41-波动方程的差分逼近

第五章双曲型方程的有限差分法4.1波动方程的差分逼近1.特征针对波动方程22222uuatx（1）其初值条件为01(,0)(),(,0)(),tuxxuxxx其中0a是常数。其相应的特征方程为characteristicequation2220dxadt即221()0dtadx得到两个特征方向：characteristicdirection1dtdxa（3）解（3），得到两族直线：12,xatcxatc2.显格式取空间步长h及时间步长，用两族平行直线twofamilyofparallellines,0,1,2,jxxjhj,0,1,2,nttnn作矩形网格rectangle。在(,)jnxt对方程（1）离散，得到111122222,0,1,2,,,1,2,nnnnnnjjjjjjuuuuuuajnh（5.1）初始条件为00()jjux（5.2）101()jjjuux（5.3）（5.1）式逼近的截断误差为22()h。由于(5.3)式逼近截断误差为()，因此对（5.3）的逼近可作适当改进。（5）可显示算出各网点的值。（5.1）简化后可以写成122111()2nnnnnjjjjjuruuruu（1-）（6）针对混合问题：2222201,0,0,(,0)(),(,0)(),(0,)(),(,)().tuuaxltTtxuxxuxxuttultt此时取空间步长lhJ及时间步长TN，同样建立离散格式（5），针对边值条件，可给出离散的边值条件0(),().nnlunun3.稳定性分析为了利用Fourier方法，令uvt，将（1）化成一阶偏微分方程组：222uvtvuatx（7）再令uwax，则（7）变为vwatxwvatx（8）令(,)TUvw及00aAa则（8）变为0UUAtx因此，差分方程（5）可写成1112211111122nnnnjjjjnnnnjjjjwwvvahwwvvah（10）按照Fourier方法，设12exp(),exp()nnnnjjjjvvixwvix，2pl代入（10），消去公因子commonfactorexp()jix和12exp()jix，得到1121111222(sin),2(sin)nnnnnnphvirvvlphirvvvl即111122()nnnnvvphGlvv其中21()(2sin)1icphphGcrllicc为增长矩阵，其特征方程为22(2)10c（14）其根按模小于1的充要条件是absolutevalueofroot2|2|2c（15）即1r，此为必要条件。另外，（14）的两个根为221,21[(2)||4]2cicc因2224sin4cr，故212||||4cc设12||，从而122222111||1[(2)(4)]02ccc另一方面，2122112()122cicGIicc其F模为1221211()||(2)22FGIcc根据上一章的结论，必须且只须存在常数0M使不等式成立：1222121||(2)||||42ccMMcc而若1r，则当2时，24c，不等式不能成立，因此应要求1r。因此格式（10）稳定的充要条件是1r。稳定性条件的几何解释geometricalinterpretation从（6）可以看出，nju依赖于前两层的11nju，1nju，11nju，2nju，这四个值又依赖于22nju，21nju，2nju，21nju，22nju，和31nju，3nju，31nju，依次类推，可得到nju依赖于0000011,,,,,,jnjnjjnjnuuuuu因此称x轴上位于区间[,]jnjnxx的网格点成为差分解nju的依存域dependentregion。它是x轴上被过(,)jnxt的两条直线()jnhxxtt、切下的区间所覆盖的网域。而过(,)jnxt的两条特征线为()jnxxatt因此，差分方程稳定的必要条件1r即差分解的依存域必须包含微分方程解的依存域。利用依存域的概念，可以证明，当1r时，差分解不收敛。如上图，1r意味着微分方程解的依存域[',']PQ大于差分解的依存域。固定(,)jnxt，当步长变小，但r不变，则依存域[',']PQ，[,]PQ不变，若改变(',)PP，(,')QQ上的初值，但[,]PQ上的初值不变，则(,)jnuxt可取不同的值，而nju当0,0h时，是一串确定的数列，它不可能收敛到不同的(,)jnuxt。当1r时，差分方程稳定，因而差分解收敛。4.隐格式目的：得到绝对稳定的差分格式。利用第1n层，n层、1n层的中心差商的权平均去逼近xxu，得到下列差分格式：11111111111111222222222[(12)]nnnnnnnnnnnnjjjjjjjjjjjjuuuuuuuuuuuuahhh（18）其中01是参数。当0就是显格式。