交于点O，试添加一个条件使得△AOD∽△COB，你添加的条件是________．（只需写一个）三、解答题20.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？21.如图，中，为上一点，，，，求的长．四、综合题22.在菱形ABCD中，AB=2，AC是对角线，∠B=60°，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠EAF=60°，AE与DC的延长线交于点M，AF与BC的延长线交于点N．（1）如图1，若点E为BC边上的中点．①求证：△ACM≌△ACN；（2）如图2，若点E为BC边上的任意点（不与点B，C重合），请说明CM•NC是一个定值．23.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，P、Q分别是AB、BC边上的点，且AP=BQ=a（其中0＜a＜8）．（1）若PQ⊥BC，求a的值；（2）若PQ=BQ，把线段CQ绕着点Q旋转180°，试判别点C的对应点C’是否落在线段QB上？请说明理由．24.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB于D．（1）求证：△ACB∽△ADE；（2）求AD的长度．25.如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠ADE=∠B。（1）求证：△ABD∽△ADE。（2）若AB=9,AE=4求AD的长。答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】∵DE∥BC∴∴△BCD∽△ABC∴有两个与△ABC相似的三角形故答案为：B.【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC,由有两个角对应相等的三角形三角形相似得出△BCD∽△ABC，从而得出有两个与△ABC相似的三角形。2.【答案】B【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，故答案为：B．【分析】根据相似三角形的判定方法两边对应成比例且夹角相等两三角形相似；得到△AOB∽△COD.3.【答案】C【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角。【解答】∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，∴△PCF∽△BCP．∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，∴△APD∽△PGD．∵∠CPD=∠A=∠B，∴∠APG=∠BFP，∴△APG∽△BFP．故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角。4.【答案】D【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴AE：AB=AD：AC，又∵AD=3，AC=6，DB=5，∴AB=AD+DB=8，∴AE=8×3÷6=4．故选D．【分析】根据相似三角形的判定首先证出△ADE∽△ACB，然后根据相似三角形的性质得出AE：AB=AD：AC，从而求出AE的长度．5.【答案】B【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BC，交DG于点H，BC于点M，∵AB=AC，BC=20，∴BM=MC=BC=10，∴AH==24，∵正方形的顶点D，G分别在边AB、AC上，且AD=AG，∴DG⊥AH，DH=HG=DG，∵DG=10，∴DH=5，∵∠BAM=∠MAB，∠ABC=∠ADH，∴△ADH∽△ABM，∴，∴∴AD=13，∴AH=HM=12，∴点E到BC的距离为：12﹣10=2；故选B．【分析】过点A作AM⊥BC，交DG于点H，BC于点M，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AH，再根据正方形的顶点D，G分别在边AB、AC上，且AD=AG，得出DG⊥AH，DH=HG=DG，求出DH，再根据AA证出△ADH∽△ABM，求出AD，从而得出AH，最后根据HM的长减去正方形的长就是点E到BC的距离，代值计算即可得出答案．6.【答案】B【考点】相似三角形的判定【解析】∵∠C=∠C当∠ADC=∠BAC或∠CAD=∠B或CD：AC=AC：BC或AC2=CDCB∴当AC2=CDCB时，△ACD∽△BCA故选B．7.【答案】D【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；C、∵∠A=∠A，AB2=AP•AC，即，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；D、根据和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；故选：D．【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．8.【答案】D【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；C、当时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．故答案为：D．【分析】（1）当∠ABP=∠C时，而∠A是公共角，所以根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ABP∽△ACB；（2）当∠APB=∠ABC时，方法同（1）可得△ABP∽△ACB；（3）当,而∠A是公共角,根据两边的比相等，且这两边的夹角也相等，那么这两个三角形相似可得△ABP∽△ACB；（4）当,虽然∠A是公共角，但不符合相似三角形的判定定理，所以不能判断两个三角形相似。9.【答案】D【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：若BC2=BD•BA，则有=，且∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，故选D【分析】由两边对应成比例且夹角相等得到三角形相似即可得证．10.【答案】B【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵∠C=∠AED=90°，=，∴△ABC∽△DAE，故选项A可以证明相似；∵∠C=∠AED=90°，∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE，故B选项错误；∵AD∥BC，∴∠B=∠DAE，∵∠C=∠AED=90°，∴△ABC∽△DAE，故选项C可以证明相似；∵∠BAC=∠D，∠C=∠AED=90°，∴△ABC∽△DAE，故选项D可以证明相似；故选B．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．二、填空题11.【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵∠A=∠A∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ABC，故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或【分析】已知∠A等于∠A，再添加一个对应角相等或对应边成比例即可证△ADE∽△ACB。12.【答案】【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I.则,.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.又∵∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB=6.同理，CF=CD=AB=6，∴EF=BE+CF−BC=6+6−8=4，∵AD∥BC，∴△ADG∽△EFG，，,.，∴S阴影=S平行四边形ABCD−S△ADG−S△EFG.故答案是：.【分析】可采用作差法，求阴影部分面积，即S阴影=S平行四边形ABCD−S△ADG−S△EFG，而△ADG∽△EFG，它们的面积比等于相似比的平方，求出其相似比，可转化为对应高的比，需“过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I”，构造出高，进而求出面积.13.【答案】【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵AC、BC为方程x2﹣6x+2=0的两根，∴x1=，x2=，令AC=，BC=，∴AB==4，又AB×CD=AC×BC，∴CD=∴AD•BD=CD2==．故答案为：．【分析】由AC、BC是方程x2﹣6x+2=0的两根，则可得x1=，x2=，所以，可得斜边AB及其高CD的长，根据射影定理即可得出AD•BD的值；14.【答案】【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边CD上的高，∴CD2=AD•DB，∴BD=，则AB=AD+BD=，∵BC2=BD•BA=×，∴BC=，故答案为：．【分析】根据射影定理求出BD的长，再根据射影定理计算即可．15.【答案】5【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】根据题意,