我们感兴趣的是14，此时差分格式等价于1111111222211111112222nnnnnnjjjjjjnnnnnnjjjjjj（19）其增长矩阵为2222221/41/41/4(),2sin1/41/41/4cicccGcricccc可以证明()G的特征值按绝对值等于1,且()G是酉矩阵，因此()1G，从而矩阵族()nG一致有界，即（19）绝对稳定。综合习题1.证明：方程22(2)10c（14）其根按模小于1的充要条件是2|2|2c（15）2.证明矩阵2222221/41/41/4(),2sin1/41/41/4cicccGcricccc的特征值按绝对值等于1。3.说明(19)是如何建立的。3.3双曲方程差分格式的构造1.迎风格式考虑线性常系数方程：equationwithconstantcoeffficient0uuatx（1）考虑初值问题，主要进行（1）的差分方程的构造。按照差商代替微商的办法，有下列三种格式：110nnnnjjjjuuuuah（2）110nnnnjjjjuuuuah（3）11102nnnnjjjjuuuuah（4）（2）和（3）的截断误差为()h，（4）的截断误差为2()h。下面进行稳定性分析。令网比rh，则（2），（3），（4）可写成11(1)nnnjjjuaruaru（5）11(1)nnnjjjuaruaru（6）11122nnnnjjjjararuuuu（7）利用Fourier方法，令1jixnnjuve，代入上述三个式子中，消去公因子，得到11((1))nihnnvarearvv（8）12((1))nihnnvararevv（9）13(1sin)nnnviarhvv（10）对于（10），由于其特征根的模2223||1sin1(1)arh不满足VonNeumann条件，故（10）对任何r不稳定。对于（8），其特征根的模22221||(1cos)sinararharh1||1等价于222221||(1cos)sin1ararharh22222222221cos22cos2cossinararhararharharh=22221222cos2cos1arararharh22(1cos)(1cos)arharh2()arar从而（8）稳定的充要条件是0,||1aar（12）同理，（9）的稳定的充要条件是0,||1aar（13）亦可利用特征性质说明上述稳定性条件。令(,1)la，则（1）可写成0ul即（1）的特征线为/()dxdtaxatC若已知1nju，nju，1nju，要计算1nju，假设0a，如下图，特征线偏左，故01njPQuuu，再利用插值，得到1010011(())/(())/(1)njQQQnnjjnnjjuuuQQuhQQhuauhaharuaru这就是说，格式（2）的稳定性条件（12）意味着Q应该落在1Q和0Q之间，即差分方程依存域包含微分方程的依存域。针对变系数方程variablecoefficient()0uuaxtx（15）我们可以给出相应的差分格式：11110,0,0,0,nnnnjjjjjjnnnnjjjjjjuuuuaahuuuuaah当当（17）此即迎风格式。2.Lax格式与Box格式利用积分推导格式：可以保证某些物理上的守恒性。ToEnsuretheconservation针对一阶拟线性守恒双曲方程（组）：Quasilinear0uftx（18）设G是,xt平面上任意有界域，根据Green公式，()()Gufdxdtfdtudxtx其中G，从而有()0fdtudx（20）取G为图5-10中矩形ABCD，则()()()DABCABCDfdtudxudxudxfdtfdt（21）上式中右端第一个积分用梯形公式，第二个积分中矩形公式，第三、四两个积分都用下矩形公式，则得到Lax格式：111111()202nnnnnjjjjjuuuffh其截断误差为2()h。Lax格式稳定的充要条件为||1ah。（23）下面推导Box格式。取G为图5-11中矩形ABCD，再对方程（21）中的各项利用梯形公式离散，得到111111110nnnnnnnnjjjjjjjjuuuuffffhh（24）3.3粘性差分格式Viscosity首先，在双曲方程中引入粘性项：22uuuatxx（25）其中0很小，再对抛物方程建立差分格式。如迎风格式可改写成1111122022nnnnnnnjjjjjjjjjjuuuuuuuhaaahh，1111122022nnnnnnnjjjjjjjjjjuuuuuuuhaaahh，其中，取2ha。Lax格式也可改写成1211112222nnnnnnnjjjjjjjuuffuuuhhh其中，取22h。练习题：1.利用Fourier方法证明Lax格式稳定的充要条件为（23）。2.自学Lax-Wendroff格式。3.查查守恒性的含义。